Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学の基礎 · Toán nền tảng

Đa diện và thể tích多面（ためん）体（たい）と体積（たいせき）

Công thức公式

V-E+F=2
V_{\rm prism}=Sh,\qquad V_{\rm pyramid}=\frac13Sh

Ví dụ例題

Hình chóp đáy vuông và chiều cao vuông gócS là đỉnh chóp, H là hình chiếu của S xuống đáy. Đoạn SH nét đứt biểu diễn chiều cao h; cạnh đáy có độ dài a.SHha
Chiều cao SH vuông góc đáy · 高さSHは底面に垂直

Hình chóp có đáy là hình vuông cạnh 6 và chiều cao vuông góc 4. Tính số đỉnh/cạnh/mặt và thể tích.

底面（ていめん）が一（いち）辺（へん）6の正（せい）方形（ほうけい）で、垂直（すいちょく）な高（たか）さ4の四（よん）角錐（かくすい）を考（かんが）える。頂点（ちょうてん）・辺（へん）・面（めん）の数（かず）と体積（たいせき）を求（もと）めよ。

  1. Chọn đáy vuông và đỉnhS như hình. Có 4+1=5 đỉnh;4 cạnh quanh đáy và 4 cạnh từS đến các đỉnh đáy nên 8 cạnh;4 tam giác bên cùng 1 đáy nên 5 mặt. Nét đứt vẫn là cạnh cần đếm.正方形せいほうけいを底面ていめん、Sを頂点ちょうてんとします。頂点ちょうてんは4+1=5、辺は底辺ていへん4本とSからの4本で8、面は側面そくめんの三角形さんかくけい4つと底面ていめん1つで5です。破線はせんの辺も数えます。
  2. Kiểm 5−8+5=2 khớp Euler. Đây chỉ là kiểm tra số đếm; phải biết từng số đếm phần nào. Đáy cạnh 6 nên diện tích 6 × 6=36 đơn vị vuông, không dùng chu vi 24 làm diện tích.5−8+5=2でオイラーの関係かんけいに一致いっちします。ただし、各数かくすうの意味いみも確認かくにんします。底面積ていめんせきは6×6=36平方単位へいほうたんいで、周の長さ24とは異なります。
  3. Chiều caoSH=4 vuông góc đáy. Lăng trụ cùng đáy/chiều cao có thể tích 36 × 4=144; chóp bằng một phần ba nên 144 ÷ 3=48. Kết quả có đơn vị khối vì diện tích nhân độ dài.高さSH=4は底面ていめんに垂直すいちょくです。同じ底面積ていめんせきと高さの柱体ちゅうたいなら36×4=144で、錐体すいたいはその3分の1の48です。面積めんせきに長さを掛けるため、単位たんいは立方単位りっぽうたんいです。
Có 5 đỉnh,8 cạnh,5 mặt; thể tích 48 đơn vị khối.頂点（ちょうてん）5、辺（へん）8、面（めん）5で、体積（たいせき）は48立方（りっぽう）単位（たんい）。

Tự làm · 3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Lăng trụ tam giác có bao nhiêu cạnh?三角（さんかく）柱（はしら）の辺（へん）は何（なん）本（ぽん）あるか。

2. Hình chóp có diện tích đáy30, chiều cao7. Thể tích là bao nhiêu?底（てい）面積（めんせき）30、高（たか）さ7の錐体（すいたい）の体積（たいせき）はいくらか。

3. Một đa diện lồi có8 đỉnh và12 cạnh. Có bao nhiêu mặt?頂点（ちょうてん）8、辺（へん）12の凸（とつ）多面（ためん）体（たい）の面（めん）はいくつか。

Giáo án, bài giao và tiêu chí cuối buổi →

Giải thích và bài luyện Trí Lữ viết mới · phạm vi JASSO 2026JASSO 2026の範囲（はんい）に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい）

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

Phạm vi đối chiếu: JASSO EJU 2026. Giải thích, ví dụ và câu luyện do Trí Lữ biên soạn mới; không phải câu hỏi thi chính thức.範囲（はんい）はJASSO EJU 2026に照合（しょうごう）。説明（せつめい）・例題（れいだい）・練習（れんしゅう）問題（もんだい）はTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい）であり、公式（こうしき）試験（しけん）問題（もんだい）ではありません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足

Bắt đầu bằng một tình huống具体的な場面から考える

Hình chóp đáy vuông giống một mái có 4 cạnh ở chân và một đỉnh ở trên. Hãy đếm từ cấu trúc:4 đỉnh đáy+1 đỉnh trên;4 cạnh đáy+4 cạnh bên;1 mặt đáy+4 mặt bên. Số cạnh không phải số nét nhìn thấy trên hình vì có cạnh khuất.

四角錐には、底面の四頂点と上の一頂点があります。底辺4本と側辺4本、底面1つと側面4つに分けて数えます。隠れた辺もあるので、図で見える線だけを数えてはいけません。

Đếm đỉnh 頂点（ちょうてん）, cạnh 辺（へん）, mặt 面（めん）trước, rồi dùng Euler để kiểm. Với thể tích 体積（たいせき）, hãy khoanh diện tích đáy và dựng chiều cao vuông góc; độ dài cạnh bên chưa chắc là chiều cao.

頂点（ちょうてん）・辺（へん）・面（めん）を数えてから、オイラーの関係で確認します。体積（たいせき）では底面積と垂直な高さを特定し、側辺の長さと高さを混同しないようにします。

Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Đếm đỉnh, cạnh, mặt của đa diện lồi và kiểm hệ thức Euler.凸（とつ）多面（ためん）体（たい）の頂点（ちょうてん）・辺（へん）・面（めん）を数（かぞ）え、オイラーの関係（かんけい）を確（たし）かめる。
  2. Tính thể tích lăng trụ và hình chóp bằng diện tích đáy cùng chiều cao vuông góc.底（てい）面積（めんせき）と垂直（すいちょく）な高（たか）さから柱体（ちゅうたい）と錐体（すいたい）の体積（たいせき）を求（もと）める。
Trực giác · イメージ

Nhìn bản chất trước khi tính計算（けいさん）の前（まえ）に意味（いみ）を考（かんが）える

Một công thức có thể dùng cùng chữV với hai nghĩa khác nhau; đọc định nghĩa ký hiệu theo ngữ cảnh.

同（おな）じVでも頂点（ちょうてん）数（すう）と体積（たいせき）の2つの意味（いみ）があるため、文脈（ぶんみゃく）ごとに定義（ていぎ）を読（よ）む。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 多面（ためん）体（たい）đa diện

    Khối được giới hạn bởi các mặt đa giác. Đa diện lồi không có phần lõm.

    多角（たかく）形（けい）の面（めん）で囲（かこ）まれた立体（りったい）。凸（とつ）多面（ためん）体（たい）にはくぼみがない。

  • 頂点（ちょうてん）・辺（へん）・面（めん）đỉnh, cạnh, mặt

    Hai mặt gặp nhau theo cạnh; các cạnh gặp nhau tại đỉnh. Cần đếm mỗi yếu tố đúng một lần.

    面（めん）どうしは辺（へん）で接（せっ）し、辺（へん）は頂点（ちょうてん）でつながる。各（かく）要素（ようそ）を重複（ちょうふく）なく数（かぞ）える。

  • 高（たか）さchiều cao

    Khoảng cách vuông góc từ đỉnh chóp đến mặt phẳng đáy, hoặc giữa hai mặt phẳng đáy của lăng trụ.

    錐体（すいたい）の頂点（ちょうてん）から底面（ていめん）への垂直（すいちょく）距離（きょり）、または柱体（ちゅうたい）の2つの底面（ていめん）の間（あいだ）の距離（きょり）。

  • 正（せい）多面（ためん）体（たい）đa diện đều

    Đọc thêm: Đa diện đều lồi có các mặt là những đa giác đều bằng nhau và cùng số mặt gặp nhau tại mỗi đỉnh. Có năm loại: tứ diện, lập phương, bát diện, mười hai mặt và hai mươi mặt.

    発展（はってん）：凸（とつ）正（せい）多面（ためん）体（たい）は面（めん）が合同（ごうどう）な正（せい）多角（たかく）形（けい）で、各（かく）頂点（ちょうてん）に集（あつ）まる面（めん）の数（かず）が等（ひと）しい。正（ただし）四面体（しめんたい）、正（せい）六（ろく）面（めん）体（たい）、正八（しょうはち）面体（めんてい）、正（せい）十（じゅう）二（に）面（めん）体（たい）、正（せい）二十（にじゅう）面（めん）体（たい）の5種類（しゅるい）がある。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    構造（こうぞう）に沿（そ）って数（かぞ）える

    Đếm theo cấu trúc

    Lăng trụ đáy n cạnh có2n đỉnh,3n cạnh vàn+2 mặt. Chóp đáy n cạnh có n+1 đỉnh,2n cạnh vàn+1 mặt.

    n角柱（かくちゅう）の頂点（ちょうてん）は2n、辺（へん）は3n、面（めん）はn+2。n角錐（かくすい）の頂点（ちょうてん）はn+1、辺（へん）は2n、面（めん）はn+1。

  2. 02
    オイラーの関係（かんけい）を確認（かくにん）する

    Kiểm Euler

    Với đa diện lồi, số đỉnh trừ số cạnh cộng số mặt bằng2. Đây là phép kiểm, không thay việc xác định cấu trúc.

    凸（とつ）多面（ためん）体（たい）では頂点（ちょうてん）数（すう）−辺数（へんすう）+面（めん）数（すう）=2。構造（こうぞう）を確（たし）かめたうえで検算（けんざん）に使（つか）う。

  3. 03
    正（ただ）しい高（たか）さを選（えら）ぶ

    Chọn chiều cao đúng

    Lăng trụ: diện tích đáy nhân chiều cao. Hình chóp cùng đáy và cùng chiều cao có thể tích bằng một phần ba.

    柱体（ちゅうたい）は底（てい）面積（めんせき）×高（たか）さ。同（おな）じ底（てい）面積（めんせき）と高（たか）さの錐体（すいたい）の体積（たいせき）はその3分（ぶん）の1。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Dùng cạnh xiên thay chiều cao trongV=Sh/3.V=Sh/3で斜（なな）めの辺（へん）を高（たか）さに使（つか）う。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Phải dựng hoặc tính đoạn vuông góc xuống mặt phẳng đáy.底面（ていめん）への垂線（すいせん）を作図（さくず）するか、その長（なが）さを求（もと）める。

Ghi nhớ · まとめ

Ghi nhớ để dùng lại三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Một công thức có thể dùng cùng chữV với hai nghĩa khác nhau; đọc định nghĩa ký hiệu theo ngữ cảnh.同（おな）じVでも頂点（ちょうてん）数（すう）と体積（たいせき）の2つの意味（いみ）があるため、文脈（ぶんみゃく）ごとに定義（ていぎ）を読（よ）む。
  • Diện tích đáy và chiều cao phải thuộc đúng đáy đã chọn.底（てい）面積（めんせき）と高（たか）さは同（おな）じ底面（ていめん）の選（えら）び方（かた）に対応（たいおう）させる。

Vận dụng sang bài mới新しい問題で使う

Bài Trí Lữ biên soạn. Tự viết cách giải ra giấy trước khi mở phần đối chiếu.

Trí Lữのオリジナル問題です。解き方を書いてから解説を開きましょう。

Một lăng trụ đáy ngũ giác có diện tích đáy 12 và chiều cao vuông góc 5. Đếm đỉnh/cạnh/mặt, kiểm Euler và tính thể tích. Một hình chóp cùng diện tích đáy và chiều cao có thể tích bao nhiêu?

底面積12、高さ5の五角柱について、頂点・辺・面を数え、オイラーの関係を確認して体積を求めましょう。同じ底面積と高さの錐体の体積も求めましょう。

Đối chiếu cách giải và lý do解き方と理由を確認する

Hai đáy có 5 đỉnh mỗi đáy nên 10 đỉnh. Cạnh:5+5+5=15; mặt:2 đáy+5 mặt bên=7;10−15+7=2. Thể tích lăng trụ 12 × 5=60; chóp cùngS,h có 60 ÷ 3=20. Số 5 là chiều cao, không phải cạnhxiên.

頂点は5×2=10、辺は5+5+5=15、面は2+5=7で、10−15+7=2です。柱体の体積は12×5=60、同じ底面積と高さの錐体は60÷3=20です。

Ôn lại sau buổi học

  1. Ngày 1: Tự đếm một chóp đáy vuông rồi kiểm Euler, không nhìn hình mẫu đã đánh số.
  2. Ngày 3: Giải lăng trụ ngũ giác S=12,h=5 và chóp cùng S,h, nêu đơn vị.
  3. Ngày 7: Giải thích ba lỗi: bỏ cạnh khuất, dùng chu vi đáy, dùng cạnh xiên; cho cách kiểm từng lỗi.
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

V-E+F=2

V,E,F lần lượt là số đỉnh, cạnh, mặt của đa diện lồi.

V、E、Fは凸（とつ）多面（ためん）体（たい）の頂点（ちょうてん）数（すう）、辺数（へんすう）、面（めん）数（すう）。

V_{\rm prism}=Sh,\qquad V_{\rm pyramid}=\frac13Sh

Trong công thức thể tích, V là thể tích; S là diện tích đáy, h là chiều cao vuông góc.

体積（たいせき）の式（しき）ではVは体積（たいせき）、Sは底（てい）面積（めんせき）、hは垂直（すいちょく）な高（たか）さ。

EJU 2026 · JASSO-2026-MATH-7(2)

多面（ためん）体（たい）と体積（たいせき）

Đếm đỉnh, cạnh, mặt của đa diện lồi và kiểm hệ thức Euler.

凸（とつ）多面（ためん）体（たい）の頂点（ちょうてん）・辺（へん）・面（めん）を数（かぞ）え、オイラーの関係（かんけい）を確（たし）かめる。

JASSO · Phạm vi Toán 2026