Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学II・B · Toán II · B

Diện tích giữa đường cong và trục x曲線（きょくせん）と x 軸（じく）の間（あいだ）の面積（めんせき）

Công thức公式

S = \int_{a}^{b} f(x)dx
f(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{S(x+\Delta x)-S(x)}{\Delta x} = S'(x)
S = \int_{a}^{b} |f(x)|dx
S = \int_{a}^{b} \{f(x)-g(x)\}dx

Ví dụ例題

Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y = x và parabol \(y = x^{2}\).

直線（ちょくせん） y = x と放物（ほうぶつ）線（せん） \(y = x^{2}\) で囲（かこ）まれた図形（ずけい）の面積（めんせき） S を求（もと）めなさい。

  1. Phương trình hoành độ giao điểm là \(x^{2} = x\), tương đương x(x - 1) = 0. Do đó hai giao điểm có hoành độ là x = 0 và x = 1.共有（きょうゆう）点（てん）のx座標（ざひょう）を求（もと）める方程（ほうてい）式（しき）は \(x^{2} = x\) より x(x - 1) = 0 です。したがって共有（きょうゆう）点（てん）のx座標（ざひょう）は x = 0 と x = 1 です。
  2. Trên khoảng [0, 1], ta có \(x \ge x^{2}\) nên đường thẳng y = x nằm phía trên parabol \(y = x^{2}\).区間（くかん） [0, 1] において \(x \ge x^{2}\) であるため、直線（ちょくせん） y = x は放物（ほうぶつ）線（せん） \(y = x^{2}\) の上側（うえがわ）にあります。
  3. Lập công thức diện tích S = \(\int_{0}^{1}\) (x - x^2) dx. Nguyên hàm là [x^2 / 2 - x^3 / 3] từ 0 đến 1.面積（めんせき）の公式（こうしき） S = \(\int_{0}^{1}\) (x - x^2) dx を立（た）てます。原始（げんし）関数（かんすう）は [x^2 / 2 - x^3 / 3] です。
  4. Thay cận vào ta tính được S = (1/2 - 1/3) - 0 = 1/6.端点（たんてん）を代入（だいにゅう）すると S = (1/2 - 1/3) - 0 = 1/6 と計算（けいさん）されます。
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x và \(y = x^{2}\) là S = 1/6.直線（ちょくせん） y = x と放物（ほうぶつ）線（せん） \(y = x^{2}\) で囲（かこ）まれた図形（ずけい）の面積（めんせき）は S = 1/6 です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y = 2x và trục hoành x từ x = 0 đến x = 2.直線（ちょくせん） y = 2x と x 軸（じく）で囲（かこ）まれた区間（くかん） x = 0 から x = 2 までの図形（ずけい）の面積（めんせき） S を求（もと）めなさい。

2. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(y = x^{2} - 1\) và trục x từ x = -1 đến x = 1.放物（ほうぶつ）線（せん） \(y = x^{2} - 1\) と x 軸（じく）で囲（かこ）まれた区間（くかん） x = -1 から x = 1 までの図形（ずけい）の面積（めんせき） S を求（もと）めなさい。

3. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y = 3x và parabol \(y = x^{2}\).直線（ちょくせん） y = 3x と放物（ほうぶつ）線（せん） \(y = x^{2}\) で囲（かこ）まれた図形（ずけい）の面積（めんせき） S を求（もと）めなさい。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.20.2. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 2 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.20.2。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）2区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Hiểu cách lấy tích phân xác định để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong và trục hoành.曲線（きょくせん）とx軸（じく）で囲（かこ）まれた図形（ずけい）の面積（めんせき）を定（てい）積分（せきぶん）を用（もち）いて求（もと）める方法（ほうほう）を理解（りかい）する。
  2. Biết cách xác định khoảng tích phân từ các giao điểm và xử lý dấu của hàm số khi tính diện tích.共有（きょうゆう）点（てん）から積分（せきぶん）区間（くかん）を決定（けってい）し、面積（めんせき）計算（けいさん）において関数（かんすう）の符号（ふごう）を処理（しょり）する方法（ほうほう）を習得（しゅうとく）する。
  3. Vận dụng công thức diện tích giữa hai đường cong để giải các bài toán tích phân cơ bản.2曲線（きょくせん）間（かん）の面積（めんせき）の公式（こうしき）を適用（てきよう）して基本（きほん）的（てき）な定積（ていせき）分（ぶん）問題（もんだい）を解決（かいけつ）する。
Trực giác · イメージ

Trực giác về tích phân và diện tích定（てい）積分（せきぶん）と面積（めんせき）の直観（ちょっかん）

Diện tích hình phẳng có thể coi là tổng các hình chữ nhật cực nhỏ khi độ rộng tiến về 0. Khi hàm số nằm phía trên trục x, tích phân xác định cho giá trị diện tích dương. Nếu đồ thị nằm dưới trục x, ta lấy trị tuyệt đối hoặc đổi dấu hàm số để thu được diện tích thực sự.

面積（めんせき）は幅（はば）が0に近（ちか）づく極小（きょくしょう）な長（ちょう）方形（ほうけい）の和（わ）とみなすことができます。関数（かんすう）がx軸（じく）の上側（うえがわ）にあるとき、定（てい）積分（せきぶん）は正（せい）の面積（めんせき）を与（あた）えます。グラフがx軸（じく）の下側（したがわ）にある場合（ばあい）は、絶対（ぜったい）値（ち）をとるか関数（かんすう）の符号（ふごう）を反転（はんてん）させて実際（じっさい）の面積（めんせき）を求（もと）めます。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 定（てい）積分（せきぶん）と面積（めんせき）tích phân xác định và diện tích

    Tích phân xác định của hàm số trên một khoảng cho biết giá trị đại số của diện tích. Khi hàm số không âm, tích phân xác định chính là diện tích của hình phẳng.

    区間（くかん）における関数（かんすう）の定積（ていせき）分（ぶん）は面積（めんせき）の代数（だいすう）的（てき）な値（あたい）を示（しめ）します。関数（かんすう）が非（ひ）負（ふ）であるとき、定（てい）積分（せきぶん）は図形（ずけい）の面積（めんせき）そのものになります。

  • 曲線（きょくせん）とx軸（じく）の間（あいだ）の面積（めんせき）diện tích giữa đường cong và trục x

    Đây là phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y = f(x), trục hoành x và hai đường thẳng x = a, x = b. Ta lấy tích phân trị tuyệt đối của f(x) trên khoảng đó.

    これは曲線（きょくせん）y=f(x)、x軸（じく）、および2直線（ちょくせん）x=a, x=bで囲（かこ）まれた図形（ずけい）の部分（ぶぶん）です。その区間（くかん）でf(x)の絶対（ぜったい）値（ち）を定（てい）積分（せきぶん）します。

  • 被（ひ）積分（せきぶん）関数（かんすう）hàm số dưới dấu tích phân

    Biểu thức hàm số nằm bên trong dấu tích phân cần lấy nguyên hàm. Khi tính diện tích giữa hai đường cong, hàm này là hiệu của hàm trên trừ hàm dưới.

    積分（せきぶん）記号（きごう）の内部（ないぶ）にあって原形（げんけい）をとるべき関数（かんすう）式（しき）です。2曲線（きょくせん）間（かん）の面積（めんせき）を計算（けいさん）する際（さい）、この関数（かんすう）は上側（うえがわ）の関数（かんすう）から下側（したがわ）の関数（かんすう）を引（ひ）いた差（さ）になります。

  • 積分（せきぶん）区間（くかん）khoảng tích phân

    Khoảng giá trị từ cận dưới a đến cận trên b mà trên đó tích phân được thực hiện. Khoảng này thường được xác định bởi hoành độ các giao điểm.

    下端（かたん）aから上端（じょうたん）bまでの積分（せきぶん）が実行（じっこう）される値（あたい）の範囲（はんい）です。この区間（くかん）は通常（つうじょう）、共有（きょうゆう）点（てん）のx座標（ざひょう）によって決定（けってい）されます。

  • 共有（きょうゆう）点（てん）giao điểm

    Điểm mà đồ thị cắt trục hoành hoặc hai đồ thị cắt nhau. Hoành độ giao điểm giúp xác định các cận của tích phân.

    グラフがx軸（じく）と交（まじ）わる点（てん）、または2つのグラフが交差（こうさ）する点（てん）です。共有（きょうゆう）点（てん）のx座標（ざひょう）は定（てい）積分（せきぶん）の端点（たんてん）を決定（けってい）するのに役立（やくだ）ちます。

  • 因数（いんすう）分解（ぶんかい）phân tích thành nhân tử

    Phép biến đổi biểu thức thành tích các nhân tử để tìm nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm. Việc này giúp xác định chính xác cận tích phân.

    共有（きょうゆう）点（てん）の解（かい）を求（もと）めるために式（しき）を因数（いんすう）の積（せき）に変形（へんけい）する操作（そうさ）です。これにより積分（せきぶん）区間（くかん）の端点（たんてん）を正確（せいかく）に特定（とくてい）できます。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：共有（きょうゆう）点（てん）の導出（どうしゅつ）

    Bước 1: Tìm giao điểm

    Giải phương trình f(x) = 0 hoặc f(x) = g(x) bằng cách phân tích thành nhân tử. Các nghiệm tìm được sẽ làm các cận a và b cho khoảng tích phân.

    因数（いんすう）分解（ぶんかい）を用（もち）いてf(x)=0またはf(x)=g(x)の方程（ほうてい）式（しき）を解（と）きます。得（え）られた解（かい）が積分（せきぶん）区間（くかん）の端点（たんてん）aおよびbとなります。

  2. 02
    ステップ2：符号（ふごう）と位置（いち）関係（かんけい）の確認（かくにん）

    Bước 2: Xác định dấu và vị trí đồ thị

    Xét dấu của f(x) hoặc so sánh f(x) và g(x) trên khoảng tích phân. Xác định đường nào nằm phía trên và đường nào nằm phía dưới.

    積分（せきぶん）区間（くかん）においてf(x)の符号（ふごう）を調（しら）べるか、f(x)とg(x)の大小（だいしょう）を比較（ひかく）します。どちらの曲線（きょくせん）が上側（うえがわ）でどちらが下側（したがわ）にあるかを判定（はんてい）します。

  3. 03
    ステップ3：定積（ていせき）分（ぶん）式（しき）の立（りっ）式（しき）

    Bước 3: Lập công thức tích phân

    Lấy hàm phía trên trừ hàm phía dưới làm hàm số dưới dấu tích phân. Đặt đúng cận dưới a và cận trên b vào công thức tích phân.

    上側（うえがわ）の関数（かんすう）から下側（したがわ）の関数（かんすう）を引（ひ）いた式（しき）を被（ひ）積分（せきぶん）関数（かんすう）とします。下端（かたん）aと上端（じょうたん）bを定（てい）積分（せきぶん）公式（こうしき）に正（ただ）しく当（あ）てはめます。

  4. 04
    ステップ4：定（てい）積分（せきぶん）の計算（けいさん）

    Bước 4: Tính tích phân xác định

    Tìm nguyên hàm của hàm số dưới dấu tích phân rồi thế cận vào tính toán. Kết quả diện tích thu được phải luôn là một số không âm.

    被（ひ）積分（せきぶん）関数（かんすう）の原始（げんし）関数（かんすう）を求（もと）め、端点（たんてん）を代入（だいにゅう）して計算（けいさん）します。得（え）られる面積（めんせき）の結果（けっか）は常（つね）に非（ひ）負（ふ）の実数（じっすう）となります。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Lấy tích phân trực tiếp \(\int_{a}^{b}\) f(x)dx khi f(x) nhận giá trị âm trên khoảng [a, b] dẫn đến diện tích bị âm hoặc bị triệt tiêu.区間（くかん） [a, b] で f(x) が負（ふ）の値（あたい）をとるときに直接（ちょくせつ） \(\int_{a}^{b}\) f(x)dx を計算（けいさん）し、面積（めんせき）が負（ふ）になったり相殺（そうさい）されたりすること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Phải tách khoảng tích phân tại các giao điểm với trục hoành và đổi dấu f(x) thành -f(x) trên khoảng mà f(x) < 0 để đảm bảo diện tích dương.x軸（じく）との共有（きょうゆう）点（てん）で積分（せきぶん）区間（くかん）を分割（ぶんかつ）し、f(x) < 0 の区間（くかん）では -f(x) に符号（ふごう）を反転（はんてん）させて正（せい）の面積（めんせき）を確保（かくほ）する必要（ひつよう）があります。

Không xác định đúng vị trí trên/dưới của hai đường cong nên lấy nhầm (hàm dưới) - (hàm trên), làm kết quả diện tích ra số âm.2曲線（きょくせん）の上下（じょうげ）位置（いち）関係（かんけい）を確認（かくにん）せず、（下側（したがわ）の関数（かんすう））-（上側（うえがわ）の関数（かんすう））を積分（せきぶん）してしまい、面積（めんせき）の結果（けっか）が負（ふ）になること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Luôn so sánh giá trị của hai hàm số trên khoảng tích phân để lấy (hàm trên) trừ (hàm dưới), hoặc lấy trị tuyệt đối của hiệu hai hàm.積分（せきぶん）区間（くかん）で常（つね）に2関数（かんすう）の値（あたい）を比較（ひかく）して（上側（うえがわ）の関数（かんすう））-（下側（したがわ）の関数（かんすう））とするか、差（さ）の絶対（ぜったい）値（ち）をとる必要（ひつよう）があります。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Tích phân xác định của hàm số không âm cho diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị và trục x.非（ひ）負（ふ）関数（かんすう）の定積（ていせき）分（ぶん）は、グラフとx軸（じく）で囲（かこ）まれた図形（ずけい）の面積（めんせき）を与（あた）えます。
  • Khi đồ thị nằm phía dưới trục x hoặc khi tính diện tích giữa hai đường cong, ta lấy hàm trên trừ hàm dưới để đảm bảo diện tích dương.グラフがx軸（じく）の下側（したがわ）にある場合（ばあい）や2曲線（きょくせん）間（かん）の面積（めんせき）を求（もと）める場合（ばあい）、上側（うえがわ）の関数（かんすう）から下側（したがわ）の関数（かんすう）を引（ひ）いて正（せい）の面積（めんせき）を確保（かくほ）します。
  • Việc phân tích thành nhân tử để tìm giao điểm giúp xác định chính xác các cận tích phân.共有（きょうゆう）点（てん）を求（もと）めるための因数（いんすう）分解（ぶんかい）により、積分（せきぶん）区間（くかん）の端点（たんてん）を正確（せいかく）に決定（けってい）できます。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

S = \int_{a}^{b} f(x)dx

Công thức tính diện tích hình phẳng khi f(x) không âm trên khoảng từ a đến b. Tích phân xác định cho trực tiếp giá trị diện tích S.

区間（くかん）aからbにおいてf(x)が非（ひ）負（ふ）であるときの図形（ずけい）の面積（めんせき）を求（もと）める公式（こうしき）です。定（てい）積分（せきぶん）が直接（ちょくせつ）面積（めんせき）Sの値（あたい）を与（あた）えます。

f(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{S(x+\Delta x)-S(x)}{\Delta x} = S'(x)

Quan hệ giữa hàm diện tích S(x) và hàm số f(x) thông qua đạo hàm. Đạo hàm của hàm diện tích S(x) chính là hàm số f(x).

導（どう）関数（かんすう）を通（つう）じた面積（めんせき）関数（かんすう）S(x)と関数（かんすう）f(x)の関係（かんけい）式（しき）です。面積（めんせき）関数（かんすう）S(x)の導（どう）関数（かんすう）は元（もと）の関数（かんすう）f(x)と一致（いっち）します。

S = \int_{a}^{b} |f(x)|dx

Công thức diện tích tổng quát khi hàm số f(x) có thể đổi dấu trên khoảng tích phân. Việc lấy trị tuyệt đối đảm bảo diện tích luôn có giá trị dương.

関数（かんすう）f(x)が積分（せきぶん）区間（くかん）で符号（ふごう）を変（か）える場合（ばあい）の一般（いっぱん）的（てき）な面積（めんせき）公式（こうしき）です。絶対（ぜったい）値（ち）をとることで面積（めんせき）が常（つね）に正（せい）の値（あたい）になることを保証（ほしょう）します。

S = \int_{a}^{b} \{f(x)-g(x)\}dx

Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong y = f(x) và y = g(x) với f(x) >= g(x). Ta lấy hàm nằm trên trừ hàm nằm dưới trên khoảng từ a đến b.

f(x)>=g(x)であるときの2曲線（きょくせん）y=f(x)とy=g(x)で囲（かこ）まれた面積（めんせき）を求（もと）める公式（こうしき）です。区間（くかん）aからbで上側（うえがわ）の関数（かんすう）から下側（したがわ）の関数（かんすう）を引（ひ）いて積分（せきぶん）します。

EJU 2026 · MATH.20.2

Bài học này giúp bạn tính diện tích hình phẳng giữa đường cong và trục x hoặc giữa hai đường cong bằng tích phân xác định. Bạn sẽ học cách xác định khoảng tích phân và dấu của hàm số để tính đúng diện tích.

この課（か）では、定（てい）積分（せきぶん）を用（もち）いて曲線（きょくせん）とx軸（じく）の間（あいだ）や2曲線（きょくせん）間（かん）の面積（めんせき）を計算（けいさん）する方法（ほうほう）を学（まな）びます。積分（せきぶん）区間（くかん）と関数（かんすう）の符号（ふごう）を正（ただ）しく把握（はあく）して正確（せいかく）な面積（めんせき）を求（もと）めます。

曲線（きょくせん）と x 軸（じく）の間（あいだ）の面積（めんせき）
定積分と面積曲線とx軸の間の面積被積分関数積分区間