Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学II・B · Toán II · B

Chứng minh đẳng thức tích phân xác định定（てい）積分（せきぶん）の等式（とうしき）の証明（しょうめい）

Công thức公式

\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)(x-\beta)dx = -\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3
S = \int_{\alpha}^{\beta} \{-(x-\alpha)(x-\beta)\}dx = \frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3
\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)^2(x-\beta)dx = -\frac{1}{12}(\beta-\alpha)^4
\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t)dt = f(x)

Ví dụ例題

Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi parabol y = -(x-1)(x-3) và trục hoành.

放物（ほうぶつ）線（せん） y = -(x-1)(x-3) と x 軸（じく）で囲（かこ）まれた部分（ぶぶん）の面積（めんせき） S を求（もと）めなさい。

  1. Hoành độ giao điểm của parabol với trục hoành là \(\alpha = 1\) và \(\beta = 3\).放物（ほうぶつ）線（せん）と x 軸（じく）の交点（こうてん）の x 座標（ざひょう）は \(\alpha = 1\), \(\beta = 3\) です。
  2. Lập công thức diện tích S = \(\int_{1}^{3}\) {-(x-1)(x-3)} dx.面積（めんせき）を表（あらわ）す定（てい）積分（せきぶん） S = \(\int_{1}^{3}\) {-(x-1)(x-3)} dx を立（りっ）式（しき）します。
  3. Áp dụng công thức 1/6: \(S = (1 / 6) (3 - 1)^{3} = (1 / 6) (8) = 4 / 3\).1/6公式（こうしき）を適用（てきよう）して \(S = (1 / 6) (3 - 1)^{3} = (1 / 6) (8) = 4 / 3\) と計算（けいさん）します。
Diện tích hình phẳng S bằng 4/3.囲（かこ）まれた部分（ぶぶん）の面積（めんせき） S は 4/3 です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Tính giá trị tích phân \(\int_{1}^{4}\) (x-1)(x-4) dx bằng công thức 1/6.1/6公式（こうしき）を用（もち）いて定（てい）積分（せきぶん） \(\int_{1}^{4}\) (x-1)(x-4) dx の値（あたい）を求（もと）めなさい。

2. Cho hàm số f(x) = \(\frac{d}{dx}\) \(\int_{2}^{x}\) (3t^2 - 4) dt. Tính giá trị f(2).関数（かんすう） f(x) = \(\frac{d}{dx}\) \(\int_{2}^{x}\) (3t^2 - 4) dt について、f(2) の値（あたい）を求（もと）めなさい。

3. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi parabol y = -(x-2)(x-4) và trục hoành.放物（ほうぶつ）線（せん） y = -(x-2)(x-4) と x 軸（じく）で囲（かこ）まれた図形（ずけい）の面積（めんせき） S を求（もと）めなさい。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.20.1 · MATH.20.2. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 3 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.20.1 · MATH.20.2。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）3区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Sử dụng thành thạo các công thức tính nhanh 1/6 và 1/12 để tính diện tích parabol.1/6公式（こうしき）や1/12公式（こうしき）を効果（こうか）的（てき）に活用（かつよう）して、放物（ほうぶつ）線（せん）の面積（めんせき）を計算（けいさん）できるようになる。
  2. Vận dụng mối quan hệ giữa đạo hàm và tích phân để tìm đạo hàm và khảo sát bảng biến thiên.微分（びぶん）と積分（せきぶん）の関係（かんけい）を理解（りかい）し、導（どう）関数（かんすう）を求（もと）めて増減（ぞうげん）表（ひょう）を活用（かつよう）できるようになる。
Trực giác · イメージ

Trực giác về ứng dụng tích phân xác định定（てい）積分（せきぶん）の応用（おうよう）における直感（ちょっかん）的（てき）理解（りかい）

Tích phân xác định không chỉ tính giá trị số mà còn giúp đo lường diện tích hình phẳng giữa các đường cong. Việc lấy đạo hàm của một tích phân theo cận trên cho phép ta khôi phục lại hàm số ban đầu để xét sự biến thiên.

定（てい）積分（せきぶん）は数値（すうち）の計算（けいさん）だけでなく、曲線（きょくせん）で囲（かこ）まれた面積（めんせき）を測定（そくてい）するツールです。上端（じょうたん）の変数（へんすう）で定（てい）積分（せきぶん）を微分（びぶん）することで、元（もと）の関数（かんすう）を復元（ふくげん）して増減（ぞうげん）を調（しら）べることができます。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 放物（ほうぶつ）線（せん）の面積（めんせき）diện tích parabol

    Diện tích parabol là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường parabol và trục hoành hoặc đường thẳng. Sử dụng công thức tích phân giúp tính chính xác giá trị diện tích này.

    放物（ほうぶつ）線（せん）の面積（めんせき）とは、放物（ほうぶつ）線（せん）とx軸（じく）や直線（ちょくせん）によって囲（かこ）まれた図形（ずけい）の面積（めんせき）のことです。定（てい）積分（せきぶん）公式（こうしき）を利用（りよう）することで効率（こうりつ）的（てき）に算出（さんしゅつ）できます。

  • 微分（びぶん）と積分（せきぶん）の関係（かんけい）mối quan hệ giữa đạo hàm và tích phân

    Đạo hàm và tích phân là hai phép toán ngược nhau. Đạo hàm theo x của một tích phân xác định có cận trên x sẽ thu được chính hàm số dưới dấu tích phân.

    微分（びぶん）と積分（せきぶん）は互（たが）いに逆（ぎゃく）の演算（えんざん）関係（かんけい）にあります。上端（じょうたん）が x である定（てい）積分（せきぶん）を x で微分（びぶん）すると、被（ひ）積分（せきぶん）関数（かんすう）そのものが得（え）られます。

  • 定積（ていせき）分（ぶん）で表（あらわ）された関数（かんすう）hàm số biểu diễn bằng tích phân xác định

    Đây là dạng hàm số mà biểu thức của nó chứa tích phân xác định có biến x ở cận trên. Lấy đạo hàm hai vế giúp tìm ra công thức đại số trực tiếp của hàm số.

    上端（じょうたん）に変数（へんすう） x を含（ふく）む定（てい）積分（せきぶん）によって定義（ていぎ）される関数（かんすう）のことです。両辺（りょうへん）を微分（びぶん）することで関数（かんすう）の具体（ぐたい）的（てき）な形（かたち）を導出（どうしゅつ）できます。

  • 増減（ぞうげん）表（ひょう）bảng biến thiên

    Bảng biến thiên tóm tắt dấu của đạo hàm và sự tăng giảm của hàm số trên các khoảng. Nhờ bảng này, ta dễ dàng xác định được các điểm cực trị.

    増減（ぞうげん）表（ひょう）とは、導（どう）関数（かんすう）の符号（ふごう）と関数（かんすう）の増減（ぞうげん）状態（じょうたい）を一覧（いちらん）にまとめた表（おもて）です。これにより極値（きょくち）の場所（ばしょ）と値（あたい）を容易（ようい）に特定（とくてい）できます。

  • 極大（きょくだい）値（ち）giá trị cực đại

    Giá trị cực đại là giá trị của hàm số tại điểm mà đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm. Điểm này tương ứng với đỉnh cao địa phương trên đồ thị hàm số.

    極大（きょくだい）値（ち）とは、導（どう）関数（かんすう）の符号（ふごう）が正（せい）から負（ふ）へと変化（へんか）する点（てん）における関数（かんすう）の値（あたい）です。グラフ上（じょう）の局所（きょくしょ）的（てき）な山（やま）に対応（たいおう）します。

  • 極小（きょくしょう）値（ち）giá trị cực tiểu

    Giá trị cực tiểu là giá trị của hàm số tại điểm mà đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương. Điểm này tương ứng với đáy thấp địa phương trên đồ thị hàm số.

    極小（きょくしょう）値（ち）とは、導（どう）関数（かんすう）の符号（ふごう）が負（ふ）から正（せい）へと変化（へんか）する点（てん）における関数（かんすう）の値（あたい）です。グラフ上（じょう）の局所（きょくしょ）的（てき）な谷（たに）に対応（たいおう）します。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：交点（こうてん）を求（もと）め面積（めんせき）の定（てい）積分（せきぶん）を立（りっ）式（しき）する

    Bước 1: Xác định giao điểm và lập tích phân diện tích

    Tìm hai nghiệm \(\alpha\) và \(\beta\) của phương trình hoành độ giao điểm. Lập tích phân xác định biểu diễn diện tích hình phẳng giới hạn.

    交点（こうてん）の x 座標（ざひょう）である \(\alpha\) と \(\beta\) を求（もと）めます。囲（かこ）まれた図形（ずけい）の面積（めんせき）を表（あらわ）す定（てい）積分（せきぶん）を立（りっ）式（しき）します。

  2. 02
    ステップ2：1/6公式（こうしき）または1/12公式（こうしき）を適用（てきよう）する

    Bước 2: Vận dụng công thức 1/6 hoặc 1/12

    Thay \(\alpha\) và \(\beta\) vào công thức đặc biệt để tính nhanh kết quả tích phân. Phương pháp này rút ngắn thời gian tính toán và tránh sai sót.

    \(\alpha\) と \(\beta\) を専用（せんよう）の公式（こうしき）に代入（だいにゅう）して定（てい）積分（せきぶん）の値（あたい）を迅速（じんそく）に計算（けいさん）します。この手法（しゅほう）により計算（けいさん）時間（じかん）を大幅（おおはば）に短縮（たんしゅく）できます。

  3. 03
    ステップ3：定積（ていせき）分（ぶん）で表（あらわ）された関数（かんすう）を微分（びぶん）する

    Bước 3: Tính đạo hàm của hàm số biểu diễn bằng tích phân

    Áp dụng mối quan hệ đạo hàm và tích phân để lấy đạo hàm theo biến x ở cận trên. Dựa vào đạo hàm thu được để lập bảng biến thiên và tìm cực trị.

    微分（びぶん）と積分（せきぶん）の関係（かんけい）を用（もち）いて上端（じょうたん）の変数（へんすう） x で微分（びぶん）します。得（え）られた導（どう）関数（かんすう）から増減（ぞうげん）表（ひょう）を作成（さくせい）し、極値（きょくち）を求（もと）めます。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Quên dấu âm trong công thức \(\int_{\alpha}^{\beta}\) (x-\(\alpha\))(x-\(\beta\))dx = -1/6(\(\beta\)-\(\alpha\))^3 dẫn đến kết quả sai dấu.定（てい）積分（せきぶん） \(\int_{\alpha}^{\beta}\) (x-\(\alpha\))(x-\(\beta\))dx = -1/6(\(\beta\)-\(\alpha\))^3 の計算（けいさん）で負（ふ）の符号（ふごう）を忘（わす）れてしまう。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Nhớ rằng tích phân của \((x - \alpha) (x - \beta)\) trên [\(\alpha\), \(\beta\)] luôn âm, trong khi diện tích S mới mang dấu dương.[\(\alpha\), \(\beta\)] における \((x - \alpha) (x - \beta)\) の定積（ていせき）分（ぶん）は常（つね）に負（ふ）であり、面積（めんせき） S は正（せい）になることに注意（ちゅうい）してください。

Quên thay biến t thành x khi tính đạo hàm của tích phân theo cận trên x.上端（じょうたん） x で微分（びぶん）する際（さい）に、変数（へんすう） t を x に置き換（おきか）えるのを忘（わす）れて t のままにしてしまう。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Sau khi lấy đạo hàm theo x, toàn bộ biến t trong hàm bị tích phân f(t) phải được chuyển thành x.x で微分（びぶん）した後（あと）は、被（ひ）積分（せきぶん）関数（かんすう） f(t) の変数（へんすう） t をすべて x に置き換（おきか）える必要（ひつよう）があります。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Các công thức 1/6 và 1/12 giúp tính nhanh tích phân xác định và diện tích giới hạn bởi parabol.1/6公式（こうしき）や1/12公式（こうしき）を用（もち）いることで、定積（ていせき）分（ぶん）や放物（ほうぶつ）線（せん）の面積（めんせき）を迅速（じんそく）に計算（けいさん）できます。
  • Đạo hàm của tích phân xác định theo cận trên x chính bằng hàm số ban đầu f(x).上端（じょうたん）が x である定（てい）積分（せきぶん）を x で微分（びぶん）すると、元（もと）の関数（かんすう） f(x) が得（え）られます。
  • Việc kết hợp đạo hàm và tích phân giúp dễ dàng lập bảng biến thiên và tìm cực trị của hàm số.微分（びぶん）と積分（せきぶん）を組み合（くみあ）わせることで、増減（ぞうげん）表（ひょう）を作成（さくせい）し関数（かんすう）の極値（きょくち）を容易（ようい）に求（もと）めることができます。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)(x-\beta)dx = -\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3

Công thức tích phân 1/6 dùng để tính tích phân của tích hai nhân tử bậc nhất từ \(\alpha\) đến \(\beta\). Kết quả luôn mang dấu âm do tích trong khoảng luôn nhỏ hơn hoặc bằng 0.

\(\alpha\) から \(\beta\) までの1次（じ）因数（いんすう）の積（せき）の定（てい）積分（せきぶん）を計算（けいさん）する1/6公式（こうしき）です。区間（くかん）内（ない）で被（ひ）積分（せきぶん）関数（かんすう）が負（ふ）となるため結果（けっか）は負（ふ）の値（あたい）になります。

S = \int_{\alpha}^{\beta} \{-(x-\alpha)(x-\beta)\}dx = \frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3

Công thức tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đường parabol úp và trục hoành. Kết quả diện tích luôn là một số dương bằng 1/6 lập phương hiệu hai nghiệm.

放物（ほうぶつ）線（せん）とx軸（じく）で囲（かこ）まれた部分（ぶぶん）の面積（めんせき） S を求（もと）める公式（こうしき）です。面積（めんせき）は常（つね）に正（せい）の値（あたい）となり、交点（こうてん）の差（さ）の3乗（のり）の 1/6 に等（ひと）しくなります。

\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)^2(x-\beta)dx = -\frac{1}{12}(\beta-\alpha)^4

Công thức 1/12 áp dụng khi bị tích phân chứa một nhân tử bình phương và một nhân tử bậc nhất. Công thức này giúp tính nhanh tích phân bậc ba mà không cần khai triển.

二（に）乗（じょう）の因数（いんすう）を含（ふく）む定（てい）積分（せきぶん）に適用（てきよう）される 1/12 公式（こうしき）です。展開（てんかい）することなく3次式（じしき）の定（てい）積分（せきぶん）を迅速（じんそく）に計算（けいさん）できます。

\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t)dt = f(x)

Đạo hàm theo biến x của tích phân xác định từ hằng số a đến x chính là hàm số f(x). Đây là công thức nền tảng thể hiện phép đạo hàm triệt tiêu phép tích phân.

上端（じょうたん）が x である定（てい）積分（せきぶん）を x で微分（びぶん）すると、被（ひ）積分（せきぶん）関数（かんすう） f(x) に戻（もど）ります。微分（びぶん）が積分（せきぶん）の逆（ぎゃく）演算（えんざん）であることを示（しめ）す根本（こんぽん）的（てき）な公式（こうしき）です。

EJU 2026 · MATH.20.1 · MATH.20.2

Bài học này giúp bạn vận dụng tích phân xác định để tính diện tích parabol và khảo sát hàm số biểu diễn bằng tích phân. Bạn sẽ thành thạo các công thức tính nhanh như 1/6 và mối quan hệ giữa đạo hàm và tích phân.

このレッスンでは、定（てい）積分（せきぶん）を用（もち）いて放物（ほうぶつ）線（せん）の面積（めんせき）を求（もと）め、定積（ていせき）分（ぶん）で表（あらわ）された関数（かんすう）を解析（かいせき）する方法（ほうほう）を学（まな）びます。1/6公式（こうしき）や微分（びぶん）と積分（せきぶん）の関係（かんけい）をマスターします。

定（てい）積分（せきぶん）の等式（とうしき）の証明（しょうめい）
放物線の面積微分と積分の関係定積分で表された関数増減表