Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学II・B · Toán II · B

Khai triển biểu thức bậc ba3次式（じしき）の展開（てんかい）

Công thức公式

(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3
(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3
(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3

Ví dụ例題

Khai triển biểu thức \((2 x + 1)^{3}\).

式（しき） \((2 x + 1)^{3}\) を展開（てんかい）しなさい。

  1. Áp dụng công thức \((a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 ab^{2} + b^{3}\) với a = 2x và b = 1.a = 2x, b = 1 として公式（こうしき） \((a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 ab^{2} + b^{3}\) を適用（てきよう）します。
  2. Thay vào ta được \((2 x)^{3} + 3 (2 x)^{2} (1) + 3 (2 x) (1)^{2} + 1^{3}\).代入（だいにゅう）すると \((2 x)^{3} + 3 (2 x)^{2} (1) + 3 (2 x) (1)^{2} + 1^{3}\) となります。
  3. Tính các lũy thừa và tích: \(8 x^{3} + 3 (4 x^{2}) (1) + 6 x + 1 = 8 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x + 1\).累乗（るいじょう）と積（せき）を計算（けいさん）すると \(8 x^{3} + 3 (4 x^{2}) (1) + 6 x + 1 = 8 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x + 1\) となります。
Kết quả khai triển là \(8 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x + 1\).展開（てんかい）した結果（けっか）は \(8 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x + 1\) です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Khai triển biểu thức \((x - 2)^{3}\).式（しき） \((x - 2)^{3}\) を展開（てんかい）した式（しき）を選（えら）びなさい。

2. Khai triển biểu thức \((x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)\).式（しき） \((x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)\) を展開（てんかい）した式（しき）を選（えら）びなさい。

3. Khai triển biểu thức \((2 x - 1) (4 x^{2} + 2 x + 1)\).式（しき） \((2 x - 1) (4 x^{2} + 2 x + 1)\) を展開（てんかい）した式（しき）を選（えら）びなさい。

Self-study exercises with solutionsTự luyện có lời giải解説付き自習問題

Work through each problem on paper before opening the solution. These four Trilu-authored exercises progress from basic skills to application.

Tự trình bày trên giấy trước khi mở lời giải. Bốn bài do Trí Lữ biên soạn, từ cơ bản đến vận dụng.

解答を見る前に、自分でノートに解きましょう。Trí Lữ作成の基礎から応用までの4問です。

Exercise 1Bài tự luyện 1自習問題 1

Expand the expression \((3x - 2)^{3}\).

Khai triển biểu thức \((3x - 2)^{3}\).

式（しき） \((3x - 2)^{3}\) を展開（てんかい）しなさい。

HintGợi ýヒント

Let \(a = 3x\) and \(b = 2\), then apply the identity \((a - b)^{3} = a^{3} - 3a^{2}b + 3ab^{2} - b^{3}\). Be careful when calculating powers of coefficients, such as \((3x)^{3} = 27x^{3}\) and \((3x)^{2} = 9x^{2}\).

Đặt \(a = 3x\) và \(b = 2\), dùng công thức \((a - b)^{3} = a^{3} - 3a^{2}b + 3ab^{2} - b^{3}\). Chú ý tính đúng lũy thừa của hệ số: \((3x)^{3} = 27x^{3}\) và \((3x)^{2} = 9x^{2}\).

\(a = 3x\), \(b = 2\) とおき、公式（こうしき） \((a - b)^{3} = a^{3} - 3a^{2}b + 3ab^{2} - b^{3}\) を適用（てきよう）します。特（とく）に \((3x)^{3} = 27x^{3}\) や \((3x)^{2} = 9x^{2}\) の計算（けいさん）で係数（けいすう）の3乗（じょう）・2乗（じょう）を忘（わす）れないように注意（ちゅうい）しましょう。

Step-by-step solutionLời giải từng bước解答と解説

  1. Set \(a = 3x\) and \(b = 2\), and apply the cubic difference expansion formula \((a - b)^{3} = a^{3} - 3a^{2}b + 3ab^{2} - b^{3}\).

    Đặt \(a = 3x\) và \(b = 2\), áp dụng công thức khai triển lập phương của một hiệu \((a - b)^{3} = a^{3} - 3a^{2}b + 3ab^{2} - b^{3}\).

    \(a = 3x\), \(b = 2\) として、差（さ）の3乗（じょう）の展開（てんかい）公式（こうしき） \((a - b)^{3} = a^{3} - 3a^{2}b + 3ab^{2} - b^{3}\) を適用（てきよう）します。

  2. Substituting into the formula yields \((3x)^{3} - 3(3x)^{2}(2) + 3(3x)(2)^{2} - 2^{3}\).

    Thay vào công thức ta được \((3x)^{3} - 3(3x)^{2}(2) + 3(3x)(2)^{2} - 2^{3}\).

    公式（こうしき）に代入（だいにゅう）すると、\((3x)^{3} - 3(3x)^{2}(2) + 3(3x)(2)^{2} - 2^{3}\) となります。

  3. Calculating the powers in each term gives \(27x^{3} - 3(9x^{2})(2) + 3(3x)(4) - 8\).

    Tính các lũy thừa trong từng số hạng ta được \(27x^{3} - 3(9x^{2})(2) + 3(3x)(4) - 8\).

    各項（かくこう）の累乗（るいじょう）を計算（けいさん）すると、\(27x^{3} - 3(9x^{2})(2) + 3(3x)(4) - 8\) となります。

  4. Multiplying the coefficients and simplifying yields \(27x^{3} - 54x^{2} + 36x - 8\).

    Nhân các hệ số và rút gọn ta thu được \(27x^{3} - 54x^{2} + 36x - 8\).

    係数（けいすう）を掛け合（かけあ）わせて整理（せいり）すると、\(27x^{3} - 54x^{2} + 36x - 8\) を得（え）ます。

AnswerĐáp án答え

\(27x^{3} - 54x^{2} + 36x - 8\)

\(27x^{3} - 54x^{2} + 36x - 8\)

\(27x^{3} - 54x^{2} + 36x - 8\)

Check your workTự kiểm tra確認

As a spot check, plug in \(x = 1\): the original expression gives \((3(1) - 2)^{3} = 1^{3} = 1\), and the expanded form gives \(27(1)^{3} - 54(1)^{2} + 36(1) - 8 = 27 - 54 + 36 - 8 = 1\), which match. Full algebraic verification is given by applying the standard identity \((a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\).

Thay x = 1 cho cả hai biểu thức đều được 1: đây chỉ là kiểm tra nhanh tại một giá trị, không chứng minh đẳng thức cho mọi x. Việc khai triển và thu gọn theo hằng đẳng thức ở các bước trên mới xác nhận kết quả cho mọi x.

x = 1 を代入すると両方とも1になります。これは一つの値での確認であり、すべての x で成り立つ証明ではありません。上の手順で恒等式を使って展開し、同類項をまとめることが代数的な確認になります。

Common mistakeLỗi cần tránh注意点

Common mistakes include miscalculating \((3x)^{3}\) as \(3x^{3}\) by forgetting to cube the coefficient 3, or incorrectly calculating the coefficient of \(3a^{2}b\) as \(-18x^{2}\) instead of \(-54x^{2}\).

Sai lầm phổ biến là tính \((3x)^{3}\) thành \(3x^{3}\) do quên nâng hệ số 3 lên lũy thừa 3, hoặc tính sai hệ số của \(3a^{2}b\) thành \(18x^{2}\) thay vì \(54x^{2}\).

\((3x)^{3}\) を \(3x^{3}\) と誤（ご）計算（けいさん）したり、\(3a^{2}b\) の計算（けいさん）で \((3x)^{2}\) の係数（けいすう） 9 に 3 と 2 を掛（か）ける際（さい）に \(-54x^{2}\) ではなく \(-18x^{2}\) と誤（あやま）る間違（まちが）いが多（おお）く見（み）られます。

Exercise 2Bài tự luyện 2自習問題 2

Expand the expression \((x + 2)(x^{2} - 2x + 4)\).

Khai triển biểu thức \((x + 2)(x^{2} - 2x + 4)\).

式（しき） \((x + 2)(x^{2} - 2x + 4)\) を展開（てんかい）しなさい。

HintGợi ýヒント

Notice that the polynomial in the second factor is \(x^{2} - 2x + 4 = x^{2} - (x)(2) + 2^{2}\), so you can directly apply the sum of cubes formula \((a + b)(a^{2} - ab + b^{2}) = a^{3} + b^{3}\).

Nhận xét đa thức phía sau \(x^{2} - 2x + 4 = x^{2} - (x)(2) + 2^{2}\), từ đó áp dụng trực tiếp công thức \((a + b)(a^{2} - ab + b^{2}) = a^{3} + b^{3}\).

\((x + 2)\) の後（うし）ろの多項（たこう）式（しき）が \(x^{2} - 2x + 4 = x^{2} - (x)(2) + 2^{2}\) となっていることに着目（ちゃくもく）し、公式（こうしき） \((a + b)(a^{2} - ab + b^{2}) = a^{3} + b^{3}\) を直接（ちょくせつ）適用（てきよう）しましょう。

Step-by-step solutionLời giải từng bước解答と解説

  1. Observing the given expression with \(a = x\) and \(b = 2\), we see \((x + 2)(x^{2} - (x)(2) + 2^{2})\), which matches the form \((a + b)(a^{2} - ab + b^{2})\).

    Quan sát biểu thức với \(a = x\) và \(b = 2\), ta thấy \((x + 2)(x^{2} - (x)(2) + 2^{2})\) khớp với dạng công thức \((a + b)(a^{2} - ab + b^{2})\).

    与（あた）えられた式（しき）を \(a = x\), \(b = 2\) として観察（かんさつ）すると、\((x + 2)(x^{2} - (x)(2) + 2^{2})\) であり、公式（こうしき） \((a + b)(a^{2} - ab + b^{2})\) の形（かたち）になっていることを確認（かくにん）します。

  2. Apply the sum of cubes formula \((a + b)(a^{2} - ab + b^{2}) = a^{3} + b^{3}\).

    Áp dụng công thức tổng hai lập phương \((a + b)(a^{2} - ab + b^{2}) = a^{3} + b^{3}\).

    3乗（じょう）の和（わ）の公式（こうしき） \((a + b)(a^{2} - ab + b^{2}) = a^{3} + b^{3}\) を適用（てきよう）します。

  3. Substituting \(a = x\) and \(b = 2\) gives \(x^{3} + 2^{3}\).

    Thay \(a = x\) và \(b = 2\) vào ta được \(x^{3} + 2^{3}\).

    \(a = x\), \(b = 2\) を代入（だいにゅう）すると、\(x^{3} + 2^{3}\) となります。

  4. Calculating \(2^{3} = 8\) yields the final result \(x^{3} + 8\).

    Tính \(2^{3} = 8\) ta thu được kết quả cuối cùng là \(x^{3} + 8\).

    \(2^{3} = 8\) を計算（けいさん）して、結果（けっか）は \(x^{3} + 8\) となります。

AnswerĐáp án答え

\(x^{3} + 8\)

\(x^{3} + 8\)

\(x^{3} + 8\)

Check your workTự kiểm tra確認

Verify by direct distributive expansion: \((x + 2)(x^{2} - 2x + 4) = x(x^{2} - 2x + 4) + 2(x^{2} - 2x + 4) = x^{3} - 2x^{2} + 4x + 2x^{2} - 4x + 8 = x^{3} + 8\), which completely matches the formula result.

Kiểm tra bằng cách nhân phân phối trực tiếp: \((x + 2)(x^{2} - 2x + 4) = x(x^{2} - 2x + 4) + 2(x^{2} - 2x + 4) = x^{3} - 2x^{2} + 4x + 2x^{2} - 4x + 8 = x^{3} + 8\), kết quả hoàn toàn trùng khớp với việc dùng công thức.

分配（ぶんぱい）法則（ほうそく）で直接（ちょくせつ）展開（てんかい）して確認（かくにん）します：\((x + 2)(x^{2} - 2x + 4) = x(x^{2} - 2x + 4) + 2(x^{2} - 2x + 4) = x^{3} - 2x^{2} + 4x + 2x^{2} - 4x + 8 = x^{3} + 8\)。公式（こうしき）による結果（けっか）と完全（かんぜん）に一致（いっち）します。

Common mistakeLỗi cần tránh注意点

A frequent error is confusing the signs between the sum of cubes and difference of cubes formulas, leading to the incorrect result \(x^{3} - 8\).

Sai lầm thường gặp là nhầm dấu giữa công thức tổng hai lập phương và hiệu hai lập phương, dẫn đến viết sai kết quả thành \(x^{3} - 8\).

公式（こうしき）を使（つか）わずに各項（かくこう）を手（て）計算（けいさん）で掛け合（かけあ）わせる際（さい）に途中（とちゅう）の項（こう）の符号（ふごう）を間違（まちが）えたり、\((x + 2)(x^{2} - 2x + 4)\) を \(x^{3} - 8\) と符号（ふごう）を誤（あやま）って判断（はんだん）したりするミスに注意（ちゅうい）しましょう。

Exercise 3Bài tự luyện 3自習問題 3

Simplify the expression \((x + 1)^{3} - (x - 1)^{3}\) into a sum of monomials in descending order.

Rút gọn biểu thức \((x + 1)^{3} - (x - 1)^{3}\) thành dạng tổng các đơn thức theo thứ tự lũy thừa giảm dần.

式（しき） \((x + 1)^{3} - (x - 1)^{3}\) を単項（たんこう）式（しき）の和（わ）（降（こう）べきの順（じゅん））に簡略（かんりゃく）化（か）しなさい。

HintGợi ýヒント

Expand \((x + 1)^{3}\) and \((x - 1)^{3}\) independently using the cubic formulas, then subtract. Pay close attention to reversing the signs of the terms in the subtracted polynomial, especially \(-(-3x^{2}) = +3x^{2}\) and \(-(-1) = +1\).

Khai triển riêng từng biểu thức \((x + 1)^{3}\) và \((x - 1)^{3}\) bằng công thức, sau đó thực hiện phép trừ. Lưu ý đổi dấu toàn bộ các số hạng trong ngoặc bị trừ, đặc biệt là \(-(-3x^{2}) = +3x^{2}\) và \(-(-1) = +1\).

\((x + 1)^{3}\) と \((x - 1)^{3}\) をそれぞれ独立（どくりつ）して公式（こうしき）で展開（てんかい）したあと、差（さ）をとります。引き算（ひきざん）の際（さい）に後半（こうはん）の多項（たこう）式（しき）の符号（ふごう）が反転（はんてん）すること（\(-(-3x^{2}) = +3x^{2}\) や \(-(-1) = +1\)）に注意（ちゅうい）してください。

Step-by-step solutionLời giải từng bước解答と解説

  1. Apply the cube-of-a-sum formula to expand \((x + 1)^{3}\): \((x + 1)^{3} = x^{3} + 3x^{2} + 3x + 1\).

    Áp dụng công thức lập phương của một tổng để khai triển \((x + 1)^{3}\): \((x + 1)^{3} = x^{3} + 3x^{2} + 3x + 1\).

    和（わ）の3乗（じょう）公式（こうしき）を適用（てきよう）して \((x + 1)^{3}\) を展開（てんかい）します：\((x + 1)^{3} = x^{3} + 3x^{2} + 3x + 1\)。

  2. Apply the cube-of-a-difference formula to expand \((x - 1)^{3}\): \((x - 1)^{3} = x^{3} - 3x^{2} + 3x - 1\).

    Áp dụng công thức lập phương của một hiệu để khai triển \((x - 1)^{3}\): \((x - 1)^{3} = x^{3} - 3x^{2} + 3x - 1\).

    差（さ）の3乗（じょう）公式（こうしき）を適用（てきよう）して \((x - 1)^{3}\) を展開（てんかい）します：\((x - 1)^{3} = x^{3} - 3x^{2} + 3x - 1\)。

  3. Write the difference of the two expanded expressions: \((x^{3} + 3x^{2} + 3x + 1) - (x^{3} - 3x^{2} + 3x - 1)\).

    Viết hiệu của hai biểu thức đã khai triển: \((x^{3} + 3x^{2} + 3x + 1) - (x^{3} - 3x^{2} + 3x - 1)\).

    2つの展開（てんかい）式（しき）の差（さ）の形（かたち）に記述（きじゅつ）します：\((x^{3} + 3x^{2} + 3x + 1) - (x^{3} - 3x^{2} + 3x - 1)\)。

  4. Remove parentheses and negate each term inside the second pair of parentheses: \(x^{3} + 3x^{2} + 3x + 1 - x^{3} + 3x^{2} - 3x + 1\).

    Bỏ ngoặc và đổi dấu các số hạng trong ngoặc thứ hai: \(x^{3} + 3x^{2} + 3x + 1 - x^{3} + 3x^{2} - 3x + 1\).

    括弧（かっこ）を外（はず）して各項（かくこう）の符号（ふごう）を反転（はんてん）させます：\(x^{3} + 3x^{2} + 3x + 1 - x^{3} + 3x^{2} - 3x + 1\)。

  5. Combine like terms. The \(x^{3}\) and \(3x\) terms cancel out, leaving \(3x^{2} + 3x^{2} = 6x^{2}\) and \(1 + 1 = 2\), giving the final result \(6x^{2} + 2\).

    Rút gọn các số hạng đồng dạng. Các số hạng \(x^{3}\) và \(3x\) triệt tiêu lẫn nhau, còn lại \(3x^{2} + 3x^{2} = 6x^{2}\) và \(1 + 1 = 2\), cho kết quả cuối cùng là \(6x^{2} + 2\).

    同類（どうるい）項（こう）をまとめます。\(x^{3}\) と \(3x\) の項（こう）が相殺（そうさい）され、\(3x^{2} + 3x^{2} = 6x^{2}\) および \(1 + 1 = 2\) となるため、最終（さいしゅう）的（てき）な結果（けっか）は \(6x^{2} + 2\) です。

AnswerĐáp án答え

\(6x^{2} + 2\)

\(6x^{2} + 2\)

\(6x^{2} + 2\)

Check your workTự kiểm tra確認

Verify using the factorization identity \(A^{3} - B^{3} = (A - B)(A^{2} + AB + B^{2})\): With \(A = x+1\) and \(B = x-1\), we have \(A - B = 2\) and \(A^{2} + AB + B^{2} = (x+1)^{2} + (x+1)(x-1) + (x-1)^{2} = (x^{2}+2x+1) + (x^{2}-1) + (x^{2}-2x+1) = 3x^{2} + 1\). Thus \(2(3x^{2} + 1) = 6x^{2} + 2\), matching the expansion.

Kiểm tra bằng công thức hằng đẳng thức \(A^{3} - B^{3} = (A - B)(A^{2} + AB + B^{2})\): Với \(A = x+1, B = x-1\), ta có \(A - B = 2\) và \(A^{2} + AB + B^{2} = (x+1)^{2} + (x+1)(x-1) + (x-1)^{2} = 3x^{2} + 1\). Do đó \(2(3x^{2} + 1) = 6x^{2} + 2\), kết quả trùng khớp hoàn toàn.

因数（いんすう）分解（ぶんかい）公式（こうしき） \(A^{3} - B^{3} = (A - B)(A^{2} + AB + B^{2})\) で再（さい）確認（かくにん）します。\(A = x+1, B = x-1\) とすると、\(A - B = 2\), \(A^{2} + AB + B^{2} = (x+1)^{2} + (x+1)(x-1) + (x-1)^{2} = (x^{2}+2x+1) + (x^{2}-1) + (x^{2}-2x+1) = 3x^{2} + 1\) となり、\(2(3x^{2} + 1) = 6x^{2} + 2\) で完全（かんぜん）一致（いっち）します。

Common mistakeLỗi cần tránh注意点

When removing parentheses after subtraction, forgetting to change signs for negative terms inside \(-(x - 1)^{3}\) will cause incorrect cancellations such as \(3x^{2} - 3x^{2} = 0\) or \(1 - 1 = 0\).

Sai lầm phổ biến khi phá ngoặc phép trừ là quên đổi dấu các số hạng âm bên trong, dẫn đến tính sai thành \(3x^{2} - 3x^{2} = 0\) hoặc \(1 - 1 = 0\).

引き算（ひきざん）の括弧（かっこ）を外（はず）す際（さい）に \(-(x - 1)^{3}\) の展開（てんかい）結果（けっか）である \(-3x^{2}\) や \(-1\) の符号（ふごう）反転（はんてん）を忘（わす）れ、\(3x^{2} - 3x^{2} = 0\) や \(1 - 1 = 0\) と誤（あやま）って計算（けいさん）してしまうミスに注意（ちゅうい）しましょう。

Exercise 4Bài tự luyện 4自習問題 4

Expand the expression \((2x + 3)(4x^{2} - 6x + 9)\).

Khai triển biểu thức \((2x + 3)(4x^{2} - 6x + 9)\).

式 \((2x + 3)(4x^{2} - 6x + 9)\) を展開しなさい。

HintGợi ýヒント

Notice that the second polynomial is in the form \((2x)^{2} - (2x)(3) + 3^{2}\). Apply the sum of cubes identity \((a + b)(a^{2} - ab + b^{2}) = a^{3} + b^{3}\) with \(a = 2x\) and \(b = 3\).

Nhận xét đa thức thứ hai có dạng \((2x)^{2} - (2x)(3) + 3^{2}\), áp dụng hằng đẳng thức tổng hai lập phương \((a + b)(a^{2} - ab + b^{2}) = a^{3} + b^{3}\) với \(a = 2x\) và \(b = 3\).

2つ目の多項式が \((2x)^{2} - (2x)(3) + 3^{2}\) の形になっていることに着目し、\(a = 2x, b = 3\) として3乗の和の公式 \((a + b)(a^{2} - ab + b^{2}) = a^{3} + b^{3}\) を適用します。

Step-by-step solutionLời giải từng bước解答と解説

  1. Identify \(a = 2x\) and \(b = 3\). We see that \(4x^{2} - 6x + 9 = (2x)^{2} - (2x)(3) + 3^{2}\), matching the form \((a + b)(a^{2} - ab + b^{2})\).

    Xác định \(a = 2x\) và \(b = 3\), ta thấy \(4x^{2} - 6x + 9 = (2x)^{2} - (2x)(3) + 3^{2}\), biểu thức khớp với dạng \((a + b)(a^{2} - ab + b^{2})\).

    \(a = 2x\) および \(b = 3\) とおくと、\(4x^{2} - 6x + 9 = (2x)^{2} - (2x)(3) + 3^{2}\) となり、\((a + b)(a^{2} - ab + b^{2})\) の形を満たすことを確認します。

  2. Apply the sum of cubes formula \((a + b)(a^{2} - ab + b^{2}) = a^{3} + b^{3}\).

    Áp dụng công thức tổng hai lập phương \((a + b)(a^{2} - ab + b^{2}) = a^{3} + b^{3}\).

    3乗の和の展開公式 \((a + b)(a^{2} - ab + b^{2}) = a^{3} + b^{3}\) を適用します。

  3. Substitute \(a = 2x\) and \(b = 3\) into the formula to get \((2x)^{3} + 3^{3}\).

    Thay \(a = 2x\) và \(b = 3\) vào công thức ta được \((2x)^{3} + 3^{3}\).

    \(a = 2x, b = 3\) を代入すると \((2x)^{3} + 3^{3}\) となります。

  4. Calculate the powers: \((2x)^{3} = 8x^{3}\) and \(3^{3} = 27\), yielding the final result \(8x^{3} + 27\).

    Tính các lũy thừa: \((2x)^{3} = 8x^{3}\) và \(3^{3} = 27\), cho kết quả cuối cùng là \(8x^{3} + 27\).

    各累乗を計算します：\((2x)^{3} = 8x^{3}\)、\(3^{3} = 27\) より、最終結果は \(8x^{3} + 27\) となります。

AnswerĐáp án答え

\(8x^{3} + 27\)

\(8x^{3} + 27\)

\(8x^{3} + 27\)

Check your workTự kiểm tra確認

Verify by direct expansion: \((2x + 3)(4x^{2} - 6x + 9) = 2x(4x^{2} - 6x + 9) + 3(4x^{2} - 6x + 9) = 8x^{3} - 12x^{2} + 18x + 12x^{2} - 18x + 27 = 8x^{3} + 27\), which matches algebraically. As a spot check at \(x = 1\): left side is \(5 \times 7 = 35\) and right side is \(8(1)^3 + 27 = 35\).

Kiểm tra bằng cách nhân phân phối trực tiếp: \((2x + 3)(4x^{2} - 6x + 9) = 2x(4x^{2} - 6x + 9) + 3(4x^{2} - 6x + 9) = 8x^{3} - 12x^{2} + 18x + 12x^{2} - 18x + 27 = 8x^{3} + 27\), kết quả trùng khớp hoàn toàn. Thử lại tại điểm \(x = 1\) như một spot check: \((2(1)+3)(4(1)^2 - 6(1) + 9) = 5 \times 7 = 35\); vế phải \(8(1)^3 + 27 = 35\).

分配法則で直接展開して確認します：\((2x + 3)(4x^{2} - 6x + 9) = 2x(4x^{2} - 6x + 9) + 3(4x^{2} - 6x + 9) = 8x^{3} - 12x^{2} + 18x + 12x^{2} - 18x + 27 = 8x^{3} + 27\) となり一致します。スポットチェックとして \(x = 1\) を代入すると、左辺 \(5 \times 7 = 35\)、右辺 \(8 + 27 = 35\) となります。

Common mistakeLỗi cần tránh注意点

A common mistake is calculating \((2x)^{3}\) as \(2x^{3}\) by failing to cube the coefficient 2, or confusing the sign of the formula resulting in \(8x^{3} - 27\).

Sai lầm phổ biến là tính \((2x)^{3}\) thành \(2x^{3}\) do quên nâng hệ số 2 lên lũy thừa 3, hoặc nhầm dấu hằng đẳng thức thành \(8x^{3} - 27\).

\((2x)^{3}\) を \(2x^{3}\) と係数の3乗を忘れて計算したり、公式の符号を誤って \(8x^{3} - 27\) としたりする間違いに注意してください。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.1.1. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.1.1。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Nắm vững các công thức nhân bậc ba để khai triển biểu thức nhanh chóng.3次（つぎ）の乗法（じょうほう）公式（こうしき）を理解（りかい）し、式（しき）を正確（せいかく）に展開（てんかい）できるようになること。
  2. Vận dụng các quy tắc giao hoán, kết hợp, phân phối và thứ tự hoán vị vòng quanh trong tính toán.交換（こうかん）法則（ほうそく）、結合（けつごう）法則（ほうそく）、分配（ぶんぱい）法則（ほうそく）、および輪（わ）環（かん）の順（じゅん）を活用（かつよう）して計算（けいさん）すること。
Trực giác · イメージ

Trực giác về biến đổi biểu thức bậc ba3次式（じしき）展開（てんかい）の直感（ちょっかん）的（てき）理解（りかい）

Khi nhân các đa thức bậc ba, việc áp dụng đúng công thức nhân giúp rút ngắn thời gian biến đổi so với việc nhân từng số hạng. Việc sắp xếp theo thứ tự hoán vị vòng quanh hoặc tính toán theo cột dọc giúp tránh bỏ sót số hạng và nhầm dấu. Nhờ đó, bài toán biến đổi đại số trở nên hệ thống và chính xác hơn.

3次（じ）多項（たこう）式（しき）の展開（てんかい）では、乗法（じょうほう）公式（こうしき）を適用（てきよう）することで順次（じゅんじ）展開（てんかい）する手間（てま）を大幅（おおはば）に削減（さくげん）できます。輪（わ）環（かん）の順（じゅん）に整理（せいり）したりたて書（が）きの計算（けいさん）を利用（りよう）したりすることで、項（こう）の書き落（かきお）としや符号（ふごう）の誤（あやま）りを防（ふせ）げます。これにより、代数（だいすう）計算（けいさん）をより体系（たいけい）的（てき）かつ正確（せいかく）に行（おこな）うことができます。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 3次（つぎ）の乗法（じょうほう）公式（こうしき）công thức nhân bậc ba

    Là các công thức đại số giúp khai triển nhanh các biểu thức bậc ba dạng lũy thừa hoặc tích của đa thức. Việc nhớ công thức giúp đơn giản hóa quá trình tính toán.

    3次（つぎ）の累乗（るいじょう）や多項（たこう）式（しき）の積（せき）を迅速（じんそく）に展開（てんかい）するための代数（だいすう）公式（こうしき）です。公式（こうしき）を記憶（きおく）することで計算（けいさん）過程（かてい）を簡略（かんりゃく）化（か）できます。

  • 交換（こうかん）法則（ほうそく）quy tắc giao hoán

    Quy tắc cho phép thay đổi thứ tự các số hạng trong phép cộng hoặc phép nhân mà không làm thay đổi kết quả. Ví dụ a + b = b + a hoặc a * b = b * a.

    加法（かほう）や乗法（じょうほう）において項（こう）の順序（じゅんじょ）を入れ替（いれか）えても結果（けっか）が変（か）わらないという法則（ほうそく）です。例（たと）えば a + b = b + a や a * b = b * a が成り立（なりた）ちます。

  • 結合（けつごう）法則（ほうそく）quy tắc kết hợp

    Quy tắc cho phép nhóm các số hạng trong phép cộng hoặc phép nhân theo các cách khác nhau mà không đổi kết quả. Ví dụ (a + b) + c = a + (b + c).

    加法（かほう）や乗法（じょうほう）において項（こう）のくくり方（かた）を変（か）えても結果（けっか）が変（か）わらないという法則（ほうそく）です。例（たと）えば (a + b) + c = a + (b + c) が成り立（なりた）ちます。

  • 分配（ぶんぱい）法則（ほうそく）quy tắc phân phối

    Quy tắc mở ngoặc khi nhân một số với một tổng hoặc hiệu. Công thức tổng quát là a(b + c) = ab + ac.

    数（すう）を和（わ）や差（さ）に掛け合（かけあ）わせる際（さい）に括弧（かっこ）を外（はず）す法則（ほうそく）です。一般（いっぱん）的（てき）な形式（けいしき）は a(b + c) = ab + ac です。

  • たて書（が）きの計算（けいさん）tính toán theo cột dọc

    Phương pháp xếp các đa thức và hệ số theo cột dọc theo từng bậc để thực hiện phép nhân hoặc cộng một cách rõ ràng. Cách này giúp hạn chế sai sót khi biểu thức có nhiều số hạng.

    多項（たこう）式（しき）や係数（けいすう）を次数（じすう）ごとに縦（たて）に並（なら）べて乗法（じょうほう）や加法（かほう）を明瞭（めいりょう）に行（おこな）う計算（けいさん）手法（しゅほう）です。項数（こうすう）が多（おお）い場合（ばあい）の計算（けいさん）ミスを防（ふせ）ぐのに役立（やくだ）ちます。

  • 輪（わ）環（かん）の順（じゅん）thứ tự hoán vị vòng quanh

    Quy tắc quy ước trình bày sắp xếp các biến theo thứ tự vòng tròn \(a \to b \to c \to a\) nhằm thống nhất cách viết. Đây là quy ước ký hiệu giúp biểu thức tuần hoàn trực quan, không phải phép chứng minh tính đối xứng.

    変数（へんすう）を \(a \to b \to c \to a\) の順（じゅん）に整理（せいり）して記述（きじゅつ）を統一（とういつ）する記法（きほう）上（じょう）の約束（やくそく）事（じ）です。式（しき）の巡回（じゅんかい）性（せい）を視覚（しかく）的（てき）に整（ととの）えるための表記（ひょうき）法（ほう）であり、それ自体（じたい）が対称（たいしょう）性（せい）を証明（しょうめい）するものではありません。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    式（しき）の型（かた）の識別（しきべつ）

    Nhận diện dạng biểu thức

    Xác định biểu thức cần khai triển thuộc dạng lập phương của một tổng, hiệu hay tích của đa thức. Từ đó chọn công thức nhân bậc ba phù hợp.

    展開（てんかい）する式（しき）が和（わ）・差（さ）の3乗（のり）または多項（たこう）式（しき）の積（せき）のいずれの型（かた）であるかを確認（かくにん）します。それにより最適（さいてき）な3次（つぎ）の乗法（じょうほう）公式（こうしき）を選択（せんたく）します。

  2. 02
    3次（つぎ）の乗法（じょうほう）公式（こうしき）の適用（てきよう）

    Áp dụng công thức nhân bậc ba

    Thay các giá trị tương ứng của a và b vào công thức đã chọn. Chú ý tính chính xác dấu của từng số hạng.

    選択（せんたく）した公式（こうしき）の a と b に対応（たいおう）する値（あたい）を代入（だいにゅう）します。各項（かくこう）の符号（ふごう）に注意（ちゅうい）しながら計算（けいさん）を進（すす）めます。

  3. 03
    代数（だいすう）変形（へんけい）の実行（じっこう）

    Thực hiện biến đổi đại số

    Sử dụng quy tắc phân phối, giao hoán và kết hợp để nhân các hệ số và lũy thừa. Tính toán cẩn thận từng bậc của biến.

    分配（ぶんぱい）法則（ほうそく）や交換（こうかん）法則（ほうそく）、結合（けつごう）法則（ほうそく）を用（もち）いて係数（けいすう）や累乗（るいじょう）を計算（けいさん）します。変数（へんすう）の次数（じすう）ごとに丁寧（ていねい）に計算（けいさん）を完了（かんりょう）させます。

  4. 04
    結果（けっか）の整理（せいり）と簡略（かんりゃく）化（か）

    Sắp xếp và rút gọn kết quả

    Gom các số hạng đồng dạng và sắp xếp biểu thức theo thứ tự hoán vị vòng quanh hoặc lũy thừa giảm dần. Kiểm tra lại toàn bộ phép tính để đảm bảo không có sai sót.

    同類（どうるい）項（こう）をまとめて輪（わ）環（かん）の順（じゅん）または降（こう）べきの順（じゅん）に整理（せいり）します。計算（けいさん）全体（ぜんたい）を再（さい）確認（かくにん）して誤（あやま）りがないことを確（たし）かめます。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Quên nhân hệ số 3 trong công thức lập phương, tính \((a + b)^{3}\) thành \(a^{3} + a^{2} b + ab^{2} + b^{3}\).3乗（のり）の公式（こうしき）における係数（けいすう） 3 を掛（か）け忘（わす）れ、\((a + b)^{3}\) を \(a^{3} + a^{2} b + ab^{2} + b^{3}\) と誤（ご）計算（けいさん）すること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Luôn nhớ hai số hạng ở giữa của lập phương có hệ số là 3, cụ thể là \(3 a^{2} b\) và \(3 ab^{2}\).3乗（のり）の展開（てんかい）の展開（てんかい）式（しき）の内側（うちがわ）の2項（こう）には常（つね）に係数（けいすう） 3 がつき、\(3 a^{2} b\) および \(3 ab^{2}\) になることを意識（いしき）します。

Nhầm dấu của số hạng khi áp dụng \((a - b)^{3}\), viết thành \(a^{3} - 3 a^{2} b - 3 ab^{2} - b^{3}\).\((a - b)^{3}\) の適用（てきよう）時（じ）に符号（ふごう）を間違（まちが）え、\(a^{3} - 3 a^{2} b - 3 ab^{2} - b^{3}\) と記述（きじゅつ）すること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Chú ý \((-b)^{2} = +b^{2}\) nên số hạng \(3 ab^{2}\) mang dấu dương, các dấu xen kẽ là +, -, +, -.\((-b)^{2} = +b^{2}\) となるため \(3 ab^{2}\) の項（こう）は正（せい）の符号（ふごう）となり、全体（ぜんたい）の符号（ふごう）は +, -, +, - と交互（こうご）になることに注意（ちゅうい）します。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Ghi nhớ các công thức nhân bậc ba để khai triển lập phương của tổng, hiệu và tích các đa thức một cách nhanh chóng.3次（つぎ）の乗法（じょうほう）公式（こうしき）を記憶（きおく）し、和（わ）・差（さ）の3乗（のり）や多項（たこう）式（しき）の積（せき）を迅速（じんそく）に展開（てんかい）できるようにします。
  • Chú ý dấu và hệ số 3 trong biểu thức \((a + b)^{3}\) và \((a - b)^{3}\) để không mắc sai sót khi biến đổi đại số.代数（だいすう）変形（へんけい）時（じ）の誤（あやま）りを防（ふせ）ぐため、\((a + b)^{3}\) や \((a - b)^{3}\) における符号（ふごう）と係数（けいすう） 3 に注意（ちゅうい）します。
  • Sử dụng các quy tắc giao hoán, phân phối, kết hợp và thứ tự hoán vị vòng quanh để sắp xếp kết quả gọn gàng.交換（こうかん）法則（ほうそく）、分配（ぶんぱい）法則（ほうそく）、結合（けつごう）法則（ほうそく）、および輪（わ）環（かん）の順（じゅん）を利用（りよう）して、結果（けっか）を綺麗（きれい）に整理（せいり）します。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3

Công thức khai triển lập phương của một tổng hai số. Hệ số của các số hạng lần lượt là 1, 3, 3, 1.

2数（すう）の和（わ）の3乗（のり）を展開（てんかい）する公式（こうしき）です。各項（かくこう）の係数（けいすう）は順（じゅん）に 1, 3, 3, 1 となります。

(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3

Công thức khai triển lập phương của một hiệu hai số. Các dấu mang giá trị xen kẽ là dương, âm, dương, âm.

2数（すう）の差（さ）の3乗（のり）を展開（てんかい）する公式（こうしき）です。各項（かくこう）の符号（ふごう）は正（せい）、負（ふ）、正（ただし）、負（ふ）と交互（こうご）に現（あらわ）れます。

(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3

Công thức biến tích của một tổng và tam thức bậc hai \(a^{2} - ab + b^{2}\) thành tổng hai lập phương. Biểu thức thu được chỉ còn hai số hạng bậc ba.

和（わ）と二（に）次（じ）式（しき） \(a^{2} - ab + b^{2}\) の積（せき）を、3乗（のり）の和（わ）に変換（へんかん）する公式（こうしき）です。展開（てんかい）後（ご）の式（しき）は3次（つぎ）の2項（こう）のみとなります。

(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3

Công thức biến tích của một hiệu và tam thức bậc hai \(a^{2} + ab + b^{2}\) thành hiệu hai lập phương. Biểu thức thu được chỉ còn hai số hạng bậc ba.

差（さ）と二（に）次（じ）式（しき） \(a^{2} + ab + b^{2}\) の積（せき）を、3乗（のり）の差（さ）に変換（へんかん）する公式（こうしき）です。展開（てんかい）後（ご）の式（しき）は3次（つぎ）の2項（こう）のみとなります。

EJU 2026 · MATH.1.1

Bài học này hướng dẫn khai triển biểu thức bậc ba bằng công thức nhân và tính toán đại số. Học viên sẽ làm chủ các quy tắc biến đổi để tính nhanh và chính xác.

本課（ほんか）では3次（つぎ）の乗法（じょうほう）公式（こうしき）と代数（だいすう）計算（けいさん）を用（もち）いた3次式（じしき）の展開（てんかい）を解説（かいせつ）します。展開（てんかい）の法則（ほうそく）をマスターし、正確（せいかく）かつ迅速（じんそく）に計算（けいさん）する力（ちから）を身（み）につけます。

3次式（じしき）の展開（てんかい）
3次の乗法公式交換法則結合法則分配法則