Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Công thức truy hồi của dãy số phức複素（ふくそ）数列（すうれつ）の漸化（ぜんか）式（しき）

Công thức公式

z_{n+1} = \frac{1+\sqrt{3}i}{2} z_n + 3 - \sqrt{3}i
a_{n+1} = p a_n + q
\beta = \cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}
\beta^{n-1} = \cos\frac{n-1}{3}\pi + i\sin\frac{n-1}{3}\pi

Ví dụ例題

Cho dãy số phức z_n thỏa mãn z_{n+1} = \(\frac{1+\sqrt{3}i}{2}\) z_n + 3 - \(\sqrt{3}\)i với z_1 = 3 + \(\sqrt{3}\)i. Tìm giá trị của z_2.

漸化（ぜんか）式（しき） z_{n+1} = \(\frac{1+\sqrt{3}i}{2}\) z_n + 3 - \(\sqrt{3}\)i を満（み）たし、z_1 = 3 + \(\sqrt{3}\)i である複素（ふくそ）数列（すうれつ） z_n について、z_2 の値（あたい）を求（もと）めなさい。

  1. Thay n=1 vào công thức truy hồi: z_2 = \(\frac{1+\sqrt{3}i}{2}\) (3+\(\sqrt{3}\)i) + 3 - \(\sqrt{3}\)i.漸化（ぜんか）式（しき）に n=1 を代入（だいにゅう）します：z_2 = \(\frac{1+\sqrt{3}i}{2}\) (3+\(\sqrt{3}\)i) + 3 - \(\sqrt{3}\)i。
  2. Tính tích \((1 + \sqrt{3} i) (3 + \sqrt{3} i) = 3 + \sqrt{3} i + 3 \sqrt{3} i - 3 = 4 \sqrt{3} i\).積（せき） \((1 + \sqrt{3} i) (3 + \sqrt{3} i) = 3 + \sqrt{3} i + 3 \sqrt{3} i - 3 = 4 \sqrt{3} i\) を計算（けいさん）します。
  3. Chia cho 2 thu được \(2 \sqrt{3} i\), sau đó cộng với \(3 - \sqrt{3} i\) ta được \(z_{2} = 3 + \sqrt{3} i\).2 で割（われ）ると \(2 \sqrt{3} i\) となり、\(3 - \sqrt{3} i\) を足（た）すと \(z_{2} = 3 + \sqrt{3} i\) が得（え）られます。
Do \(z_{1} = 3 + \sqrt{3} i\) chính là điểm cố định \(\alpha\), nên \(z_{2} = z_{1} = 3 + \sqrt{3} i\).\(z_{1} = 3 + \sqrt{3} i\) は不（ふ）動点（どうてん） \(\alpha\) そのものであるため、\(z_{2} = z_{1} = 3 + \sqrt{3} i\) となります。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Tìm điểm cố định \(\alpha\) của công thức truy hồi z_{n+1} = \(\beta\) z_n + q với \(\beta\) = \(\frac{1+\sqrt{3}i}{2}\) và q = 3 - \(\sqrt{3}\)i.\(\beta\) = \(\frac{1+\sqrt{3}i}{2}\) および q = 3 - \(\sqrt{3}\)i のとき、漸化（ぜんか）式（しき） z_{n+1} = \(\beta\) z_n + q の不（ふ）動点（どうてん） \(\alpha\) を求（もと）めなさい。

2. Với \(\beta\) = \(\cos\)\(\frac{\pi}{3}\) + i\(\sin\)\(\frac{\pi}{3}\), tính giá trị của \(\beta^3\).\(\beta\) = \(\cos\)\(\frac{\pi}{3}\) + i\(\sin\)\(\frac{\pi}{3}\) のとき、\(\beta^3\) の値（あたい）を求（もと）めなさい。

3. Nếu \(z_{n + 1} - \alpha = \beta\) \((z_{n} - \alpha)\) với \(\beta^{6} = 1\), chu kỳ quay của dãy điểm \(z_{n}\) xung quanh điểm cố định \(\alpha\) là bao nhiêu?\(z_{n + 1} - \alpha = \beta\) \((z_{n} - \alpha)\) であり \(\beta^{6} = 1\) のとき、不（ふ）動点（どうてん） \(\alpha\) のまわりの点列（てんれつ） \(z_{n}\) の回転（かいてん）周期（しゅうき）はいくらですか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.12.2 · MATH.15.2 · MATH.15.3 · MATH.18.1. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 2 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.12.2 · MATH.15.2 · MATH.15.3 · MATH.18.1。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）2区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Xác định điểm cố định của công thức truy hồi dãy số phức.複素（ふくそ）数列（すうれつ）の漸化（ぜんか）式（しき）における不（ふ）動点（どうてん）を求（もと）める。
  2. Chuyển công thức truy hồi về dạng cấp số nhân và dùng định lý De Moivre để tìm số hạng tổng quát.漸化（ぜんか）式（しき）を等比（とうひ）数列（すうれつ）に変形（へんけい）し、ド・モアブルの定理（ていり）を用（もち）いて一般（いっぱん）項（こう）を求（もと）める。
Trực giác · イメージ

Đưa phép quay về cấp số nhân trên mặt phẳng số phức複素（ふくそ）数（すう）平面（へいめん）上（じょう）の回転（かいてん）を等比（とうひ）数列（すうれつ）に帰着（きちゃく）させる

Khi hệ số p có dạng lượng giác với |p|=1, phép nhân p tương ứng với phép quay quanh gốc tọa độ. Bằng cách dời gốc tọa độ về điểm cố định, dãy số phức trở thành cấp số nhân thể hiện phép quay quanh điểm cố định đó.

係数（けいすう） p が |p|=1 の極（ごく）形式（けいしき）のとき、p を掛（か）けることは原点（げんてん）中心（ちゅうしん）の回転（かいてん）に対応（たいおう）します。原点（げんてん）を不（ふ）動点（どうてん）へ移動（いどう）することで、複素（ふくそ）数列（すうれつ）はその不（ふ）動点（どうてん）を中心（ちゅうしん）とする回転（かいてん）を表（あらわ）す等比（とうひ）数列（すうれつ）となります。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 複素（ふくそ）数列（すうれつ）dãy số phức

    Dãy số mà các số hạng là các số phức trên mặt phẳng phức.

    各項（かくこう）が複素（ふくそ）数（すう）平面（へいめん）上（じょう）の複素（ふくそ）数（すう）である数列（すうれつ）。

  • 漸化（ぜんか）式（しき）công thức truy hồi

    Công thức biểu diễn mối quan hệ giữa số hạng tiếp theo và số hạng trước đó.

    次（つぎ）の項（こう）と前（まえ）の項（こう）との関係（かんけい）を表（あらわ）す公式（こうしき）。

  • 極（ごく）形式（けいしき）dạng lượng giác

    Dạng biểu diễn số phức qua môđun và argument: \(r (\cos \theta + i \sin \theta)\).

    複素（ふくそ）数（すう）を絶対（ぜったい）値（ち）と偏角（へんかく）を用（もち）いて \(r (\cos \theta + i \sin \theta)\) の形（かたち）で表（あらわ）す形式（けいしき）。

  • ド・モアブルの定理（ていり）định lý De Moivre

    Định lý giúp tính lũy thừa của số phức dạng lượng giác: \((\cos \theta + i \sin \theta)^{n} = \cos (n \theta) + i \sin (n \theta)\).

    極（ごく）形式（けいしき）の複素（ふくそ）数（すう）の n 乗（のり）を計算（けいさん）する定理（ていり）：\((\cos \theta + i \sin \theta)^{n} = \cos (n \theta) + i \sin (n \theta)\)。

  • 不（ふ）動点（どうてん）điểm cố định

    Nghiệm \(\alpha\) của phương trình \(\alpha = p \alpha + q\), giúp đưa truy hồi về dạng cấp số nhân.

    方程（ほうてい）式（しき） \(\alpha = p \alpha + q\) の解（かい）であり、漸化（ぜんか）式（しき）を等比（とうひ）数列（すうれつ）に変形（へんけい）するために用（もち）います。

  • 等比（とうひ）数列（すうれつ）cấp số nhân

    Dãy số trong đó tỷ số giữa hai số hạng liên tiếp là hằng số.

    隣接（りんせつ）する 2 項（こう）の比（ひ）が一定（いってい）である数列（すうれつ）。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ 1: 不（ふ）動点（どうてん）を求（もと）める

    Bước 1: Tìm điểm cố định

    Giải phương trình \(\alpha = p \alpha + q\) để tìm điểm cố định \(\alpha\). Điểm này đóng vai trò là tâm quay.

    方程（ほうてい）式（しき） \(\alpha = p \alpha + q\) を解（と）いて不（ふ）動点（どうてん） \(\alpha\) を求（もと）めます。この点（てん）が回転（かいてん）の中心（ちゅうしん）となります。

  2. 02
    ステップ 2: 等比（とうひ）数列（すうれつ）の形（かたち）に変形（へんけい）する

    Bước 2: Biến đổi về dạng cấp số nhân

    Trừ hai phương trình \(z_{n + 1} = p\) \(z_{n} + q\) và \(\alpha = p \alpha + q\) để có \(z_{n + 1} - \alpha = p (z_{n} - \alpha)\).

    2 つの式（しき） \(z_{n + 1} = p\) \(z_{n} + q\) と \(\alpha = p \alpha + q\) の辺（へん）々を引（ひ）いて \(z_{n + 1} - \alpha = p (z_{n} - \alpha)\) と変形（へんけい）します。

  3. 03
    ステップ 3: 等比（とうひ）数列（すうれつ）の公式（こうしき）とド・モアブルの定理（ていり）を適用（てきよう）する

    Bước 3: Áp dụng công thức cấp số nhân và De Moivre

    Suy ra \(z_{n} - \alpha = p^{n - 1} (z_{1} - \alpha)\), sau đó dùng định lý De Moivre để tính \(p^{n - 1}\).

    \(z_{n} - \alpha = p^{n - 1} (z_{1} - \alpha)\) を導（みちび）き、ド・モアブルの定理（ていり）を用（もち）いて \(p^{n - 1}\) を計算（けいさん）します。

  4. 04
    ステップ 4: 周期（しゅうき）性（せい）と図形（ずけい）的（てき）性質（せいしつ）を処理（しょり）する

    Bước 4: Xử lý chu kỳ và tính chất hình học

    Phân tích góc quay để xác định tính tuần hoàn và vị trí các điểm trên mặt phẳng số phức.

    回転（かいてん）角（かく）を解析（かいせき）して、複素（ふくそ）数（すう）平面（へいめん）上（じょう）の点（てん）の周期（しゅうき）性（せい）と位置（いち）関係（かんけい）を確定（かくてい）します。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Quên đổi dấu khi chuyển vế để tìm điểm cố định \(\alpha = p \alpha + q\).不（ふ）動点（どうてん） \(\alpha = p \alpha + q\) を求（もと）めるときに移項（いこう）の符号（ふごう）を間違（まちが）えること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Cần đưa về \(\alpha (1 - p) = q\) rồi chia cả hai vế cho 1-p để tính chính xác điểm cố định.\(\alpha (1 - p) = q\) の形（かたち）に整理（せいり）してから、両辺（りょうへん）を 1-p で割（わ）って正確（せいかく）に不（ふ）動点（どうてん）を求（もと）めます。

Áp dụng định lý De Moivre cho \(\beta^{n - 1}\) nhưng dùng nhầm số mũ là n thay vì n-1.\(\beta^{n - 1}\) にド・モアブルの定理（ていり）を適用（てきよう）する際（さい）、指数（しすう）を n-1 ではなく誤（あやま）って n にすること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Số hạng thứ n của cấp số nhân có số mũ là n-1, do đó góc quay phải là \(\frac{n-1}{3}\)\(\pi\).等比（とうひ）数列（すうれつ）の第（だい） n 項（こう）の指数（しすう）は n-1 であるため、回転（かいてん）角（かく）は \(\frac{n-1}{3}\)\(\pi\) となります。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Công thức truy hồi \(a_{n + 1} = p\) \(a_{n} + q\) của dãy số phức được giải bằng cách tìm điểm cố định \(\alpha\).複素（ふくそ）数列（すうれつ）の漸化（ぜんか）式（しき） \(a_{n + 1} = p\) \(a_{n} + q\) は不（ふ）動点（どうてん） \(\alpha\) を求（もと）めることで解（と）かれます。
  • Việc đưa về dãy \(z_{n} - \alpha = p^{n - 1} (z_{1} - \alpha)\) giúp chuyển bài toán về phép quay xung quanh điểm \(\alpha\).数列（すうれつ） \(z_{n} - \alpha = p^{n - 1} (z_{1} - \alpha)\) に変形（へんけい）することで、点（てん） \(\alpha\) を中心（ちゅうしん）とする回転（かいてん）問題（もんだい）に帰着（きちゃく）します。
  • Định lý De Moivre cho phép tính lũy thừa \(p^{n - 1}\) một cách dễ dàng thông qua dạng lượng giác.ド・モアブルの定理（ていり）を利用（りよう）すると、極（ごく）形式（けいしき）を用（もち）いて \(p^{n - 1}\) の累乗（るいじょう）を簡単（かんたん）に計算（けいさん）できます。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

z_{n+1} = \frac{1+\sqrt{3}i}{2} z_n + 3 - \sqrt{3}i

Công thức truy hồi bậc nhất của dãy số phức với hệ số quay.

回転（かいてん）係数（けいすう）をもつ複素（ふくそ）数列（すうれつ）の 1 次（じ）漸化（ぜんか）式（しき）です。

a_{n+1} = p a_n + q

Dạng tổng quát của công thức truy hồi tuyến tính bậc nhất.

1 次（じ）線形（せんけい）漸化（ぜんか）式（しき）の一般（いっぱん）形（けい）です。

\beta = \cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}

Biểu diễn hệ số quay dưới dạng lượng giác với góc quay \(\pi / 3\).

回転（かいてん）角（かく） \(\pi / 3\) をもつ回転（かいてん）係数（けいすう）の極（ごく）形式（けいしき）表示（ひょうじ）です。

\beta^{n-1} = \cos\frac{n-1}{3}\pi + i\sin\frac{n-1}{3}\pi

Biểu thức lũy thừa của hệ số quay theo định lý De Moivre.

ド・モアブルの定理（ていり）による回転（かいてん）係数（けいすう）の n-1 乗（のり）の計算（けいさん）式（しき）です。

EJU 2026 · MATH.12.2 · MATH.15.2 · MATH.15.3 · MATH.18.1

Bài học hướng dẫn giải công thức truy hồi của dãy số phức dạng tuyến tính \(a_{n + 1} = p\) \(a_{n} + q\). Phương pháp dựa vào điểm cố định và định lý De Moivre để đưa về cấp số nhân.

本課（ほんか）では一（いち）次（じ）漸化（ぜんか）式（しき） \(a_{n + 1} = p\) \(a_{n} + q\) 型（かた）の複素（ふくそ）数列（すうれつ）の解法（かいほう）を解説（かいせつ）します。不（ふ）動点（どうてん）とド・モアブルの定理（ていり）を用（もち）いて等比（とうひ）数列（すうれつ）に帰着（きちゃく）させます。

複素（ふくそ）数列（すうれつ）の漸化（ぜんか）式（しき）
複素数列漸化式極形式ド・モアブルの定理