Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Giới hạn của dãy tích phân xác định và tổng chuỗi vô hạn定積（ていせき）分列（ぶんれつ）の極限（きょくげん）と無限（むげん）級数（きゅうすう）の和（わ）

Công thức公式

a_n=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(\tan x)^{2n}dx
a_{n+1}=\frac{1}{2n+1}-a_n
\lim_{n\to\infty}a_n=0
\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k+1}}{2k-1}=\frac{\pi}{4}

Ví dụ例題

Xét dãy tích phân a_n định nghĩa như trên. Cho biết a_1 = 1 - pi/4. Hãy tính tổng S_2 = 1 - 1/3.

上記（じょうき）の定積（ていせき）分列（ぶんれつ） a_n を考（かんが）える。a_1 = 1 - pi/4 とする。和（わ） S_2 = 1 - 1/3 を計算（けいさん）せよ。

  1. Bước 1: Áp dụng công thức truy hồi a_(n+1) + a_n = 1/(2n+1) cho n = 1, ta có a_2 + a_1 = 1/3.ステップ1：n = 1 に対（たい）して漸化（ぜんか）式（しき） a_(n+1) + a_n = 1/(2n+1) を適用（てきよう）すると、a_2 + a_1 = 1/3 となります。
  2. Bước 2: Suy ra a_2 = 1/3 - a_1 = 1/3 - (1 - pi/4) = pi/4 - 2/3.ステップ2：したがって a_2 = 1/3 - a_1 = 1/3 - (1 - pi/4) = pi/4 - 2/3 となります。
  3. Bước 3: Dạng tổng đan dấu S_2 = 1 - 1/3 được tính bằng 2/3, tương ứng với pi/4 - a_2.ステップ3：交（こう）項（こう）和（わ） S_2 = 1 - 1/3 は 2/3 と計算（けいさん）され、これは pi/4 - a_2 に対応（たいおう）します。
Như vậy, tổng 2 số hạng đầu của chuỗi đan dấu là 2/3.したがって、交（こう）項（こう）級数（きゅうすう）の最初（さいしょ）の2項（こう）の和（わ）は 2/3 となります。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Dựa vào công thức truy hồi a_(n+1) = 1/(2n+1) - a_n, giá trị của a_1 + a_2 bằng bao nhiêu?漸化（ぜんか）式（しき） a_(n+1) = 1/(2n+1) - a_n に基（もと）づくと、a_1 + a_2 の値（あたい）はいくらですか。

2. Giá trị giới hạn lim_{n->infty} a_n của dãy tích phân xác định trong bài bằng bao nhiêu?本課（ほんか）における定積（ていせき）分列（ぶんれつ）の極限（きょくげん）値（ち） lim_{n->infty} a_n はいくらですか。

3. Giá trị của tổng chuỗi vô hạn lim_{n->infty} sum_{k=1}^n (-1)^(k+1)/(2k-1) là bao nhiêu?無限（むげん）級数（きゅうすう）の和（わ） lim_{n->infty} sum_{k=1}^n (-1)^(k+1)/(2k-1) の値（あたい）はいくらですか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.12.2 · MATH.18.1 · MATH.20.1. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.12.2 · MATH.18.1 · MATH.20.1。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Hiểu mối liên hệ giữa dãy tích phân xác định và công thức truy hồi.定積（ていせき）分列（ぶんれつ）と漸化（ぜんか）式（しき）の関係（かんけい）を理解（りかい）する。
  2. Tính giới hạn của dãy tích phân khi n tiến đến vô cùng.nが無限（むげん）大（だい）に近（ちか）づくときの定積（ていせき）分列（ぶんれつ）の極限（きょくげん）を計算（けいさん）する。
  3. Áp dụng giới hạn của dãy tích phân để tìm tổng của chuỗi vô hạn đan dấu.定積（ていせき）分列（ぶんれつ）の極限（きょくげん）を応用（おうよう）して無限（むげん）交（こう）項（こう）級数（きゅうすう）の和（わ）を求（もと）める。
Trực giác · イメージ

Ý tưởng biến đổi tích phân thành tổng chuỗi vô hạn定（てい）積分（せきぶん）を無限（むげん）級数（きゅうすう）の和（わ）に変換（へんかん）する直感（ちょっかん）

Bằng cách sử dụng quan hệ truy hồi giữa các phần tử của dãy tích phân xác định, ta có thể biểu diễn tổng một chuỗi đan dấu dưới dạng hiệu của giá trị hằng số và một tích phân. Khi số hạng tổng quát của tích phân tiến về 0, tổng chuỗi vô hạn sẽ hội tụ về giá trị hằng số đó.

定積（ていせき）分列（ぶんれつ）の項（こう）間（かん）の漸化（ぜんか）式（しき）を利用（りよう）することで、交（こう）項（こう）級数（きゅうすう）の和（わ）を定数（ていすう）と定（てい）積分（せきぶん）の差（さ）として表（あらわ）すことができます。定（てい）積分（せきぶん）の一般（いっぱん）項（こう）が0に収束（しゅうそく）するとき、無限（むげん）級数（きゅうすう）の和（わ）はその定数（ていすう）に収束（しゅうそく）します。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 定積（ていせき）分列（ぶんれつ）dãy tích phân xác định

    Dãy số trong đó mỗi số hạng được định nghĩa bằng một tích phân xác định phụ thuộc vào chỉ số n.

    各項（かくこう）がインデックスnに依存（いぞん）する定（てい）積分（せきぶん）によって定義（ていぎ）される数列（すうれつ）。

  • 極限（きょくげん）giới hạn

    Giá trị mà dãy số hoặc hàm số tiến tới khi biến số tiến đến một giá trị nhất định hoặc vô cùng.

    変数（へんすう）がある値（あたい）や無限（むげん）大（だい）に近（ちか）づくときに数列（すうれつ）や関数（かんすう）が近（ちか）づく値（あたい）。

  • 無限（むげん）級数（きゅうすう）chuỗi vô hạn

    Tổng của vô hạn các số hạng trong một dãy số.

    数列（すうれつ）の無限（むげん）個（こ）の項（こう）の和（わ）。

  • 円周（えんしゅう）率（りつ）số Pi

    Tỷ số giữa chu vi của một đường tròn và đường kính của nó, thường xuất hiện trong kết quả tích phân và tổng chuỗi.

    円（えん）の周長（しゅうちょう）と直径（ちょっけい）の比（ひ）であり、定積（ていせき）分（ぶん）や級数（きゅうすう）の和（わ）の結果（けっか）によく現（あらわ）れる定数（ていすう）。

  • 交（こう）項（こう）級数（きゅうすう）chuỗi đan dấu

    Chuỗi vô hạn có các số hạng thay đổi dấu cộng và trừ luân phiên nhau.

    各項（かくこう）の符号（ふごう）が正（せい）と負（ふ）で交互（こうご）に入れ替（いれか）わる無限（むげん）級数（きゅうすう）。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：定積（ていせき）分列（ぶんれつ）の漸化（ぜんか）式（しき）を導出（どうしゅつ）する

    Bước 1: Thiết lập công thức truy hồi cho dãy tích phân

    Sử dụng biến đổi lượng giác để biến đổi hàm dưới dấu tích phân và thiết lập mối quan hệ giữa a_(n+1) và a_n. Ta thu được công thức truy hồi dạng a_(n+1) = 1/(2n+1) - a_n.

    被（ひ）積分（せきぶん）関数（かんすう）を三角（さんかく）関数（かんすう）の性質（せいしつ）を用（もち）いて変形（へんけい）し、a_(n+1)とa_nの間（あいだ）の関係（かんけい）式（しき）を導（みちび）きます。これにより漸化（ぜんか）式（しき） a_(n+1) = 1/(2n+1) - a_n を得（え）ます。

  2. 02
    ステップ2：定積（ていせき）分列（ぶんれつ）の極限（きょくげん）を処理（しょり）する

    Bước 2: Xử lý giới hạn của dãy tích phân xác định

    Đánh giá giá trị của tích phân khi n tăng lên vô cùng. Kết quả thu được là lim_{n->infty} a_n = 0.

    nが無限（むげん）大（だい）に向（む）かうときの定（てい）積分（せきぶん）の値（あたい）を評価（ひょうか）します。その結果（けっか）、lim_{n->infty} a_n = 0 となります。

  3. 03
    ステップ3：交（こう）項（こう）和（わ）を定積（ていせき）分列（ぶんれつ）で表（あらわ）す

    Bước 3: Biểu diễn tổng đan dấu qua dãy tích phân

    Cộng liên tiếp các công thức truy hồi để rút gọn và tạo ra tổng đan dấu của các phân số lẻ. Tổng này liên kết trực tiếp với a_n và số Pi/4.

    漸化（ぜんか）式（しき）を順次（じゅんじ）加算（かさん）して整理（せいり）し、奇数（きすう）の逆数（ぎゃくすう）の交（こう）項（こう）和（わ）を作り出（つくりだ）します。この和（わ）はa_nおよび円周（えんしゅう）率（りつ）Pi/4と直接（ちょくせつ）関連（かんれん）しています。

  4. 04
    ステップ4：極限（きょくげん）をとって無限（むげん）級数（きゅうすう）の和（わ）を計算（けいさん）する

    Bước 4: Tính tổng chuỗi vô hạn khi lấy giới hạn

    Lấy giới hạn hai vế khi n tiến đến vô cùng và thế lim a_n = 0 vào. Ta được kết quả tổng chuỗi vô hạn bằng Pi/4.

    nを無限（むげん）大（だい）に飛（と）ばす極限（きょくげん）をとり、lim a_n = 0 を代入（だいにゅう）します。これにより無限（むげん）級数（きゅうすう）の和（わ）が Pi/4 になることが導（みちび）かれます。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Nhầm lẫn dấu trong công thức truy hồi thành a_(n+1) = 1/(2n+1) + a_n.漸化（ぜんか）式（しき）の符号（ふごう）を誤（あやま）って a_(n+1) = 1/(2n+1) + a_n とすること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Công thức đúng là a_(n+1) = 1/(2n+1) - a_n với dấu trừ trước a_n.正（ただ）しい公式（こうしき）は a_n の前（まえ）にマイナス符号（ふごう）がつく a_(n+1) = 1/(2n+1) - a_n です。

Cho rằng lim_{n->infty} a_n không bằng 0 nên tổng chuỗi không hội tụ.lim_{n->infty} a_n が0にならないと勘違（かんちが）いし、級数（きゅうすう）が収束（しゅうそく）しないと判断（はんだん）すること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Giới hạn lim_{n->infty} a_n bằng 0 là điều kiện bắt buộc để tổng chuỗi đan dấu hội tụ về pi/4.lim_{n->infty} a_n = 0 であることが、交（こう）項（こう）級数（きゅうすう）が pi/4 に収束（しゅうそく）するための必須（ひっす）の条件（じょうけん）です。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Công thức truy hồi của dãy tích phân là a_(n+1) = 1/(2n+1) - a_n.定積（ていせき）分列（ぶんれつ）の漸化（ぜんか）式（しき）は a_(n+1) = 1/(2n+1) - a_n です。
  • Giới hạn của dãy tích phân khi n tiến ra vô cùng là 0.nが無限（むげん）大（だい）に向（む）かうときの定積（ていせき）分列（ぶんれつ）の極限（きょくげん）は 0 です。
  • Tổng của chuỗi vô hạn đan dấu hội tụ về pi/4.無限（むげん）交（こう）項（こう）級数（きゅうすう）の和（わ）は pi/4 に収束（しゅうそく）します。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

a_n=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(\tan x)^{2n}dx

Số hạng tổng quát của dãy tích phân xác định.

定積（ていせき）分列（ぶんれつ）の一般（いっぱん）項（こう）。

a_{n+1}=\frac{1}{2n+1}-a_n

Công thức truy hồi liên hệ giữa hai số hạng liên tiếp của dãy tích phân.

定積（ていせき）分列（ぶんれつ）の隣接（りんせつ）する2項（こう）間（かん）の漸化（ぜんか）式（しき）。

\lim_{n\to\infty}a_n=0

Giới hạn của dãy tích phân khi n tiến ra vô cùng.

nが無限（むげん）大（だい）に近（ちか）づくときの定積（ていせき）分列（ぶんれつ）の極限（きょくげん）。

\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k+1}}{2k-1}=\frac{\pi}{4}

Tổng của chuỗi vô hạn đan dấu hội tụ về số Pi chia 4.

無限（むげん）交（こう）項（こう）級数（きゅうすう）の和（わ）が円周（えんしゅう）率（りつ）の4分（ぶん）の1に収束（しゅうそく）する公式（こうしき）。

EJU 2026 · MATH.12.2 · MATH.18.1 · MATH.20.1

Bài học này hướng dẫn cách xác định giới hạn của dãy tích phân xác định và tính tổng chuỗi vô hạn đan dấu liên quan đến số Pi.

本課（ほんか）では定積（ていせき）分列（ぶんれつ）の極限（きょくげん）を求（もと）め、円周（えんしゅう）率（りつ）に関連（かんれん）する無限（むげん）交（こう）項（こう）級数（きゅうすう）の和（わ）を計算（けいさん）する方法（ほうほう）を学（まな）びます。

定積（ていせき）分列（ぶんれつ）の極限（きょくげん）と無限（むげん）級数（きゅうすう）の和（わ）
定積分列極限無限級数円周率