Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Giới hạn của hàm số関数（かんすう）の極限（きょくげん）

Công thức公式

\lim_{x \to a} (f(x) \pm g(x)) = \alpha \pm \beta
\lim_{x \to a} (f(x) g(x)) = \alpha \beta
\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\alpha}{\beta}
\lim_{x \to a + 0} f(x) = \lim_{x \to a - 0} f(x) = \alpha \iff \lim_{x \to a} f(x) = \alpha

Ví dụ例題

Tính giới hạn của hàm số \(f(x) = (x^{2} - 4) / (x - 2)\) khi x tiến tới 2.

xが2に近（ちか）づくときの関数（かんすう） \(f(x) = (x^{2} - 4) / (x - 2)\) の極限（きょくげん）を求（もと）めなさい。

  1. Khi thay x = 2 vào f(x), ta được dạng vô định 0/0.x = 2をf(x)に代入（だいにゅう）すると、0/0の不（ふ）定形（ていけい）になります。
  2. Phân tích tử số thành \(x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)\), rồi triệt tiêu nhân tử (x - 2) với mẫu số.分子（ぶんし）を \(x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)\) と因数（いんすう）分解（ぶんかい）し、分母（ぶんぼ）の (x - 2) 約分（やくぶん）します。
  3. Biểu thức đơn giản hóa thành x + 2. Khi x tiến tới 2, giá trị giới hạn là 2 + 2 = 4.式（しき）を約分（やくぶん）すると x + 2 となります。xが2に近（ちか）づくとき、極限（きょくげん）値（ち）は 2 + 2 = 4 です。
Vậy giới hạn của hàm số khi x tiến tới 2 là 4.したがって、xが2に近（ちか）づくときの関数（かんすう）の極限（きょくげん）値（ち）は4です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Tính giới hạn \(\lim_{x \to 3}\) \(\frac{x^2 - 9}{x - 3}\).極限（きょくげん） \(\lim_{x \to 3}\) \(\frac{x^2 - 9}{x - 3}\) を求（もと）めなさい。

2. Cho f(x) = x + 1 với x > 1 và f(x) = 2x với x < 1. Giới hạn \(\lim_{x \to 1}\) f(x) có giá trị là bao nhiêu?x > 1 のとき f(x) = x + 1、x < 1 のとき f(x) = 2x とする。極限（きょくげん） \(\lim_{x \to 1}\) f(x) の値（あたい）はいくらか。

3. Cho \(\lim_{x \to 2}\) f(x) = 3 và \(\lim_{x \to 2}\) g(x) = 4. Tính \(\lim_{x \to 2}\) (2f(x) + g(x)).\(\lim_{x \to 2}\) f(x) = 3 かつ \(\lim_{x \to 2}\) g(x) = 4 のとき、\(\lim_{x \to 2}\) (2f(x) + g(x)) を求（もと）めなさい。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.18.2. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 3 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.18.2。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）3区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Nắm vững định nghĩa giới hạn của hàm số và giá trị giới hạn.関数（かんすう）の極限（きょくげん）および極限（きょくげん）値（ち）の定義（ていぎ）を理解（りかい）する。
  2. Phân biệt giới hạn bên trái, giới hạn bên phải và điều kiện tồn tại giới hạn.左側（ひだりがわ）極限（きょくげん）、右側（みぎがわ）極限（きょくげん）、および極限（きょくげん）の存在（そんざい）条件（じょうけん）を区別（くべつ）する。
  3. Biết cách xử lý dạng vô định bằng các tính chất giới hạn cơ bản.基本（きほん）的（てき）な極限（きょくげん）の性質（せいしつ）を用（もち）いて不定（ふてい）形（けい）を処理（しょり）する方法（ほうほう）を身（み）につける。
Trực giác · イメージ

Ý nghĩa của việc tiến dần tới một điểmある値（あたい）に近（ちか）づくことの意味（いみ）

Khi biến số x tiến ngày càng gần đến giá trị a nhưng không nhất thiết bằng a, giá trị hàm số f(x) có thể tiến tới một số thực xác định. Số thực đó chính là giá trị giới hạn biểu thị xu hướng hành vi của hàm số.

変数（へんすう）xがaに限（かぎ）りなく近（ちか）づくとき、関数（かんすう）f(x)の値（あたい）がある確定（かくてい）した実数（じっすう）に近（ちか）づくことがあります。その実数（じっすう）が、関数（かんすう）の挙動（きょどう）の傾向（けいこう）を表（あらわ）す極限（きょくげん）値（ち）です。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 関数（かんすう）の極限（きょくげん）giới hạn của hàm số

    Giới hạn của hàm số mô tả sự thay đổi của f(x) khi x tiến dần tới điểm a. Nếu f(x) tiến tới số thực \(\alpha\) thì \(\alpha\) là giới hạn của hàm số tại a.

    関数（かんすう）の極限（きょくげん）とは、xがaに近（ちか）づくときのf(x)の変化（へんか）の様子（ようす）を表（あらわ）します。f(x)が実数（じっすう）アルファに近（ちか）づくとき、アルファをaにおける関数（かんすう）の極限（きょくげん）と言（い）います。

  • 極限（きょくげん）値（ち）giá trị giới hạn

    Giá trị giới hạn là số thực \(\alpha\) mà hàm số f(x) tiến tới khi x tiến tới a. Nó có thể khác với giá trị f(a) của hàm số tại điểm đó.

    極限（きょくげん）値（ち）とは、xがaに近（ちか）づくときに関数（かんすう）f(x)が目指（めざ）す実数（じっすう）アルファのことです。その点（てん）での関数（かんすう）の値（あたい）f(a)とは異（こと）なる場合（ばあい）があります。

  • 不（ふ）定形（ていけい）dạng vô định

    Dạng vô định là dạng biểu thức như 0/0 khi thay trực tiếp chưa thể kết luận ngay giá trị giới hạn. Ta cần biến đổi đại số để triệt tiêu nhân tử chung trước khi tính.

    不（ふ）定形（ていけい）とは、直接（ちょくせつ）代入（だいにゅう）すると0/0などになり極限（きょくげん）値（ち）がすぐに決（き）まらない形（かたち）です。計算（けいさん）前（まえ）に約分（やくぶん）などの代数（だいすう）変形（へんけい）を行（おこな）う必要（ひつよう）があります。

  • 右側（みぎがわ）極限（きょくげん）giới hạn bên phải

    Giới hạn bên phải là giá trị mà f(x) tiến tới khi x tiến tới a từ phía lớn hơn a, ký hiệu x tiến tới a + 0. Ký hiệu này giúp xét hàm số có sự thay đổi khác nhau ở hai bên.

    右側（みぎがわ）極限（きょくげん）とは、xがaより大（おお）きい側（がわ）からaに近（ちか）づくときのf(x)の極限（きょくげん）値（ち）で、x→a+0と表記（ひょうき）します。左右（さゆう）で挙動（きょどう）が異（こと）なる関数（かんすう）を調（しら）べるのに用（もち）います。

  • 左側（ひだりがわ）極限（きょくげん）giới hạn bên trái

    Giới hạn bên trái là giá trị mà f(x) tiến tới khi x tiến tới a từ phía nhỏ hơn a, ký hiệu x tiến tới a - 0. Việc so sánh giới hạn bên trái và bên phải là rất quan trọng.

    左側（ひだりがわ）極限（きょくげん）とは、xがaより小（ちい）さい側（がわ）からaに近（ちか）づくときのf(x)の極限（きょくげん）値（ち）で、x→a-0と表記（ひょうき）します。右側（みぎがわ）極限（きょくげん）との比較（ひかく）が極（きわ）めて重要（じゅうよう）です。

  • 片側（かたがわ）極限（きょくげん）giới hạn một bên

    Giới hạn một bên là tên gọi chung cho giới hạn bên trái và giới hạn bên phải. Giới hạn của hàm số tại a tồn tại khi và chỉ khi hai giới hạn một bên bằng nhau.

    片側（かたがわ）極限（きょくげん）とは、左側（ひだりがわ）極限（きょくげん）と右側（みぎがわ）極限（きょくげん）の総称（そうしょう）です。両方（りょうほう）の片側（かたがわ）極限（きょくげん）が存在（そんざい）して一致（いっち）するときのみ、その点（てん）での関数（かんすう）の極限（きょくげん）が存在（そんざい）します。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：直接（ちょくせつ）代入（だいにゅう）と形（かたち）の確認（かくにん）

    Bước 1: Thay trực tiếp và kiểm tra dạng

    Thay x = a vào hàm số để xem kết quả có xác định hay thuộc dạng vô định. Nếu là dạng xác định, kết quả đó chính là giá trị giới hạn.

    x = aを関数（かんすう）に代入（だいにゅう）し、結果（けっか）が確定（かくてい）値（ち）か不（ふ）定形（ていけい）かを確認（かくにん）します。確定（かくてい）値（ち）であれば、それがそのまま極限（きょくげん）値（ち）となります。

  2. 02
    ステップ2：不（ふ）定形（ていけい）の解消（かいしょう）

    Bước 2: Khử dạng vô định nếu có

    Nếu gặp dạng vô định 0/0, phân tích tử và mẫu thành nhân tử để triệt tiêu tử số và mẫu số chứa (x - a). Sau khi khử nhân tử chung, biểu thức trở nên xác định.

    0/0の不（ふ）定形（ていけい）の場合（ばあい）は、分子（ぶんし）と分母（ぶんぼ）を因数（いんすう）分解（ぶんかい）して(x - a)の因数（いんすう）を約分（やくぶん）します。共通（きょうつう）因数（いんすう）を消去（しょうきょ）することで式（しき）が確定（かくてい）形（けい）になります。

  3. 03
    ステップ3：必要（ひつよう）に応（おう）じた片側（かたがわ）極限（きょくげん）の検討（けんとう）

    Bước 3: Xét giới hạn một bên khi cần

    Đối với hàm số chứa giá trị tuyệt đối hoặc cho bởi nhiều công thức, hãy tính riêng giới hạn bên trái và bên phải. Điều này giúp xác định tính liên tục và sự tồn tại giới hạn.

    絶対（ぜったい）値（ち）を含（ふく）む関数（かんすう）や分（わ）かつ義（ぎ）された関数（かんすう）では、左側（ひだりがわ）極限（きょくげん）と右側（みぎがわ）極限（きょくげん）を別々（べつべつ）に計算（けいさん）します。これにより極限（きょくげん）の存在（そんざい）を正（ただ）しく判定（はんてい）できます。

  4. 04
    ステップ4：極限（きょくげん）値（ち）の結論（けつろん）

    Bước 4: Kết luận giá trị giới hạn

    Áp dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia giới hạn để đưa ra kết quả cuối cùng. Đối với giới hạn hai bên, chỉ kết luận khi hai giới hạn một bên trùng nhau.

    極限（きょくげん）の四則（しそく）演算（えんざん）の性質（せいしつ）を適用（てきよう）して最終（さいしゅう）結果（けっか）を導（みちび）きます。両側（りょうがわ）極限（きょくげん）は、2つの片側（かたがわ）極限（きょくげん）が一致（いっち）する場合（ばあい）のみ結論（けつろん）とします。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Cho rằng f(a) không xác định thì giới hạn tại a cũng không tồn tại.f(a)が定義（ていぎ）されていないため、aにおける極限（きょくげん）値（ち）も存在（そんざい）しないと勘違（かんちが）いすること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Giới hạn chỉ xét hành vi của hàm số khi x tiến gần tới a chứ không phụ thuộc vào giá trị f(a). Dù f(a) không xác định, giới hạn vẫn có thể tồn tại.極限（きょくげん）はxがaに近（ちか）づくときの挙動（きょどう）のみを問題（もんだい）にし、f(a)の値（あたい）には依存（いぞん）しません。f(a)が未（み）定義（ていぎ）でも極限（きょくげん）値（ち）は存在（そんざい）し得（え）ます。

Kết luận giới hạn tồn tại mà không kiểm tra xem giới hạn bên trái và bên phải có bằng nhau không.左側（ひだりがわ）極限（きょくげん）と右側（みぎがわ）極限（きょくげん）が一致（いっち）するか確認（かくにん）せずに、極限（きょくげん）が存在（そんざい）すると結論（けつろん）付（つ）けること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Chỉ khi giới hạn bên trái và giới hạn bên phải cùng tồn tại và bằng nhau thì giới hạn tại điểm đó mới tồn tại.左側（ひだりがわ）極限（きょくげん）と右側（みぎがわ）極限（きょくげん）がともに存在（そんざい）し、かつ一致（いっち）する場合（ばあい）にのみ、その点（てん）での極限（きょくげん）が存在（そんざい）します。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Giới hạn của hàm số phản ánh xu hướng giá trị của f(x) khi x tiến gần tới a.関数（かんすう）の極限（きょくげん）は、xがaに近（ちか）づくときのf(x)の値（あたい）の傾向（けいこう）を表（あらわ）します。
  • Dạng vô định 0/0 cần được triệt tiêu nhân tử chung trước khi thay số tính giá trị.0/0の不（ふ）定形（ていけい）は、代入（だいにゅう）して計算（けいさん）する前（まえ）に共通（きょうつう）因数（いんすう）を約分（やくぶん）して解消（かいしょう）する必要（ひつよう）があります。
  • Giới hạn tại điểm a tồn tại khi và chỉ khi giới hạn bên trái và giới hạn bên phải cùng tồn tại và bằng nhau.点（てん）aにおける極限（きょくげん）が存在（そんざい）するためには、左側（ひだりがわ）極限（きょくげん）と右側（みぎがわ）極限（きょくげん）がともに存在（そんざい）し一致（いっち）することが必要（ひつよう）十（じゅう）分（ふん）条件（じょうけん）です。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

\lim_{x \to a} (f(x) \pm g(x)) = \alpha \pm \beta

Giới hạn của tổng hoặc hiệu hai hàm số bằng tổng hoặc hiệu các giá trị giới hạn của từng hàm số.

2つの関数（かんすう）の和（なご）または差（さ）の極限（きょくげん）は、それぞれの極限（きょくげん）値（ち）の和（なご）または差（さ）に等（ひと）しくなります。

\lim_{x \to a} (f(x) g(x)) = \alpha \beta

Giới hạn của tích hai hàm số bằng tích các giá trị giới hạn của từng hàm số.

2つの関数（かんすう）の積（せき）の極限（きょくげん）は、それぞれの極限（きょくげん）値（ち）の積（せき）に等（ひと）しくなります。

\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\alpha}{\beta}

Giới hạn của thương hai hàm số bằng thương các giá trị giới hạn, với điều kiện giới hạn ở mẫu số khác 0.

2つの関数（かんすう）の商（しょう）の極限（きょくげん）は、分母（ぶんぼ）の極限（きょくげん）値（ち）が0でない限（かぎ）り、それぞれの極限（きょくげん）値（ち）の商（しょう）に等（ひと）しくなります。

\lim_{x \to a + 0} f(x) = \lim_{x \to a - 0} f(x) = \alpha \iff \lim_{x \to a} f(x) = \alpha

Giới hạn tại a bằng \(\alpha\) khi và chỉ khi giới hạn bên phải và giới hạn bên trái đều tồn tại và bằng \(\alpha\).

x→aでの極限（きょくげん）がアルファであることは、右側（みぎがわ）極限（きょくげん）と左側（ひだりがわ）極限（きょくげん）がともに存在（そんざい）してアルファに等（ひと）しいことと同値（どうち）です。

EJU 2026 · MATH.18.2

Bài học này giúp bạn hiểu khái niệm giới hạn của hàm số và cách tính giá trị giới hạn khi x tiến tới một điểm. Bạn cũng sẽ nắm vững điều kiện tồn tại giới hạn thông qua giới hạn một bên.

この課（か）では、関数（かんすう）の極限（きょくげん）の概念（がいねん）と、xがある値（あたい）に近（ちか）づくときの極限（きょくげん）値（ち）の計算（けいさん）方法（ほうほう）を学（まな）びます。また、片側（かたがわ）極限（きょくげん）を通（つう）じて極限（きょくげん）の存在（そんざい）条件（じょうけん）を理解（りかい）します。

関数（かんすう）の極限（きょくげん）
関数の極限極限値不定形右側極限