Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Tổng nghịch đảo các lũy thừa của số tự nhiên và tích phân xác định自然（しぜん）数（すう）の累乗（るいじょう）の逆数（ぎゃくすう）和（わ）と定（てい）積分（せきぶん）

Công thức公式

\log(n+1) \le 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}
1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{n^2} \le 2 - \frac{1}{n}
\int_{k}^{k+1} \frac{1}{x} dx \le \frac{1}{k}
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = \infty

Ví dụ例題

Sử dụng bất đẳng thức 1 + 1/2^2 + 1/3^2 + ... + 1/n^2 <= 2 - 1/n, hãy tìm một hằng số M sao cho tổng phần S_n = \(\sum_{k=1}^{n}\) \(\frac{1}{k^2}\) luôn nhỏ hơn M với mọi số tự nhiên n.

不（ふ）等式（とうしき） 1 + 1/2^2 + 1/3^2 + ... + 1/n^2 <= 2 - 1/n を用（もち）いて、すべての自然（しぜん）数（すう） n に対（たい）して一部（いちぶ）和（わ） S_n = \(\sum_{k=1}^{n}\) \(\frac{1}{k^2}\) が常（つね）に M より小（ちい）さくなるような定数（ていすう） M を見（み）つけなさい。

  1. Quan sát bất đẳng thức đã cho: Ta có S_n = 1 + \(\frac{1}{2^2}\) + \(\frac{1}{3^2}\) + \dots + \(\frac{1}{n^2}\) \(\le\) 2 - \(\frac{1}{n}\).与（あた）えられた不（ふ）等式（とうしき）の観察（かんさつ）：S_n = 1 + \(\frac{1}{2^2}\) + \(\frac{1}{3^2}\) + \dots + \(\frac{1}{n^2}\) \(\le\) 2 - \(\frac{1}{n}\) が成り立（なりた）ちます。
  2. Đánh giá vế phải: Vì n là số tự nhiên (n >= 1), ta có 1/n > 0. Do đó 2 - 1/n < 2 với mọi n.右辺（うへん）の評価（ひょうか）：nは自然（しぜん）数（すう）（n >= 1）であるため、1/n > 0 です。したがって、すべての n に対（たい）して 2 - 1/n < 2 となります。
  3. Kết luận giá trị M: Do đó \(S_{n} < 2\) với mọi n, ta chọn hằng số M = 2.定数（ていすう）Mの結論（けつろん）：したがって、すべての n に対（たい）して \(S_{n} < 2\) であり、定数（ていすう） M = 2 を選（えら）ぶことができます。
Hằng số M thỏa mãn \(S_{n} < M\) với mọi số tự nhiên n là M = 2.したがって、すべての自然（しぜん）数（すう） n に対（たい）して \(S_{n} < M\) を満（み）たす定数（ていすう） M は M = 2 です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Mệnh đề nào sau đây là đúng về chuỗi \(\sum_{n=1}^{\infty}\) \(\frac{1}{n}\)?級数（きゅうすう） \(\sum_{n=1}^{\infty}\) \(\frac{1}{n}\) について、正（ただ）しい記述（きじゅつ）はどれですか。

2. Giá trị của tích phân \(\int_{1}^{2}\) \(\frac{1}{x}\) dx thỏa mãn bất đẳng thức \(\int_{1}^{2}\) \(\frac{1}{x}\) dx \(\le\) \(\frac{1}{k}\) với k bằng bao nhiêu?定（てい）積分（せきぶん） \(\int_{1}^{2}\) \(\frac{1}{x}\) dx が不（ふ）等式（とうしき） \(\int_{1}^{2}\) \(\frac{1}{x}\) dx \(\le\) \(\frac{1}{k}\) を満（み）たすとき、k の値（あたい）はいくらですか。

3. Với n = 2, giá trị biểu thức 2 - 1/n trong bất đẳng thức tổng nghịch đảo bình phương là bao nhiêu?n = 2 のとき、平方（へいほう）の逆数（ぎゃくすう）和（わ）の不（ふ）等式（とうしき）における式（しき） 2 - 1/n の値（あたい）はいくらですか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.18.1 · MATH.20.1. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.18.1 · MATH.20.1。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Sử dụng tích phân xác định để thiết lập bất đẳng thức đánh giá tổng nghịch đảo của số tự nhiên.定（てい）積分（せきぶん）を利用（りよう）して自然（しぜん）数（すう）の逆数（ぎゃくすう）和（わ）を評価（ひょうか）する不（ふ）等式（とうしき）を導出（どうしゅつ）する。
  2. Chứng minh sự phân kỳ của chuỗi tổng nghịch đảo các số tự nhiên.自然（しぜん）数（すう）の逆数（ぎゃくすう）和（わ）の級数（きゅうすう）が発散（はっさん）することを示（しめ）し理解（りかい）する。
  3. Đánh giá tổng nghịch đảo bình phương của số tự nhiên và tính hội tụ của chuỗi.自然（しぜん）数（すう）の平方（へいほう）の逆数（ぎゃくすう）和（わ）を評価（ひょうか）し、級数（きゅうすう）の収束（しゅうそく）性（せい）を判定（はんてい）する。
Trực giác · イメージ

Trực giác về so sánh tổng nghịch đảo với diện tích tích phân逆数（ぎゃくすう）和（わ）と定（てい）積分（せきぶん）の面積（めんせき）比較（ひかく）に関（かん）する直観（ちょっかん）

Mỗi số hạng nghịch đảo 1/k có thể xem là diện tích hình chữ nhật có đáy bằng 1 và chiều cao 1/k. Bằng cách so sánh diện tích các hình chữ nhật này với diện tích dưới đường cong tích phân của 1/x, ta thu được các bất đẳng thức quan trọng.

各（かく）逆数（ぎゃくすう）項（こう）1/kは、底辺（ていへん）1高（たか）さ1/kの長（ちょう）方形（ほうけい）の面積（めんせき）と見（み）なせます。これらの長（ちょう）方形（ほうけい）の面積（めんせき）と1/xの曲線（きょくせん）下（か）の定積（ていせき）分（ぶん）面積（めんせき）を比較（ひかく）することで、重要（じゅうよう）な不（ふ）等式（とうしき）が得（え）られます。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 自然（しぜん）数（すう）số tự nhiên

    Số tự nhiên là các số nguyên dương 1, 2, 3... được dùng làm chỉ số lấy tổng trong chuỗi.

    自然（しぜん）数（すう）は 1, 2, 3... の正（せい）の整数（せいすう）であり、級数（きゅうすう）の和（わ）のインデックスとして用（もち）いられます。

  • 累乗（るいじょう）の逆数（ぎゃくすう）和（わ）tổng nghịch đảo lũy thừa

    Tổng nghịch đảo lũy thừa là tổng các số hạng dạng \(1 / n^{p}\) với n là số tự nhiên và p là số mũ.

    累乗（るいじょう）の逆数（ぎゃくすう）和（わ）とは、自然（しぜん）数（すう）nと指数（しすう）pに対（たい）して \(1 / n^{p}\) の形（かたち）をした項（こう）の和（わ）のことです。

  • 定（てい）積分（せきぶん）tích phân xác định

    Tích phân xác định biểu diễn diện tích dưới đường cong hàm số trên một đoạn. Nó được dùng để chặn trên hoặc chặn dưới cho tổng nghịch đảo.

    定（てい）積分（せきぶん）は区間（くかん）における関数（かんすう）曲線（きょくせん）の面積（めんせき）を表（あらわ）します。逆数（ぎゃくすう）和（わ）の上界（じょうかい）や下界（かかい）を評価（ひょうか）するために用（もち）いられます。

  • 不（ふ）等式（とうしき）bất đẳng thức

    Bất đẳng thức so sánh tổng phần của chuỗi với giá trị tích phân xác định tương ứng.

    不（ふ）等式（とうしき）は、級数（きゅうすう）の一部（いちぶ）和（わ）と対応（たいおう）する定（てい）積分（せきぶん）の値（あたい）を比較（ひかく）するために用（もち）いられます。

  • 収束（しゅうそく）sự hội tụ

    Sự hội tụ xảy ra khi tổng phần của chuỗi bị chặn trên bởi một giá trị hữu hạn khi n tiến tới vô cùng.

    収束（しゅうそく）とは、nが無限（むげん）大（だい）に向（む）かうとき級数（きゅうすう）の一部（いちぶ）和（わ）が有限（ゆうげん）な値（あたい）で上（うえ）から抑（おさ）えられることです。

  • 発散（はっさん）sự phân kỳ

    Sự phân kỳ xảy ra khi tổng phần của chuỗi tiến tới vô cùng khi n tiến tới vô cùng.

    発散（はっさん）とは、nが無限（むげん）大（だい）に向（む）かうとき級数（きゅうすう）の一部（いちぶ）和（わ）が無限（むげん）大（だい）に増大（ぞうだい）することです。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    各項（かくこう）の長（ちょう）方形（ほうけい）表現（ひょうげん）と定（てい）積分（せきぶん）

    Biểu diễn số hạng bằng hình chữ nhật và tích phân

    Cho hàm số f(x) = 1/x. So sánh diện tích hình chữ nhật chiều cao 1/k với tích phân xác định từ k đến k+1 của 1/x.

    関数（かんすう） f(x) = 1/x を考（かんが）えます。高（たか）さ 1/k の長（ちょう）方形（ほうけい）の面積（めんせき）と k から k+1 までの 1/x の定（てい）積分（せきぶん）を比較（ひかく）します。

  2. 02
    k = 1 から n までの不（ふ）等式（とうしき）の足し合（たしあ）わせ

    Cộng dồn bất đẳng thức từ k = 1 đến n

    Cộng các bất đẳng thức diện tích từng đoạn lại để thu được bất đẳng thức giữa tổng nghịch đảo và hàm \(\log (n + 1)\).

    各（かく）区間（くかん）の面積（めんせき）の不（ふ）等式（とうしき）を足し合（たしあ）わせることで、逆数（ぎゃくすう）和（わ）と \(\log (n + 1)\) の間（あいだ）の不（ふ）等式（とうしき）を導出（どうしゅつ）します。

  3. 03
    極限（きょくげん）を考慮（こうりょ）した収束（しゅうそく）・発散（はっさん）の判定（はんてい）

    Xét giới hạn để xác định tính hội tụ hoặc phân kỳ

    Cho n tiến tới vô cùng, vì \(\log (n + 1)\) tiến tới vô cùng nên chuỗi nghịch đảo số tự nhiên phân kỳ, trong khi chuỗi nghịch đảo bình phương bị chặn và hội tụ.

    nを無限（むげん）大（だい）に飛（と）ばすと、\(\log (n + 1)\)が無限（むげん）大（だい）に発散（はっさん）するため自然（しぜん）数（すう）の逆数（ぎゃくすう）和（わ）は発散（はっさん）し、平方（へいほう）の逆数（ぎゃくすう）和（わ）は上界（じょうかい）を持（も）ち収束（しゅうそく）します。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Nhầm tưởng rằng vì lim (1/n) = 0 nên chuỗi tổng nghịch đảo \(\sum_{n=1}^{\infty}\) \(\frac{1}{n}\) hội tụ.lim (1/n) = 0 であるため、逆数（ぎゃくすう）和（わ）の級数（きゅうすう） \(\sum_{n=1}^{\infty}\) \(\frac{1}{n}\) が収束（しゅうそく）すると誤解（ごかい）すること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Điều kiện lim a_n = 0 là điều kiện cần nhưng không đủ để chuỗi hội tụ. Chuỗi \(\sum_{n=1}^{\infty}\) \(\frac{1}{n}\) phân kỳ ra vô cùng.lim a_n = 0 は級数（きゅうすう）が収束（しゅうそく）するための必要（ひつよう）条件（じょうけん）であって十（じゅう）分（ふん）条件（じょうけん）ではありません。級数（きゅうすう） \(\sum_{n=1}^{\infty}\) \(\frac{1}{n}\) は無限（むげん）大（だい）に発散（はっさん）します。

Quên đảo chiều khi lấy tích phân xác định chặn dưới hoặc chặn trên cho hình chữ nhật.長（ちょう）方形（ほうけい）の上界（じょうかい）や下界（かかい）を求（もと）める定積（ていせき）分（ぶん）において、不（ふ）等号（とうごう）の向（む）きを誤（あやま）ること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Do hàm f(x) = 1/x giảm trên [k, k+1], tích phân \(\int_{k}^{k+1}\) \(\frac{1}{x}\) dx nằm giữa 1/(k+1) và 1/k.関数（かんすう） f(x) = 1/x は [k, k+1] で減少（げんしょう）するため、定（てい）積分（せきぶん） \(\int_{k}^{k+1}\) \(\frac{1}{x}\) dx は 1/(k+1) と 1/k の間（あいだ）に位置（いち）します。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Tích phân xác định là công cụ hữu hiệu để so sánh và đánh giá tổng nghịch đảo các lũy thừa của số tự nhiên.定（てい）積分（せきぶん）は、自然（しぜん）数（すう）の累乗（るいじょう）の逆数（ぎゃくすう）和（わ）を比較（ひかく）・評価（ひょうか）するための効果（こうか）的（てき）な道具（どうぐ）です。
  • Chuỗi nghịch đảo số tự nhiên \(\sum_{n=1}^{\infty}\) \(\frac{1}{n}\) phân kỳ do bị chặn dưới bởi log(n+1).自然（しぜん）数（すう）の逆数（ぎゃくすう）和（わ）の級数（きゅうすう） \(\sum_{n=1}^{\infty}\) \(\frac{1}{n}\) は log(n+1) で下（した）から抑（おさ）えられるため発散（はっさん）します。
  • Chuỗi nghịch đảo bình phương hội tụ do tổng phần bị chặn trên bởi 2 - 1/n < 2.平方（へいほう）の逆数（ぎゃくすう）和（わ）の級数（きゅうすう）は、一部（いちぶ）和（わ）が 2 - 1/n < 2 で上（うえ）から抑（おさ）えられるため収束（しゅうそく）します。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

\log(n+1) \le 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}

Bất đẳng thức chặn dưới tổng nghịch đảo n số tự nhiên đầu tiên bằng \(\log (n + 1)\).

最初（さいしょ）のn個（こ）の自然（しぜん）数（すう）の逆数（ぎゃくすう）和（わ）を\(\log (n + 1)\)で下（した）から評価（ひょうか）する不（ふ）等式（とうしき）です。

1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{n^2} \le 2 - \frac{1}{n}

Bất đẳng thức chặn trên tổng nghịch đảo bình phương của n số tự nhiên đầu tiên bởi 2 - 1/n.

最初（さいしょ）のn個（こ）の自然（しぜん）数（すう）の平方（へいほう）の逆数（ぎゃくすう）和（わ）を 2 - 1/n で上（うえ）から評価（ひょうか）する不（ふ）等式（とうしき）です。

\int_{k}^{k+1} \frac{1}{x} dx \le \frac{1}{k}

Bất đẳng thức so sánh tích phân xác định của 1/x trên đoạn [k, k+1] với giá trị 1/k.

区間（くかん）[k, k+1]における1/xの定（てい）積分（せきぶん）を1/kの値（あたい）と比較（ひかく）する不（ふ）等式（とうしき）です。

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = \infty

Chuỗi nghịch đảo các số tự nhiên là chuỗi phân kỳ tiến tới vô cùng.

自然（しぜん）数（すう）の逆数（ぎゃくすう）和（わ）の無限（むげん）級数（きゅうすう）は無限（むげん）大（だい）に発散（はっさん）する級数（きゅうすう）です。

EJU 2026 · MATH.18.1 · MATH.20.1

Bài học trình bày phương pháp đánh giá tổng nghịch đảo lũy thừa của số tự nhiên bằng tích phân xác định và bất đẳng thức. Học sinh sẽ hiểu rõ cơ sở dẫn đến sự hội tụ hoặc sự phân kỳ của các chuỗi nghịch đảo này.

本課（ほんか）では、定（てい）積分（せきぶん）と不等（ふとう）式（しき）を用（もち）いて自然（しぜん）数（すう）の累乗（るいじょう）の逆数（ぎゃくすう）和（わ）を評価（ひょうか）する方法（ほうほう）を解説（かいせつ）します。これらの逆数（ぎゃくすう）和（わ）が収束（しゅうそく）するか発散（はっさん）するかの理論（りろん）的（てき）根拠（こんきょ）を理解（りかい）します。

自然（しぜん）数（すう）の累乗（るいじょう）の逆数（ぎゃくすう）和（わ）と定（てい）積分（せきぶん）
自然数累乗の逆数和定積分不等式