Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Phép quay đồ thị hàm số quanh trục tung関数（かんすう）のグラフの縦軸（たてじく）まわりの回転（かいてん）

Công thức公式

V = \int_{0}^{\pi} 2\pi x f(x) dx
V = \int_{0}^{1} \pi \{x_2(y)\}^2 dy - \int_{0}^{1} \pi \{x_1(y)\}^2 dy
dy = f'(x) dx
V = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} 2\pi x_k f(x_k) \Delta x

Ví dụ例題

Cho hàm số f(x) = 1 trên đoạn từ x = 0 đến \(x = \pi\). Tính thể tích V của khối tròn xoay khi quay vùng phẳng dưới đồ thị f(x) quanh trục tung bằng công thức tích phân vỏ trụ.

区間（くかん） x = 0 から \(x = \pi\) において関数（かんすう） f(x) = 1 が与（あた）えられています。バウムクーヘン積分（せきぶん）の公式（こうしき）を用（もち）いて、f(x)のグラフの下（した）の領域（りょういき）をy軸（じく）周（まわ）りに回転（かいてん）させてできる立体（りったい）の体積（たいせき）Vを求（もと）めなさい。

  1. Sử dụng công thức \(V=\int_0^\pi 2\pi x f(x)\,dx\) với f(x) = 1, ta có \(V=\int_0^\pi 2\pi x\,dx\).f(x) = 1 として公式（こうしき） \(V=\int_0^\pi 2\pi x f(x)\,dx\) を使用（しよう）すると、\(V=\int_0^\pi 2\pi x\,dx\) となります。
  2. Tìm nguyên hàm của \(2 \pi\) x là \(\pi\) \(x^{2}\).\(2 \pi\) x の原始（げんし）関数（かんすう）は \(\pi\) \(x^{2}\) となります。
  3. Thay cận: $V=[\pi x^2]_0^\pi=\pi^3$. Vì miền nằm trên trục x và bán kính x không âm, đây là thể tích dương.端点（たんてん）を代入（だいにゅう）して $V=[\pi x^2]_0^\pi=\pi^3$。領域（りょういき）は x 軸（じく）以上（いじょう）で半径（はんけい） x は非（ひ）負（ふ）なので、正（せい）の体積（たいせき）になる。
Thể tích khối tròn xoay thu được là \(\pi^{3}\).得（え）られた回転（かいてん）体（たい）の体積（たいせき）は \(\pi^{3}\) です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Tính giá trị của \(V=\int_0^\pi 2\pi x f(x)\,dx\) với f(x) = 3.f(x) = 3 のとき、\(V=\int_0^\pi 2\pi x f(x)\,dx\) の値（あたい）を求（もと）めなさい。

2. Cho x2(y) = 2 và x1(y) = 1 trên đoạn y từ 0 đến 1. Tính thể tích \(V=\pi\int_0^1 [x_2(y)^2-x_1(y)^2]\,dy\).yが0から1の区間（くかん）において x2(y) = 2, x1(y) = 1 とします。体積（たいせき） \(V=\pi\int_0^1 [x_2(y)^2-x_1(y)^2]\,dy\) を求（もと）めなさい。

3. Nếu \(f(x) = x^{2}\) thì vi phân dy = f'(x) dx bằng biểu thức nào sau đây?\(f(x) = x^{2}\) のとき、微分（びぶん） dy = f'(x) dx は次（つぎ）のうちどれですか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.20.2. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.20.2。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Hiểu bản chất hình học của phép quay quanh trục tung và phương pháp tổng Riemann cho vỏ trụ.y軸（じく）周（まわ）りの回転（かいてん）の幾何（きか）学（がく）的（てき）本質（ほんしつ）と円筒（えんとう）殻（かく）に対（たい）する区分（くぶん）求積（きゅうせき）法（ほう）を理解（りかい）する。
  2. Thành thạo công thức tích phân vỏ trụ \(V=\int_0^\pi 2\pi x f(x)\,dx\) khi quay quanh trục y.y軸（じく）周（まわ）りの回転（かいてん）におけるバウムクーヘン積分（せきぶん）の公式（こうしき） \(V=\int_0^\pi 2\pi x f(x)\,dx\) をマスターする。
  3. Biến đổi vi phân dy = f'(x) dx và xử lý bài toán thể tích bằng hàm số ngược hoặc hiệu hai khối quay.微分（びぶん） dy = f'(x) dx の変形（へんけい）を行（おこな）い、逆（ぎゃく）関数（かんすう）や2つの回転（かいてん）体（たい）の差（さ）を用（もち）いて体積（たいせき）問題（もんだい）を処理（しょり）する。
Trực giác · イメージ

Xoay các vỏ trụ mỏng xung quanh trục tungy軸（じく）の周（まわ）りに薄（うす）い円筒（えんとう）殻（かく）を回転（かいてん）させる

Khi quay một hình phẳng quanh trục tung, ta có thể chia nhỏ hình đó thành các dải đứng mỏng. Khi quay quanh trục tung, mỗi dải đứng tạo thành một vỏ trụ có bán kính x và chiều cao f(x). Tổng thể tích của các vỏ trụ này khi số dải tiến tới vô cùng chính là tích phân vỏ trụ.

平面（へいめん）図形（ずけい）をy軸（じく）周（まわ）りに回転（かいてん）させるとき、その図形（ずけい）を薄（うす）い縦（たて）の帯（おび）に分割（ぶんかつ）して考（かんが）えることができます。y軸（じく）周（まわ）りに回転（かいてん）すると、各（かく）帯（おび）は半径（はんけい）x、高（たか）さf(x)の薄（うす）い円筒（えんとう）殻（かく）を形成（けいせい）します。帯（おび）の数（かず）を無限（むげん）大（だい）に増（ふ）やしたときの円筒（えんとう）殻（かく）の体積（たいせき）の総和（そうわ）がバウムクーヘン積分（せきぶん）となります。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 回転（かいてん）phép quay

    Phép quay là phép biến đổi hình học quay một đồ thị hoặc hình phẳng xung quanh một trục cố định trong không gian. Trong bài này, ta xét phép quay xung quanh trục tung y.

    回転（かいてん）は、空間（くうかん）内（ない）の固定（こてい）軸（じく）の周（まわ）りにグラフや平面（へいめん）図形（ずけい）を回転（かいてん）させる幾何（きか）学（がく）的（てき）変換（へんかん）です。本課（ほんか）では、縦軸（たてじく）（y軸（じく））の周（まわ）りの回転（かいてん）を扱（あつか）います。

  • 立体（りったい）の体積（たいせき）thể tích khối tròn xoay

    Thể tích khối tròn xoay là thể tích của hình khối ba chiều tạo thành khi quay một vùng phẳng quanh một trục. Giá trị thể tích này được tính bằng các công thức tích phân xác định.

    立体（りったい）の体積（たいせき）は、平面（へいめん）領域（りょういき）を軸（じく）の周（まわ）りに回転（かいてん）させたときに形成（けいせい）される3次元（じげん）立体（りったい）の体積（たいせき）です。この体積（たいせき）値（ち）は定（てい）積分（せきぶん）公式（こうしき）によって計算（けいさん）されます。

  • 逆（ぎゃく）関数（かんすう）hàm số ngược

    Hàm số ngược x = g(y) cho phép biểu diễn biến x theo y để tính tích phân quay theo trục y theo phương pháp đĩa tròn. Việc tìm hàm số ngược đôi khi phức tạp nên ta chuyển sang biến x nhờ vi phân.

    逆（ぎゃく）関数（かんすう） x = g(y) は、円盤（えんばん）法（ほう）でy軸（じく）周（まわ）りの回転（かいてん）積分（せきぶん）を計算（けいさん）するためにxをyで表（あらわ）すことを可能（かのう）にします。逆（ぎゃく）関数（かんすう）を求（もと）めるのが困難（こんなん）な場合（ばあい）は、微分（びぶん）を用（もち）いてx変数（へんすう）へ変換（へんかん）します。

  • 積分（せきぶん）変数（へんすう）biến tích phân

    Biến tích phân là biến số ký hiệu dưới dấu tích phân như x hoặc y. Việc thay đổi biến tích phân từ y sang x qua công thức dy = f'(x) dx giúp đơn giản hóa phép tính.

    積分（せきぶん）変数（へんすう）は、xやyのように積分（せきぶん）記号（きごう）の下（もと）で指定（してい）される変数（へんすう）です。dy = f'(x) dxの公式（こうしき）を介（かい）して積分（せきぶん）変数（へんすう）をyからxに変更（へんこう）することで、計算（けいさん）が簡素（かんそ）化（か）されます。

  • バウムクーヘン積分（せきぶん）tích phân vỏ trụ

    Tích phân vỏ trụ là phương pháp tính thể tích khối tròn xoay quanh trục y bằng cách tích phân theo biến x với công thức V = integral \(2 \pi\) x f(x) dx. Phương pháp này tránh được việc phải tìm hàm ngược x = g(y).

    バウムクーヘン積分（せきぶん）は、公式（こうしき） V = integral \(2 \pi\) x f(x) dx を用（もち）いてx変数（へんすう）で積分（せきぶん）することにより、y軸（じく）周（まわ）りの回転（かいてん）体（たい）の体積（たいせき）を計算（けいさん）する方法（ほうほう）です。この方法（ほうほう）により、逆（ぎゃく）関数（かんすう） x = g(y) を求（もと）める手間（てま）を回避（かいひ）できます。

  • 区分（くぶん）求積（きゅうせき）法（ほう）phương pháp tổng Riemann

    Phương pháp tổng Riemann là cách tính diện tích hoặc thể tích bằng cách chia nhỏ miền thành n phần, lấy tổng và cho n tiến ra vô cùng. Công thức V = lim sum 2 pi x_k f(x_k) Delta x chính là nền tảng của tích phân vỏ trụ.

    区分（くぶん）求積（きゅうせき）法（ほう）は、領域（りょういき）をn個（こ）の部分（ぶぶん）に細分（さいぶん）化（か）し、その和（わ）を求（もと）めてnを無限（むげん）大（だい）にする面積（めんせき）や体積（たいせき）の計算（けいさん）手法（しゅほう）です。公式（こうしき） V = lim sum 2 pi x_k f(x_k) Delta x はバウムクーヘン積分（せきぶん）の基礎（きそ）となります。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1: 回転（かいてん）軸（じく）の確認（かくにん）と積分（せきぶん）手法（しゅほう）の選択（せんたく）

    Bước 1: Nhận biết trục quay và chọn phương pháp tích phân

    Khi hình phẳng quay quanh trục tung y, xác định xem nên lấy tích phân theo y hay dùng tích phân vỏ trụ theo x. Nếu khó tìm hàm ngược x(y), ta chọn tích phân vỏ trụ theo x.

    平面（へいめん）図形（ずけい）がy軸（じく）周（まわ）りに回転（かいてん）するとき、yで積分（せきぶん）するかxによるバウムクーヘン積分（せきぶん）を使（つか）うかを確認（かくにん）します。逆（ぎゃく）関数（かんすう）x(y)の導出（どうしゅつ）が困難（こんなん）な場合（ばあい）は、xによるバウムクーヘン積分（せきぶん）を選択（せんたく）します。

  2. 02
    ステップ2: 微分（びぶん） dy = f'(x) dx の変形（へんけい）

    Bước 2: Biến đổi vi phân dy = f'(x) dx

    Nếu tích phân được thiết lập theo biến y, ta đổi biến tích phân sang x bằng cách thay dy = f'(x) dx và đổi cận tích phân tương ứng. Kỹ thuật này giúp đưa tích phân về dạng hàm theo x quen thuộc.

    y変数（へんすう）で積分（せきぶん）が設定（せってい）されている場合（ばあい）、dy = f'(x) dx を代入（だいにゅう）し、対応（たいおう）する積分（せきぶん）区間（くかん）を変更（へんこう）してx変数（へんすう）へ置換（ちかん）します。この手法（しゅほう）により、積分（せきぶん）を馴染（なじ）みのあるxの関数（かんすう）に変換（へんかん）できます。

  3. 03
    ステップ3: バウムクーヘン積分（せきぶん） \(V=\int_0^\pi 2\pi x f(x)\,dx\) の設定（せってい）

    Bước 3: Thiết lập tích phân vỏ trụ V = integral \(2 \pi\) x f(x) dx

    Sử dụng công thức \(V=\int_0^\pi 2\pi x f(x)\,dx\) để thiết lập biểu thức tính thể tích. Mỗi phần tử thể tích \(dV=2\pi x f(x)\,dx\) đại diện cho một vỏ trụ mỏng bán kính x.

    公式（こうしき） \(V=\int_0^\pi 2\pi x f(x)\,dx\) を用（もち）いて体積（たいせき）計算（けいさん）式（しき）を設定（せってい）します。各（かく）体積（たいせき）要素（ようそ） \(dV=2\pi x f(x)\,dx\) は半径（はんけい）xの薄（うす）い円筒（えんとう）殻（かく）を表（あらわ）します。

  4. 04
    ステップ4: 積分（せきぶん）の計算（けいさん）とリーマン和（わ）の極限（きょくげん）による検証（けんしょう）

    Bước 4: Tính tích phân và kiểm tra bằng giới hạn Riemann

    Thực hiện tính giá trị tích phân xác định để tìm thể tích V. Kiểm tra lại bản chất của công thức thông qua giới hạn tổng Riemann V = lim sum 2 pi x_k f(x_k) Delta x.

    定（てい）積分（せきぶん）を計算（けいさん）して体積（たいせき）Vを求（もと）めます。区分（くぶん）求積（きゅうせき）法（ほう）の極限（きょくげん） V = lim sum 2 pi x_k f(x_k) Delta x を通（つう）じて公式（こうしき）の本質（ほんしつ）を再（さい）確認（かくにん）します。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Dùng sai công thức tích phân quanh trục hoành \(\pi\) integral \(y^{2}\) dx khi đề bài yêu cầu quay quanh trục tung y.問題（もんだい）がy軸（じく）周（まわ）りの回転（かいてん）を求（もと）めているのに、x軸（じく）周（まわ）りの回転（かいてん）公式（こうしき） \(\pi\) integral \(y^{2}\) dx を誤（あやま）って使用（しよう）してしまうこと。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Khi quay quanh trục tung y mà tích phân theo x, phải áp dụng công thức vỏ trụ V = integral \(2 \pi\) x f(x) dx.y軸（じく）周（まわ）りの回転（かいてん）でxによる積分（せきぶん）を行（おこな）う場合（ばあい）は、バウムクーヘン積分（せきぶん）公式（こうしき） V = integral \(2 \pi\) x f(x) dx を適用（てきよう）しなければなりません。

Quên thay đổi vi phân dy thành f'(x) dx khi thực hiện đổi biến tích phân từ y sang x.yからxへの積分（せきぶん）変数（へんすう）の置換（ちかん）を行（おこな）う際（さい）に、微分（びぶん） dy を f'(x) dx に変更（へんこう）するのを忘（わす）れてしまうこと。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Luôn thay thế dy = f'(x) dx và đổi cận tương ứng khi chuyển biến tích phân từ y sang x để đảm bảo tính chính xác.yからxに積分（せきぶん）変数（へんすう）を変更（へんこう）するときは、計算（けいさん）の正確（せいかく）性（せい）を確保（かくほ）するために常（つね）に dy = f'(x) dx を代入（だいにゅう）し、積分（せきぶん）区間（くかん）を更新（こうしん）する必要（ひつよう）があります。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Tích phân vỏ trụ \(V=\int_0^\pi 2\pi x f(x)\,dx\) cho phép tính thể tích quay quanh trục y trực tiếp theo biến x.バウムクーヘン積分（せきぶん） \(V=\int_0^\pi 2\pi x f(x)\,dx\) により、y軸（じく）周（まわ）りの回転（かいてん）体（たい）体積（たいせき）をx変数（へんすう）で直接（ちょくせつ）計算（けいさん）できます。
  • Kỹ thuật đổi biến vi phân dy = f'(x) dx giúp linh hoạt chuyển đổi giữa phương pháp đĩa tròn theo y và phương pháp vỏ trụ theo x.微分（びぶん） dy = f'(x) dx による変数（へんすう）変換（へんかん）手法（しゅほう）により、y軸（じく）方向（ほうこう）の円盤（えんばん）法（ほう）とx軸（じく）方向（ほうこう）のバウムクーヘン積分（せきぶん）法（ほう）を柔軟（じゅうなん）に切り替（きりか）えられます。
  • Giới hạn tổng Riemann của các vỏ trụ là cơ sở lý thuyết vững chắc giúp hiểu bản chất công thức tính thể tích khối tròn xoay.円筒（えんとう）殻（かく）の区分（くぶん）求積（きゅうせき）法（ほう）の極限（きょくげん）は、回転（かいてん）体（たい）の体積（たいせき）計算（けいさん）公式（こうしき）の本質（ほんしつ）を理解（りかい）するための堅固（けんご）な理論（りろん）的（てき）基礎（きそ）です。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

V = \int_{0}^{\pi} 2\pi x f(x) dx

Công thức vỏ trụ cho miền $0\le x\le\pi$, $0\le y\le f(x)$ quay quanh trục y; giả sử f liên tục và không âm. Bán kính vỏ là x, chiều cao là f(x).

連続（れんぞく）で非（ひ）負（ふ）の f に対（たい）し、領域（りょういき） $0\le x\le\pi$、$0\le y\le f(x)$ を y 軸（じく）のまわりに回（まわ）す円筒（えんとう）殻（かく）の公式（こうしき）。殻（から）の半径（はんけい）は x、高（たか）さは f(x)。

V = \int_{0}^{1} \pi \{x_2(y)\}^2 dy - \int_{0}^{1} \pi \{x_1(y)\}^2 dy

Phương pháp vành khăn trên $0\le y\le1$: $x_2(y)$ là bán kính ngoài, $x_1(y)$ là bán kính trong, với $0\le x_1(y)\le x_2(y)$. Lấy diện tích đĩa ngoài trừ đĩa trong.

$0\le y\le1$ で外（そと）半径（はんけい）を $x_2(y)$、内（ない）半径（はんけい）を $x_1(y)$ とし、$0\le x_1(y)\le x_2(y)$。外側（そとがわ）の円板（えんばん）から内側（うちがわ）の円板（えんばん）を引（ひ）く方法（ほうほう）。

dy = f'(x) dx

Biểu thức liên hệ giữa vi phân dy và dx, dùng để đổi biến tích phân từ y sang x.

積分（せきぶん）変数（へんすう）をyからxに置換（ちかん）するために使用（しよう）される、微分（びぶん）dyとdxの間（あいだ）の関係（かんけい）式（しき）です。

V = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} 2\pi x_k f(x_k) \Delta x

Định nghĩa thể tích khối tròn xoay quanh trục y dưới dạng giới hạn của tổng Riemann các vỏ trụ.

円筒（えんとう）殻（かく）の区分（くぶん）求積（きゅうせき）法（ほう）の極限（きょくげん）としてのy軸（じく）周（まわ）りの回転（かいてん）体（たい）体積（たいせき）の定義（ていぎ）式（しき）です。

EJU 2026 · MATH.20.2

Bài học này hướng dẫn phương pháp tính thể tích khối tròn xoay khi quay đồ thị hàm số quanh trục tung. Bạn sẽ nắm vững tích phân vỏ trụ và kỹ thuật đổi biến tích phân từ y sang x.

本課（ほんか）では、関数（かんすう）のグラフをy軸（じく）周（まわ）りに回転（かいてん）させてできる回転（かいてん）体（たい）の体積（たいせき）計算（けいさん）方法（ほうほう）を解説（かいせつ）します。バウムクーヘン積分（せきぶん）とyからxへの積分（せきぶん）変数（へんすう）の置換（ちかん）技術（ぎじゅつ）を習得（しゅうとく）します。

関数（かんすう）のグラフの縦軸（たてじく）まわりの回転（かいてん）
回転立体の体積逆関数積分変数