Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Độ dài đường cong và quãng đường Phần 2曲線（きょくせん）の長（なが）さと道（みち）のり 第（だい）2部（ぶ）

Công thức公式

\vec{v} = \left(\frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}\right)
|\vec{v}| = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2}
\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta
e^{\log 3} = 3

Ví dụ例題

Một điểm chuyển động có tọa độ x = 3 t và y = 4 t. Tìm độ lớn véc-tơ vận tốc |v| tại thời điểm t và rút gọn biểu thức \(e^{\log 3}\).

ある運動（うんどう）する点（てん）の座標（ざひょう）が x = 3 t, y = 4 t で与（あた）えられています。時刻（じこく）tにおける速度（そくど）ベクトルの magnitude |v| を求（もと）め、また \(e^{\log 3}\) の値（あたい）を簡素（かんそ）化（か）しなさい。

  1. Tính dx/dt = 3 và dy/dt = 4, từ đó véc-tơ vận tốc là v = (3, 4).dx/dt = 3 および dy/dt = 4 を計算（けいさん）すると、速度（そくど）ベクトルは v = (3, 4) となります。
  2. Tính tốc độ |v| = \(\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\).速（はや）さを計算（けいさん）すると |v| = \(\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\) となります。
  3. Áp dụng công thức \(e^{\log 3} = 3\) để đơn giản hóa hằng số thu được.公式（こうしき） \(e^{\log 3} = 3\) を適用（てきよう）して、得（え）られた定数（ていすう）を単純（たんじゅん）化（か）します。
Tốc độ của điểm chuyển động là 5 và giá trị đơn giản của \(e^{\log 3}\) là 3.運動（うんどう）する点（てん）の速（はや）さは5であり、\(e^{\log 3}\) の簡素（かんそ）化（か）された値（あたい）は3です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Một điểm chuyển động với tọa độ x = 6 t và y = 8 t. Tính tốc độ |v| của điểm đó.ある点（てん）が x = 6 t, y = 8 t で表（あらわ）される運動（うんどう）をしています。この点（てん）の速（はや）さ|v|を求（もと）めなさい。

2. Biểu thức \(4 \sin \theta \cos \theta\) tương đương với biểu thức nào sau đây?式（しき） 4 sin θ cos θ は次（つぎ）のうちどれと同等（どうとう）ですか。

3. Giá trị của biểu thức \(2\cdot e^{\log 3}\) bằng bao nhiêu?式（しき） \(2\cdot e^{\log 3}\) の値（あたい）はいくらですか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.20.2. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 2 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.20.2。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）2区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Hiểu rõ khái niệm tốc độ của điểm chuyển động qua đạo hàm tọa độ theo tham số t.パラメータtによる座標（ざひょう）の微分（びぶん）を通（つう）じて、運動（うんどう）する点（てん）の速（はや）さの概念（がいねん）を理解（りかい）する。
  2. Vận dụng công thức nhân đôi lượng giác và biến đổi mũ logarit trong các bài toán tích phân độ dài và thể tích.長（なが）さや体積（たいせき）の積分（せきぶん）問題（もんだい）において、倍角（ばいかく）の公式（こうしき）や対数（たいすう）指数（しすう）の変形（へんけい）を活用（かつよう）する。
  3. Phân tích và tính thể tích phần chung của hai hình trụ tròn xoay cắt nhau.互（たが）いに交差（こうさ）する2つの直（じき）円柱（えんちゅう）の共通（きょうつう）部分（ぶぶん）の体積（たいせき）を解析（かいせき）して計算（けいさん）する。
Trực giác · イメージ

Từ vận tốc tức thời đến thể tích phần không gian chung瞬間（しゅんかん）の速度（そくど）から共通（きょうつう）部分（ぶぶん）の立体（りったい）体積（たいせき）へ

Khi một điểm chuyển động theo thời gian t, véc-tơ vận tốc được cấu thành từ các tốc độ biến thiên dx/dt và dy/dt. Độ lớn của véc-tơ này chính là tốc độ tức thời của điểm đó. Việc tính toán thể tích phần chung của các hình trụ tròn xoay đòi hỏi phân tích hình học kết hợp với tích phân chính xác.

点（てん）が時間（じかん）tに伴（ともな）って運動（うんどう）するとき、速度（そくど）ベクトルはdx/dtとdy/dtの極小（きょくしょう）変化（へんか）から構成（こうせい）されます。このベクトルの大（おお）きさが点（てん）の瞬間（しゅんかん）の速（はや）さを表（あらわ）します。また直（じか）円柱（えんちゅう）の共通（きょうつう）部分（ぶぶん）の体積（たいせき）計算（けいさん）には、幾何（きか）学（がく）的（てき）解析（かいせき）と正確（せいかく）な積分（せきぶん）が求（もと）められます。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 速（はや）さtốc độ

    Tốc độ là độ lớn của véc-tơ vận tốc trong chuyển động tham số. Nó thể hiện mức độ thay đổi quãng đường theo thời gian tại mỗi thời điểm t.

    速（はや）さはパラメータ運動（うんどう）における速度（そくど）ベクトルの大（おお）きさです。各（かく）時刻（じこく）tでの道（みち）のりの時間（じかん）変化（へんか）の割合（わりあい）を表（あらわ）します。

  • 懸垂（けんすい）線（せん）đường dây xích

    Đường dây xích là dạng đường cong hình thành bởi một sợi dây đồng chất treo tự do dưới tác dụng của trọng lực. Độ dài đường cong này được tính thông qua tích phân của tốc độ theo tham số.

    懸垂（けんすい）線（せん）は、均一（きんいつ）な重（じゅう）線（せん）が重力（じゅうりょく）の下（もと）で自由（じゆう）につり下（さ）がるときに形成（けいせい）される曲線（きょくせん）です。その曲線（きょくせん）の長（なが）さはパラメータによる速（はや）さの積分（せきぶん）で求（もと）められます。

  • カージオイドđường cardioid

    Đường cardioid là đường cong có hình dạng trái tim được tạo ra bởi chuyển động của một điểm trên đường tròn quay xung quanh một đường tròn cố định. Các công thức biến đổi lượng giác giúp đơn giản hóa việc tính độ dài của đường này.

    カージオイドは、固定（こてい）円（えん）の周（まわ）りを回転（かいてん）する円上（えんじょう）の点（てん）が描（えが）く心臓（しんぞう）形（けい）の曲線（きょくせん）です。三角（さんかく）関数（かんすう）の変形（へんけい）公式（こうしき）を用（もち）いることで、この曲線（きょくせん）の長（なが）さの計算（けいさん）が簡素（かんそ）化（か）されます。

  • 直（じか）円柱（えんちゅう）hình trụ tròn xoay

    Hình trụ tròn xoay là khối tròn xoay được giới hạn bởi mặt trục và các đáy hình tròn vuông góc với trục. Khi hai hình trụ tròn xoay giao nhau, phần không gian chung tạo ra một khối thể tích đặc biệt.

    直（じか）円柱（えんちゅう）は、軸（じく）に垂直（すいちょく）な円形（えんけい）底面（ていめん）と側面（そくめん）で囲（かこ）まれた回転（かいてん）体（たい）です。2つの直（じき）円柱（えんちゅう）が交差（こうさ）するとき、その共通（きょうつう）部分（ぶぶん）は特別（とくべつ）な体積（たいせき）を形成（けいせい）します。

  • 共通（きょうつう）部分（ぶぶん）phần chung

    Phần chung là tập hợp tất cả các điểm đồng thời thuộc về hai hay nhiều hình không gian. Việc xác định thiết diện của phần chung giúp ta thiết lập biểu thức tính thể tích.

    共通（きょうつう）部分（ぶぶん）は、2つ以上（いじょう）の立体（りったい）に同時（どうじ）に含（ふく）まれるすべての点（てん）の集合（しゅうごう）です。共通（きょうつう）部分（ぶぶん）の断（だん）面積（めんせき）を特定（とくてい）することで、体積（たいせき）計算（けいさん）の式（しき）を立（た）てることができます。

  • 体積（たいせき）thể tích

    Thể tích là lượng không gian mà một khối ba chiều chiếm giữ. Giá trị này được xác định bằng cách lấy tích phân diện tích mặt cắt ngang dọc theo một trục tọa độ.

    体積（たいせき）は3次元（じげん）立体（りったい）が占（し）める空間（くうかん）の量（りょう）です。この値（あたい）は、座標（ざひょう）軸（じく）に沿（そ）った断（だん）面積（めんせき）を積分（せきぶん）することによって求（もと）められます。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1: パラメータによる速度（そくど）ベクトルの表示（ひょうじ）

    Bước 1: Biểu diễn véc-tơ vận tốc theo tham số

    Lấy đạo hàm các tọa độ x và y theo tham số t để tìm các thành phần vận tốc. Véc-tơ vận tốc v được biểu diễn dưới dạng v = (dx/dt, dy/dt).

    座標（ざひょう）xとyをパラメータtで微分（びぶん）し、速度（そくど）の成分（せいぶん）を求（もと）めます。速度（そくど）ベクトルvはv = (dx/dt, dy/dt)と表（あらわ）されます。

  2. 02
    ステップ2: 速度（そくど）ベクトルの大（おお）きさを計算（けいさん）

    Bước 2: Tính độ lớn của véc-tơ vận tốc

    Sử dụng căn bậc hai của tổng bình phương các đạo hàm để tính tốc độ |v|. Tốc độ |v| chính là độ dài véc-tơ vận tốc tại thời điểm t.

    微分（びぶん）二（に）乗（じょう）和（わ）の平方（へいほう）根（ね）を用（もち）いて速（はや）さ|v|を計算（けいさん）します。速（はや）さ|v|は時刻（じこく）tにおける速度（そくど）ベクトルの長（なが）さを意味（いみ）します。

  3. 03
    ステップ3: 三角（さんかく）関数（かんすう）と指数（しすう）の変形（へんけい）公式（こうしき）の適用（てきよう）

    Bước 3: Áp dụng các biến đổi lượng giác và mũ

    Biến đổi biểu thức dưới dấu căn bằng các công thức như \(\sin 2 \theta = 2 \sin \theta \cos \theta\) hoặc \(e^{\log 3} = 3\). Việc biến đổi này giúp rút gọn biểu thức tốc độ trước khi lấy tích phân.

    \(\sin 2\)θ = 2 sin θ cos θ や \(e^{\log 3} = 3\) などの公式（こうしき）を用（もち）いて根号（こんごう）内（ない）の式（しき）を変形（へんけい）します。この変形（へんけい）により、積分（せきぶん）前（まえ）の速（はや）さの式（しき）が簡素（かんそ）化（か）されます。

  4. 04
    ステップ4: 共通（きょうつう）部分（ぶぶん）の体積（たいせき）計算（けいさん）積分（せきぶん）の設定（せってい）

    Bước 4: Thiết lập tích phân tính thể tích phần chung

    Xác định diện tích mặt cắt ngang của phần chung giữa các hình trụ tròn xoay. Tính thể tích bằng cách lấy tích phân diện tích mặt cắt theo biến thích hợp.

    直（じか）円柱（えんちゅう）同士（どうし）の共通（きょうつう）部分（ぶぶん）の断（だん）面積（めんせき）を特定（とくてい）します。適切（てきせつ）な変数（へんすう）に基（もと）づいて断（だん）面積（めんせき）を積分（せきぶん）し、体積（たいせき）を求（もと）めます。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Nhầm lẫn giữa véc-tơ vận tốc v và tốc độ |v|, dẫn đến việc trả về một cặp số thay vì một số thực dương.速度（そくど）ベクトルvと速（はや）さ|v|を混同（こんどう）し、正（せい）の実数（じっすう）の代（か）わりに数値（すうち）のペアを答（こた）えてしまうこと。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Tốc độ |v| là độ lớn của véc-tơ vận tốc, luôn là một số thực không âm được tính qua công thức căn bậc hai tổng bình phương.速（はや）さ|v|は速度（そくど）ベクトルの大（おお）きさであり、平方（へいほう）根（ね）の二（に）乗（じょう）和（わ）の公式（こうしき）で計算（けいさん）される常（つね）に非（ひ）負（ふ）の実数（じっすう）です。

Quên áp dụng công thức nhân đôi \(\sin 2 \theta = 2 \sin \theta \cos \theta\) khi biến đổi tích \(2 \sin \theta \cos \theta\) dưới dấu căn.根号（こんごう）下（か）の 2 sin θ cos θ を変形（へんけい）する際（さい）に、倍角（ばいかく）の公式（こうしき） \(\sin 2\)θ = 2 sin θ cos θ の適用（てきよう）を忘（わす）れてしまうこと。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Biến đổi \(2 \sin \theta \cos \theta\) thành \(\sin 2 \theta\) giúp thu gọn biểu thức dưới căn thành một dạng lượng giác đơn giản.2 sin θ cos θ を \(\sin 2\)θ に変形（へんけい）することで、根号（こんごう）内（ない）の式（しき）を単一（たんいつ）の三角（さんかく）関数（かんすう）に簡素（かんそ）化（か）できます。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Tốc độ của điểm chuyển động tham số được tính bằng căn bậc hai của tổng bình phương các đạo hàm dx/dt và dy/dt.パラメータ運動（うんどう）の点（てん）の速（はや）さは、微分（びぶん）dx/dtとdy/dtの二（に）乗（じょう）和（わ）の平方（へいほう）根（ね）によって計算（けいさん）されます。
  • Sử dụng các công thức lượng giác như \(\sin 2 \theta = 2 \sin \theta \cos \theta\) giúp rút gọn hiệu quả các biểu thức lấy tích phân.\(\sin 2\)θ = 2 sin θ cos θ などの三角（さんかく）関数（かんすう）公式（こうしき）を使用（しよう）することで、被（ひ）積分（せきぶん）関数（かんすう）を効果（こうか）的（てき）に簡素（かんそ）化（か）できます。
  • Đẳng thức \(e^{\log 3} = 3\) giúp đơn giản hóa các hệ số mũ trong tính toán hình học và thể tích.等式（とうしき） \(e^{\log 3} = 3\) は、幾何（きか）や体積（たいせき）の計算（けいさん）における指数（しすう）係数（けいすう）を単純（たんじゅん）化（か）するのに役立（やくだ）ちます。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

\vec{v} = \left(\frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}\right)

Công thức xác định véc-tơ vận tốc của điểm chuyển động trong mặt phẳng theo tham số thời gian t.

パラメータ時間（じかん）tにおける平面（へいめん）上（じょう）の運動（うんどう）する点（てん）の速度（そくど）ベクトルを定義（ていぎ）する公式（こうしき）です。

|\vec{v}| = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2}

Công thức tính tốc độ tức thời, bằng độ dài của véc-tơ vận tốc.

速度（そくど）ベクトルの長（なが）さに等（ひと）しい瞬間（しゅんかん）の速（はや）さを計算（けいさん）する公式（こうしき）です。

\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta

Công thức nhân đôi của hàm số sin giúp rút gọn các biểu thức lượng giác dưới căn.

根号（こんごう）内（ない）の三角（さんかく）関数（かんすう）式（しき）を簡素（かんそ）化（か）するのに役立（やくだ）つ正弦（せいげん）の倍角（ばいかく）公式（こうしき）です。

e^{\log 3} = 3

Đẳng thức đơn giản hóa biểu thức mũ và logarit tự nhiên với cơ số e.

底（そこ）がeである指数（しすう）と自然（しぜん）対数（たいすう）の式（しき）を単純（たんじゅん）化（か）する等式（とうしき）です。

EJU 2026 · MATH.20.2

Bài học này giúp bạn nắm vững cách xác định tốc độ của chuyển động theo tham số t và tính toán thể tích phần chung của hình trụ. Bạn sẽ áp dụng các công thức tham số và biến đổi lượng giác để xử lý các dạng bài hình học nâng cao.

本課（ほんか）では、パラメータtによる運動（うんどう）の速（はや）さの確定（かくてい）や円柱（えんちゅう）の共通（きょうつう）部分（ぶぶん）の体積（たいせき）計算（けいさん）を学（まな）びます。パラメータ表示（ひょうじ）と三角（さんかく）関数（かんすう）の変形（へんけい）を用（もち）いて、高度（こうど）な図形（ずけい）問題（もんだい）に対応（たいおう）する力（ちから）を養（やしな）います。

曲線（きょくせん）の長（なが）さと道（みち）のり 第（だい）2部（ぶ）
速さ懸垂線カージオイド直円柱