Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Phép tính vi phân và ứng dụng Phần 1微分（びぶん）法（ほう）とその応用（おうよう） 第（だい）1部（ぶ）

Công thức公式

\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}
\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}
(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}
(\sin x)'=\cos x

Ví dụ例題

Cho đường cong cho bởi tham số \(x = t^{3}\) và \(y = \sin t\) với t != 0. Tính đạo hàm dy/dx tại t.

媒介（ばいかい）変数（へんすう） \(x = t^{3}\), \(y = \sin t\) (t != 0) で表（あらわ）される曲線（きょくせん）について、tにおける導（どう）関数（かんすう） dy/dx を求（もと）めよ。

  1. Tính đạo hàm dx/dt bằng công thức lũy thừa \((t^{3})\)' = 3 \(t^{2}\).累乗（るいじょう）公式（こうしき）を用（もち）いて \(dx / dt = (t^{3})\)' = 3 \(t^{2}\) を計算（けいさん）します。
  2. Tính đạo hàm dy/dt bằng công thức đạo hàm hàm lượng giác \((\sin t)\)' = \(\cos t\).三角（さんかく）関数（かんすう）の微分（びぶん）公式（こうしき）を用（もち）いて \(dy / dt = (\sin t)\)' = \(\cos t\) を計算（けいさん）します。
  3. Áp dụng công thức dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt) ta thu được \(dy / dx = (\cos t)\) / (3 \(t^{2}\)).公式（こうしき） dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt) を適用（てきよう）すると、\(dy / dx = (\cos t)\) / (3 \(t^{2}\)) となります。
Vậy đạo hàm dy/dx theo tham số t là \((\cos t)\) / (3 \(t^{2}\)).したがって、媒介（ばいかい）変数（へんすう）tによる導（どう）関数（かんすう） dy/dx は \((\cos t)\) / (3 \(t^{2}\)) です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Cho đường cong cho bởi tham số \(x = t^{2}\) và \(y = \sin t\). Đạo hàm dy/dx theo t (với t != 0) là biểu thức nào sau đây?媒介（ばいかい）変数（へんすう） \(x = t^{2}\), \(y = \sin t\) (t != 0) で表（あらわ）される曲線（きょくせん）において、tによる導（どう）関数（かんすう） dy/dx はどれか。

2. Cho \(y = u^{4}\) và \(u = \sin x\). Đạo hàm dy/dx bằng bao nhiêu?\(y = u^{4}\) かつ \(u = \sin x\) のとき、導（どう）関数（かんすう） dy/dx はいくらか。

3. Cho hàm số \(y = x^{5}\). Đạo hàm dy/dx tại x = 2 có giá trị là bao nhiêu?関数（かんすう） \(y = x^{5}\) について、x = 2 における導（どう）関数（かんすう） dy/dx の値（あたい）はいくらか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.19.1 · MATH.19.2. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.19.1 · MATH.19.2。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Áp dụng quy tắc chuỗi để tính đạo hàm của hàm hợp dy/dx = (dy/du) * (du/dx).連鎖（れんさ）律（りつ）を適用（てきよう）して合成（ごうせい）関数（かんすう）の導（どう）関数（かんすう） dy/dx = (dy/du) * (du/dx) を計算（けいさん）する。
  2. Tính đạo hàm của hàm số cho dưới dạng tham số qua công thức dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt).媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）された関数（かんすう）の導（どう）関数（かんすう）を dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt) の公式（こうしき）で求（もと）める。
  3. Sử dụng thành thạo các công thức đạo hàm cơ bản của lũy thừa \(x^{\alpha}\) và hàm lượng giác \(\sin x\).累乗（るいじょう） \(x^{\alpha}\) および三角（さんかく）関数（かんすう） \(\sin x\) の基本（きほん）微分（びぶん）公式（こうしき）を使（つか）いこなす。
Trực giác · イメージ

Tách biến trung gian để vi phân các hàm số phức tạp中間（ちゅうかん）変数（へんすう）を分離（ぶんり）して複雑（ふくざつ）な関数（かんすう）を微分（びぶん）する

Khi hàm số y biến đổi theo x qua một biến trung gian u hoặc qua tham số t, ta có thể tính tốc độ thay đổi dy/dx bằng cách liên kết các tỉ số vi phân thành phần. Điều này giúp đơn giản hóa việc tính đạo hàm mà không cần triệt tiêu biến trung gian.

関数（かんすう）yが中間（ちゅうかん）変数（へんすう）uやパラメータtを介（かい）してxと変化（へんか）するとき、構成（こうせい）要素（ようそ）の微分（びぶん）比（ひ）を連結（れんけつ）することで変化（へんか）率（りつ）dy/dxを計算（けいさん）できます。これにより、中間（ちゅうかん）変数（へんすう）を消去（しょうきょ）することなく微分（びぶん）を簡略（かんりゃく）化（か）できます。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 合成（ごうせい）関数（かんすう）の微分（びぶん）法（ほう）Phép vi phân hàm hợp

    Quy tắc tính đạo hàm của y theo x khi y là hàm theo u và u là hàm theo x. Ta lấy đạo hàm của y theo u rồi nhân với đạo hàm của u theo x.

    yがuの関数（かんすう）でありuがxの関数（かんすう）である場合（ばあい）の、yのxに関（かん）する導（どう）関数（かんすう）の計算（けいさん）規則（きそく）です。yのuに関（かん）する導（どう）関数（かんすう）にuのxに関（かん）する導（どう）関数（かんすう）を掛け合（かけあ）わせます。

  • 媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）の関数（かんすう）の微分（びぶん）法（ほう）Phép vi phân hàm số biểu diễn theo tham số

    Phương pháp tính đạo hàm dy/dx khi cả x và y đều được cho dưới dạng hàm số theo tham số trung gian t. Ta lấy tỉ số giữa dy/dt và dx/dt.

    xとyの両方（りょうほう）が媒介（ばいかい）変数（へんすう）tの関数（かんすう）として与（あた）えられている場合（ばあい）のdy/dxの計算（けいさん）手法（しゅほう）です。dy/dtとdx/dtの比（ひ）を求（もと）めます。

  • 導（どう）関数（かんすう）Đạo hàm

    Hàm số mới biểu thị tốc độ thay đổi tức thời của hàm số ban đầu tại mỗi điểm x. Đạo hàm là khái niệm trung tâm của phép tính vi phân.

    各点（かくてん）xにおける元（もと）の関数（かんすう）の瞬間（しゅんかん）変化（へんか）率（りつ）を表（あらわ）す新（あたら）しい関数（かんすう）です。導（どう）関数（かんすう）は微分（びぶん）法（ほう）の中心（ちゅうしん）的（てき）な概念（がいねん）です。

  • 対数（たいすう）関数（かんすう）Hàm số logarit

    Hàm số nghịch đảo của hàm số mũ, xuất hiện phổ biến trong phép tính vi phân khi xét tốc độ tăng trưởng tỉ lệ.

    指数（しすう）関数（かんすう）の逆（ぎゃく）関数（かんすう）であり、相対（そうたい）的（てき）な成長（せいちょう）率（りつ）を扱（あつか）う微分（びぶん）計算（けいさん）において頻繁（ひんぱん）に登場（とうじょう）します。

  • 指数（しすう）関数（かんすう）Hàm số mũ

    Hàm số dạng \(y = a^{x}\) có tốc độ thay đổi tỉ lệ thuận với chính giá trị của hàm số tại điểm xét.

    \(y = a^{x}\) の形（かたち）の関数（かんすう）であり、その変化（へんか）率（りつ）は検討（けんとう）する点（てん）での関数（かんすう）値（ち）自体（じたい）に比例（ひれい）します。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    関数（かんすう）の表示（ひょうじ）形式（けいしき）を特定（とくてい）する

    Xác định dạng biểu thị của hàm số

    Kiểm tra xem bài toán cho hàm hợp y = f(u(x)) hay hàm số tham số x = x(t), y = y(t). Từ đó chọn quy tắc vi phân thích hợp.

    問題（もんだい）が合成（ごうせい）関数（かんすう） y = f(u(x)) か媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ） x = x(t), y = y(t) かを確認（かくにん）します。それに応（おう）じて適切（てきせつ）な微分（びぶん）規則（きそく）を選択（せんたく）します。

  2. 02
    構成（こうせい）要素（ようそ）の導（どう）関数（かんすう）を計算（けいさん）する

    Tính các đạo hàm thành phần

    Tính riêng đạo hàm dy/du và du/dx đối với hàm hợp, hoặc dy/dt và dx/dt đối với hàm tham số bằng các công thức cơ bản.

    基本（きほん）公式（こうしき）を用（もち）いて、合成（ごうせい）関数（かんすう）の場合（ばあい）は dy/du と du/dx、媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）の場合（ばあい）は dy/dt と dx/dt を個別（こべつ）に計算（けいさん）します。

  3. 03
    結合（けつごう）して導（どう）関数（かんすう） dy/dx の式（しき）を整理（せいり）する

    Kết hợp và rút gọn biểu thức đạo hàm dy/dx

    Nhân các đạo hàm thành phần đối với hàm hợp hoặc lập tỉ số đối với hàm tham số. Rút gọn kết quả về dạng gọn nhất.

    合成（ごうせい）関数（かんすう）の場合（ばあい）は要素（ようそ）を掛け合（かけあ）わせ、媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）の場合（ばあい）は比（ひ）をとります。結果（けっか）を最（もっと）も簡単（かんたん）な形（かたち）に整理（せいり）します。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Khi tính đạo hàm hàm tham số, lấy nhầm tỉ số (dx/dt) / (dy/dt) thay vì (dy/dt) / (dx/dt).媒介（ばいかい）変数（へんすう）関数（かんすう）の微分（びぶん）において、(dy/dt) / (dx/dt) の代（か）わりに誤（あやま）って (dx/dt) / (dy/dt) の比（ひ）をとること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Nhớ rằng dy/dx có dy ở tử số nên tử số phải là dy/dt, và mẫu số là dx/dt.dy/dx は分子（ぶんし）に dy があるため、分子（ぶんし）を dy/dt、分母（ぶんぼ）を dx/dt にしなければならないことを覚（おぼ）えておきます。

Quên nhân với đạo hàm của hàm bên trong (du/dx) khi áp dụng quy tắc vi phân hàm hợp.合成（ごうせい）関数（かんすう）の微分（びぶん）規則（きそく）を適用（てきよう）する際（さい）、内側（うちがわ）の関数（かんすう）の導（どう）関数（かんすう） (du/dx) を掛（か）け忘（わす）れること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Luôn kiểm tra xem hàm số có dạng hợp không và phải nhân đủ hệ số du/dx theo đúng quy tắc chuỗi.関数（かんすう）が合成（ごうせい）関数（かんすう）であるか常（つね）に確認（かくにん）し、連鎖（れんさ）律（りつ）に従（したが）って du/dx を忘（わす）れずに掛け合（かけあ）わせます。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Sử dụng quy tắc chuỗi dy/dx = (dy/du)*(du/dx) để lấy đạo hàm hàm hợp bằng cách nhân các đạo hàm thành phần.構成（こうせい）要素（ようそ）の導（どう）関数（かんすう）の積（せき）をとる連鎖（れんさ）律（りつ） dy/dx = (dy/du)*(du/dx) を用（もち）いて合成（ごうせい）関数（かんすう）を微分（びぶん）する。
  • Đối với hàm tham số t, lập tỉ số dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) với mẫu số dx/dt khác 0.媒介（ばいかい）変数（へんすう）tの関数（かんすう）については、分母（ぶんぼ） dx/dt != 0 として比（ひ） dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) を求（もと）める。
  • Ghi nhớ các công thức đạo hàm cơ bản như \((x^{\alpha})\)' = \(\alpha\) \(x^{\alpha - 1}\) và \((\sin x)\)' = \(\cos x\).\((x^{\alpha})\)' = \(\alpha\) \(x^{\alpha - 1}\) や \((\sin x)\)' = \(\cos x\) などの基本（きほん）微分（びぶん）公式（こうしき）を確実（かくじつ）に覚（おぼ）える。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}

Công thức vi phân hàm hợp (quy tắc chuỗi). Đạo hàm dy/dx bằng tích của đạo hàm y theo u và đạo hàm u theo x.

合成（ごうせい）関数（かんすう）の微分（びぶん）公式（こうしき）（連鎖（れんさ）律（りつ））です。dy/dx は yのuに関（かん）する導（どう）関数（かんすう）と uのxに関（かん）する導（どう）関数（かんすう）の積（せき）になります。

\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}

Công thức tính đạo hàm dy/dx cho hàm số biểu diễn theo tham số t. Ta chia đạo hàm dy/dt cho đạo hàm dx/dt.

媒介（ばいかい）変数（へんすう）tで表示（ひょうじ）された関数（かんすう）の dy/dx を求（もと）める公式（こうしき）です。dy/dt を dx/dt で割（わ）ります。

(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}

Công thức tính đạo hàm của hàm số lũy thừa với số mũ thực \(\alpha\). Hạ số mũ \(\alpha\) xuống làm hệ số và giảm số mũ đi 1.

実数（じっすう）指数（しすう） \(\alpha\) を持（も）つ累乗（るいじょう）関数（かんすう）の微分（びぶん）公式（こうしき）です。指数（しすう） \(\alpha\) を係数（けいすう）として下（お）ろし、指数（しすう）の値（あたい）を1減（へ）らします。

(\sin x)'=\cos x

Công thức tính đạo hàm cơ bản của hàm lượng giác \(\sin x\). Đạo hàm của \(\sin x\) chính bằng \(\cos x\).

三角（さんかく）関数（かんすう） \(\sin x\) の基本（きほん）微分（びぶん）公式（こうしき）です。\(\sin x\) の導（どう）関数（かんすう）は \(\cos x\) となります。

EJU 2026 · MATH.19.1 · MATH.19.2

Bài học này hướng dẫn các quy tắc tính đạo hàm cho hàm hợp và hàm số biểu diễn theo tham số t. Học viên sẽ làm quen với các công thức vi phân cơ bản cho hàm lũy thừa và hàm lượng giác.

この課（か）では、合成（ごうせい）関数（かんすう）およびパラメータtで表（あらわ）された関数（かんすう）の微分（びぶん）規則（きそく）を学（まな）びます。累乗（るいじょう）関数（かんすう）や三角（さんかく）関数（かんすう）の基本（きほん）微分（びぶん）公式（こうしき）の適用（てきよう）方法（ほうほう）を習得（しゅうとく）します。

微分（びぶん）法（ほう）とその応用（おうよう） 第（だい）1部（ぶ）
合成関数の微分法媒介変数表示の関数の微分法導関数対数関数