Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Phép tính vi phân và ứng dụng Phần 2微分（びぶん）法（ほう）とその応用（おうよう） 第（だい）2部（ぶ）

Công thức公式

\left(\frac{1}{\tan x}\right)'=-\frac{1}{\sin^2 x}
(\log x)'=\frac{1}{x}
(\log_a x)'=\frac{1}{x\log a}
(e^x)'=e^x

Ví dụ例題

Cho hàm số \(f(x) = e^{x} - 2 x\). Hãy tìm đạo hàm cấp một, đạo hàm cấp hai và xác định cực trị của hàm số.

関数（かんすう） \(f(x) = e^{x} - 2 x\) について、第（だい）1次（じ）導（どう）関数（かんすう）、第（だい）2次（じ）導（どう）関数（かんすう）を求（もと）め、極値（きょくち）を判定（はんてい）しなさい。

  1. Tính đạo hàm cấp một: Sử dụng công thức \((e^{x})\)' = \(e^{x}\), ta có f'\((x) = e^{x} - 2\).第（だい）1次（じ）導（どう）関数（かんすう）を計算（けいさん）する：\((e^{x})\)' = \(e^{x}\) より、f'\((x) = e^{x} - 2\) となります。
  2. Giải phương trình f'(x) = 0: \(e^{x} - 2 = 0\) suy ra \(e^{x} = 2\), do đó \(x = \log 2\).方程（ほうてい）式（しき） f'(x) = 0 を解（と）く：\(e^{x} - 2 = 0\) より \(e^{x} = 2\)、したがって \(x = \log 2\) となります。
  3. Tính đạo hàm cấp hai: f''\((x) = (e^{x} - 2)\)' = \(e^{x}\). Tại \(x = \log 2\), f''\((\log 2) = 2 > 0\).第（だい）2次（じ）導（どう）関数（かんすう）を計算（けいさん）する：f''\((x) = (e^{x} - 2)\)' = \(e^{x}\) です。\(x = \log 2\) のとき f''\((\log 2) = 2 > 0\) となります。
Vì f'\((\log 2) = 0\) và f''\((\log 2) = 2 > 0\) nên hàm số đạt cực tiểu tại \(x = \log 2\).f'\((\log 2) = 0\) かつ f''\((\log 2) = 2 > 0\) であるため、関数（かんすう）は \(x = \log 2\) で極小（きょくしょう）となります。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Tính đạo hàm của hàm số f(x) = log_3 x tại x = 1.関数（かんすう） f(x) = log_3 x の x = 1 における微分（びぶん）係数（けいすう）を求（もと）めなさい。

2. Tính đạo hàm cấp một f'(x) của hàm số \(f(x) = e^{x} + 1 / \tan (x)\).関数（かんすう） \(f(x) = e^{x} + 1 / \tan (x)\) の第（だい）1次（じ）導（どう）関数（かんすう） f'(x) を求（もと）めなさい。

3. Xét hàm số \(f(x) = e^{x} - x\). Khẳng định nào sau đây đúng về cực trị của hàm số?関数（かんすう） \(f(x) = e^{x} - x\) の極値（きょくち）について、正（ただ）しい記述（きじゅつ）を選（えら）びなさい。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.19.1 · MATH.19.2. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.19.1 · MATH.19.2。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Nắm vững công thức đạo hàm của hàm số lượng giác \(1 / \tan (x)\), hàm lôgarit và hàm mũ \(e^{x}\).\(1 / \tan (x)\)、対数（たいすう）関数（かんすう）、指数（しすう）関数（かんすう） \(e^{x}\) の導（どう）関数（かんすう）公式（こうしき）を習得（しゅうとく）する。
  2. Sử dụng đạo hàm cấp hai để xét cực đại và cực tiểu của hàm số.第（だい）2次（じ）導（どう）関数（かんすう）を利用（りよう）して関数（かんすう）の極大（きょくだい）および極小（きょくしょう）を判定（はんてい）する。
  3. Vận dụng linh hoạt phép tính vi phân vào xử lý các bài toán cực trị.微分（びぶん）法（ほう）を極値（きょくち）問題（もんだい）の計算（けいさん）に正確（せいかく）に応用（おうよう）する。
Trực giác · イメージ

Ý nghĩa của đạo hàm cấp hai và cực trị第（だい）2次（じ）導（どう）関数（かんすう）と極値（きょくち）の直感（ちょっかん）的（てき）理解（りかい）

Đạo hàm cấp một cho biết tốc độ biến thiên và hướng tăng giảm của hàm số. Đạo hàm cấp hai phản ánh độ cong của đồ thị, giúp xác định điểm đó là cực đại hay cực tiểu.

第（だい）1次（じ）導（どう）関数（かんすう）は関数（かんすう）の増減（ぞうげん）を表（あらわ）し、第（だい）2次（じ）導（どう）関数（かんすう）はグラフの凹凸（おうとつ）を表（あらわ）します。これにより、ある点（てん）が極大（きょくだい）であるか極小（きょくしょう）であるかを判定（はんてい）できます。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 三角（さんかく）関数（かんすう）Hàm số lượng giác

    Hàm số lượng giác biểu diễn mối quan hệ giữa góc và tỷ số lượng giác. Việc tính đạo hàm của hàm số lượng giác dạng \(1 / \tan (x)\) giúp khảo sát sự biến thiên của hàm này.

    三角（さんかく）関数（かんすう）は角（かく）と比率（ひりつ）の関係（かんけい）を表（あらわ）す関数（かんすう）です。\(1 / \tan (x)\) のような三角（さんかく）関数（かんすう）の微分（びぶん）は関数（かんすう）の変化（へんか）を調（しら）べるのに役立（やくだ）ちます。

  • 第（だい）2次（じ）導（どう）関数（かんすう）Đạo hàm cấp hai

    Đạo hàm cấp hai là đạo hàm của đạo hàm cấp một, ký hiệu là f''(x). Nó mô tả tốc độ thay đổi của độ dốc đồ thị.

    第（だい）2次（じ）導（どう）関数（かんすう）は第（だい）1次（じ）導（どう）関数（かんすう）をさらに微分（びぶん）したもので、f''(x) と表（あらわ）されます。グラフの傾（かたむ）きの変化（へんか）割合（わりあい）を示（しめ）します。

  • 極大（きょくだい）Cực đại

    Cực đại là điểm mà tại đó hàm số chuyển từ tăng sang giảm. Nếu f'(x)=0 và f''(x) < 0 tại điểm đó thì hàm số đạt cực đại.

    極大（きょくだい）とは関数（かんすう）が増加（ぞうか）から減少（げんしょう）に転（てん）じる点（てん）のことです。f'(x)=0 かつ f''(x) < 0 のとき、関数（かんすう）はその点（てん）で極大（きょくだい）となります。

  • 極小（きょくしょう）Cực tiểu

    Cực tiểu là điểm mà tại đó hàm số chuyển từ giảm sang tăng. Nếu f'(x)=0 và f''(x) > 0 tại điểm đó thì hàm số đạt cực tiểu.

    極小（きょくしょう）とは関数（かんすう）が減少（げんしょう）から増加（ぞうか）に転（てん）じる点（てん）のことです。f'(x)=0 かつ f''(x) > 0 のとき、関数（かんすう）はその点（てん）で極小（きょくしょう）となります。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：第（だい）1次（じ）導（どう）関数（かんすう） f'(x) を計算（けいさん）する

    Bước 1: Tính đạo hàm cấp một f'(x)

    Áp dụng các công thức đạo hàm cơ bản cho \(e^{x}\), \(\log (x)\) hoặc \(1 / \tan (x)\) để tìm f'(x). Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm nghi vấn cực trị.

    \(e^{x}\)、\(\log (x)\)、\(1 / \tan (x)\) などの基本（きほん）公式（こうしき）を用（もち）いて f'(x) を求（もと）めます。f'(x) = 0 を解（と）き、極値（きょくち）の候補（こうほ）点（てん）を特定（とくてい）します。

  2. 02
    ステップ2：第（だい）2次（じ）導（どう）関数（かんすう） f''(x) を計算（けいさん）する

    Bước 2: Tính đạo hàm cấp hai f''(x)

    Tiếp tục đạo hàm f'(x) một lần nữa để thu được f''(x). Thay các nghiệm điểm nghi vấn vào f''(x).

    f'(x) を再度（さいど）微分（びぶん）して f''(x) を求（もと）めます。極値（きょくち）候補（こうほ）の値（あたい）を f''(x) に代入（だいにゅう）します。

  3. 03
    ステップ3：f''(x) の符号（ふごう）から極値（きょくち）を判定（はんてい）する

    Bước 3: Xét dấu của f''(x) để kết luận cực trị

    Nếu f''(x) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm đó. Nếu f''(x) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm đó.

    f''(x) < 0 ならばその点（てん）で極大（きょくだい）となります。f''(x) > 0 ならばその点（てん）で極小（きょくしょう）となります。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Nhầm lẫn đạo hàm của log_a(x) là 1/x mà quên chia cho log a.log_a(x) の導（どう）関数（かんすう）を 1/x と誤（あやま）り、log a で割（わ）るのを忘（わす）れること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Cần nhớ công thức đúng là (log_a x)' = 1 / (x log a) khi cơ số a khác e.底（そこ）が e でない場合（ばあい）、正（ただ）しい公式（こうしき）は (log_a x)' = 1 / (x log a) であることに注意（ちゅうい）します。

Cho rằng f''(x) < 0 ứng với cực tiểu và f''(x) > 0 ứng với cực đại.f''(x) < 0 を極小（きょくしょう）、f''(x) > 0 を極大（きょくだい）と逆（ぎゃく）にして判定（はんてい）してしまうこと。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Nhớ rằng f''(x) > 0 tương ứng với đồ thị lõm lên nên là điểm cực tiểu, còn f''(x) < 0 là điểm cực đại.f''(x) > 0 のときは下（した）に凸（とつ）で極小（きょくしょう）、f''(x) < 0 のときは上（うえ）に凸（とつ）で極大（きょくだい）であることを正確（せいかく）に覚（おぼ）えます。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Công thức đạo hàm hàm lượng giác đặc biệt: (1/tan x)' = -1/sin^2 x.特別（とくべつ）な三角（さんかく）関数（かんすう）の導（どう）関数（かんすう）公式（こうしき）：(1/tan x)' = -1/sin^2 x。
  • Công thức đạo hàm hàm mũ và lôgarit: (e^x)' = e^x, (log x)' = 1/x và (log_a x)' = 1/(x log a).指数（しすう）・対数（たいすう）関数（かんすう）の導（どう）関数（かんすう）公式（こうしき）：(e^x)' = e^x、(log x)' = 1/x、(log_a x)' = 1/(x log a)。
  • Quy tắc xét cực trị bằng đạo hàm cấp hai: f'\((x_{0}) = 0\) và f''\((x_{0}) > 0\) là cực tiểu; f''\((x_{0}) < 0\) là cực đại.第（だい）2次（じ）導（どう）関数（かんすう）による極値（きょくち）判定（はんてい）基準（きじゅん）：f'\((x_{0}) = 0\) かつ f''\((x_{0}) > 0\) で極小（きょくしょう）、f''\((x_{0}) < 0\) で極大（きょくだい）。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

\left(\frac{1}{\tan x}\right)'=-\frac{1}{\sin^2 x}

Công thức tính đạo hàm của hàm số \(1 / \tan (x)\) theo x. Giá trị đạo hàm luôn âm trên các khoảng xác định.

\(1 / \tan (x)\) の x に関（かん）する導（どう）関数（かんすう）の公式（こうしき）です。定義（ていぎ）域（いき）内（ない）において導（どう）関数（かんすう）の値（あたい）は常（つね）に負（ふ）となります。

(\log x)'=\frac{1}{x}

Đạo hàm của hàm lôgarit tự nhiên \(\log (x)\) với cơ số e bằng 1/x với x > 0.

自然（しぜん）対数（たいすう） \(\log (x)\) の導（どう）関数（かんすう）は 1/x となります（x > 0）。

(\log_a x)'=\frac{1}{x\log a}

Đạo hàm của hàm lôgarit cơ số a khác e bằng \(1 / (x \log a)\).

底（そこ）が a の対数（たいすう）関数（かんすう） log_a(x) の導（どう）関数（かんすう）は 1/(x log a) となります。

(e^x)'=e^x

Đạo hàm của hàm số mũ cơ số e bằng chính nó \(e^{x}\).

自然（しぜん）指数（しすう）関数（かんすう） \(e^{x}\) の導（どう）関数（かんすう）は自分（じぶん）自身（じしん）である \(e^{x}\) に等（ひと）しくなります。

EJU 2026 · MATH.19.1 · MATH.19.2

Bài học này hướng dẫn áp dụng phép tính vi phân cho các hàm số nâng cao như hàm số lượng giác, hàm mũ và hàm lôgarit. Bạn sẽ học cách tìm đạo hàm cấp hai và xét tính cực đại, cực tiểu của hàm số.

本課（ほんか）では、三角（さんかく）関数（かんすう）、指数（しすう）関数（かんすう）、対数（たいすう）関数（かんすう）などの微分（びぶん）法（ほう）とその応用（おうよう）を学（まな）びます。第（だい）2次（じ）導（どう）関数（かんすう）を用（もち）いて極大（きょくだい）や極小（きょくしょう）を判定（はんてい）する方法（ほうほう）を習得（しゅうとく）します。

微分（びぶん）法（ほう）とその応用（おうよう） 第（だい）2部（ぶ）
三角関数第2次導関数極大極小