Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Tính có đạo hàm và tính liên tục微分（びぶん）可能（かのう）性（せい）と連続（れんぞく）性（せい）

Công thức公式

\lim_{x \to a} f(x) = f(a)
f(x) = m, a < x < b
F'(x) > 0, F(a) \ge 0 \implies F(x) > 0 \,(x > a)
\frac{\log x}{x} = a

Ví dụ例題

Cho hàm số \(F (x) = x^{2} - 4 x + 5\) xác định với x >= 2. Hãy chứng minh F(x) > 0 với mọi x > 2 bằng cách sử dụng F'(x) và giá trị F(2).

x >= 2 で定義（ていぎ）された関数（かんすう） \(F (x) = x^{2} - 4 x + 5\) について、F'(x) と F(2) の値（あたい）を用（もち）いて、x > 2 において F(x) > 0 となることを証明（しょうめい）しなさい。

  1. Tính đạo hàm F'(x) = 2x - 4. Khi x > 2, ta có 2x > 4 nên F'(x) > 0.導（どう）関数（かんすう）を計算（けいさん）すると F'(x) = 2x - 4 です。x > 2 のとき 2x > 4 となるため、F'(x) > 0 です。
  2. Tính giá trị tại điểm đầu x = 2: \(F (2) = 2^{2} - 4 (2) + 5 = 1 \ge 0\).端点（たんてん） x = 2 における値（あたい）を計算（けいさん）すると、\(F (2) = 2^{2} - 4 (2) + 5 = 1 \ge 0\) です。
  3. Vì F'(x) > 0 với mọi x > 2 và F(2) >= 0, áp dụng công thức suy ra F(x) > 0 với mọi x > 2.x > 2 において F'(x) > 0 かつ F(2) >= 0 であるため、公式（こうしき）より x > 2 で F(x) > 0 が成立（せいりつ）します。
Vậy bất phương trình F(x) > 0 được chứng minh đúng với mọi x > 2.したがって、x > 2 のすべての範囲（はんい）で不等（ふとう）式（しき） F(x) > 0 が成り立（なりた）つことが証明（しょうめい）されました。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Cho hàm số f(x) có đạo hàm tại x = 1 và f(1) = 4. Tính giá trị giới hạn lim_{x -> 1} f(x).関数（かんすう） f(x) は x = 1 で微分（びぶん）可能（かのう）であり、f(1) = 4 です。極限（きょくげん）値（ち） lim_{x -> 1} f(x) を求（もと）めなさい。

2. Xét hàm số \(F (x) = x^{2} - 6 x + 10\) trên khoảng x >= 3. Biết F'(x) = 2x - 6 > 0 với x > 3 và F(3) = 1. Hỏi F(4) có giá trị là bao nhiêu và có thỏa mãn F(4) > 0 không?区間（くかん） x >= 3 における関数（かんすう） \(F (x) = x^{2} - 6 x + 10\) を考（かんが）えます。x > 3 で F'(x) = 2x - 6 > 0 かつ F(3) = 1 です。F(4) の値（あたい）とそれが F(4) > 0 を満（み）たすか答（こた）えなさい。

3. Cho hàm số f(x) = 3x - 2 xác định trên khoảng 1 < x < 4. Phương trình f(x) = m có nghiệm thực khi m nằm trong khoảng nào?開（かい）区間（くかん） 1 < x < 4 で定義（ていぎ）された関数（かんすう） f(x) = 3x - 2 について、方程（ほうてい）式（しき） f(x) = m が実数（じっすう）解（かい）を持（も）つような m の範囲（はんい）を求（もと）めなさい。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.18.2 · MATH.19.1 · MATH.19.2. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 2 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.18.2 · MATH.19.1 · MATH.19.2。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）2区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Nắm vững mối quan hệ giữa tính có đạo hàm và tính liên tục của hàm số.関数（かんすう）の微分（びぶん）可能（かのう）性（せい）と連続（れんぞく）性（せい）の関係（かんけい）を確実（かくじつ）に関係（かんけい）づけて理解（りかい）する。
  2. Sử dụng tính đơn điệu và đạo hàm để biện luận số nghiệm thực của phương trình và hoành độ giao điểm.単調（たんちょう）性（せい）と微分（びぶん）を用（もち）いて、方程（ほうてい）式（しき）の実数（じっすう）解（かい）の個数（こすう）や共有（きょうゆう）点（てん）の x 座標（ざひょう）を議論（ぎろん）する。
Trực giác · イメージ

Sự trơn mượt của đồ thị và số giao điểmグラフの滑（なめ）らかさと共有（きょうゆう）点（てん）の個数（こすう）

Nếu một hàm số có đạo hàm tại một điểm, đồ thị của nó sẽ trơn và không bị gãy góc hay đứt đoạn tại đó. Bằng cách quan sát bảng biến thiên và đường tiệm cận, ta có thể tìm hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng f(x) = m.

関数（かんすう）がある点（てん）で微分（びぶん）可能（かのう）であれば、そのグラフは角（かど）や切れ目（きれめ）がなく滑（なめ）らかになります。増減（ぞうげん）表（ひょう）や漸近（ぜんきん）線（せん）を観察（かんさつ）することで、関数（かんすう）のグラフと直線（ちょくせん） f(x) = m の共有（きょうゆう）点（てん）の x 座標（ざひょう）や解（かい）の個数（こすう）を把握（はあく）できます。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 連続（れんぞく）liên tục

    Một hàm số liên tục tại điểm a nếu đồ thị của nó không bị gián đoạn hay ngắt quãng tại điểm đó. Mọi hàm số có đạo hàm tại a đều liên tục tại a.

    関数（かんすう）が点（てん） a で連続（れんぞく）であるとは、その点（てん）でグラフに途切（とぎ）れがないことを意味（いみ）します。ある点（てん）で微分（びぶん）可能（かのう）な関数（かんすう）は、必（かなら）ずその点（てん）において連続（れんぞく）です。

  • 微分（びぶん）可能（かのう）có đạo hàm

    Hàm số có đạo hàm tại a nếu tỉ số số biến thiên có giới hạn hữu hạn khi x tiến về a. Điều này đảm bảo tiếp tuyến của đồ thị tồn tại tại điểm đó.

    関数（かんすう）が x = a で微分（びぶん）可能（かのう）であるとは、x が a に近（ちか）づくときの変化（へんか）率（りつ）の極限（きょくげん）が存在（そんざい）することです。これにより、その点（てん）での接線（せっせん）が存在（そんざい）することが保証（ほしょう）されます。

  • 連続（れんぞく）の定義（ていぎ）định nghĩa tính liên tục

    Định nghĩa tính liên tục đòi hỏi lim_{x -> a} f(x) phải tồn tại và bằng f(a). Đây là nền tảng để xem xét tính trơn và tính có đạo hàm của hàm số.

    連続（れんぞく）の定義（ていぎ）は、lim_{x -> a} f(x) が存在（そんざい）し、それが f(a) に等（ひと）しいことを要求（ようきゅう）します。これは関数（かんすう）の滑（なめ）らかさや微分（びぶん）可能（かのう）性（せい）を考（かんが）える基礎（きそ）となります。

  • はさみ打（う）ちの原理（げんり）nguyên lý kẹp

    Nguyên lý kẹp giúp xác định giới hạn của một hàm số bằng cách kẹp nó giữa hai hàm số khác có cùng giới hạn. Phương pháp này rất hiệu quả khi tính giới hạn phức tạp.

    はさみ打（う）ちの原理（げんり）は、関数（かんすう）を同（おな）じ極限（きょくげん）を持（も）つ2つの関数（かんすう）で挟（はさ）むことで、その関数（かんすう）の極限（きょくげん）を求（もと）める手法（しゅほう）です。複雑（ふくざつ）な極限（きょくげん）の計算（けいさん）において非常（ひじょう）に有効（ゆうこう）です。

  • 方程（ほうてい）式（しき）の実数（じっすう）解（かい）nghiệm thực của phương trình

    Nghiệm thực của phương trình f(x) = m là các giá trị x làm cho đẳng thức thỏa mãn. Số nghiệm thực tương ứng với số giao điểm của đồ thị y = f(x) và đường thẳng y = m.

    方程（ほうてい）式（しき） f(x) = m の実数（じっすう）解（かい）とは、等式（とうしき）を満足（まんぞく）する x の値（あたい）のことです。実数（じっすう）解（かい）の個数（こすう）は、グラフ y = f(x) と直線（ちょくせん） y = m の共有（きょうゆう）点（てん）の個数（こすう）に対応（たいおう）します。

  • 共有（きょうゆう）点（てん）のx座標（ざひょう）hoành độ giao điểm

    Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là các giá trị x mà tại đó hai hàm số nhận cùng một giá trị y. Việc tìm hoành độ giao điểm giúp đưa bài toán hình học về giải phương trình.

    2つのグラフの共有（きょうゆう）点（てん）の x 座標（ざひょう）は、両方（りょうほう）の関数（かんすう）が同（おな）じ y の値（あたい）をとる x の値（あたい）です。共有（きょうゆう）点（てん）の x 座標（ざひょう）を求（もと）めることで、図形（ずけい）問題（もんだい）を方程（ほうてい）式（しき）の処理（しょり）へと帰着（きちゃく）させることができます。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1: 連続（れんぞく）性（せい）と微分（びぶん）可能（かのう）性（せい）の確認（かくにん）

    Bước 1: Kiểm tra tính liên tục và tính có đạo hàm

    Sử dụng định nghĩa tính liên tục để xác định xem hàm số f(x) có liên tục tại điểm a hay không. Nếu hàm số không liên tục tại a, ta kết luận ngay hàm số không có đạo hàm tại a.

    連続（れんぞく）の定義（ていぎ）を用（もち）いて、関数（かんすう） f(x) が点（てん） a で連続（れんぞく）であるかを確認（かくにん）します。関数（かんすう）が点（てん） a で不（ふ）連続（れんぞく）であれば、ただちに x = a で微分（びぶん）可能（かのう）でないと結論（けつろん）できます。

  2. 02
    ステップ2: 導（どう）関数（かんすう）を用（もち）いた増減（ぞうげん）の調査（ちょうさ）

    Bước 2: Sử dụng đạo hàm để xét chiều biến thiên

    Khi F'(x) > 0 và F(a) >= 0, ta suy ra F(x) > 0 với mọi x > a. Điều này giúp chứng minh bất phương trình và khảo sát sự tăng giảm của hàm số.

    F'(x) > 0 かつ F(a) >= 0 のとき、x > a において F(x) > 0 が成り立（なりた）つことを用（もち）います。これにより不（ふ）等式（とうしき）の証明（しょうめい）や関数（かんすう）の増減（ぞうげん）を調（しら）べることができます。

  3. 03
    ステップ3: グラフと直線（ちょくせん）を用（もち）いた実数（じっすう）解（かい）の個数（こすう）の議論（ぎろん）

    Bước 3: Biện luận số nghiệm thực từ đồ thị và đường thẳng

    Xét phương trình dạng f(x) = m trong khoảng a < x < b để xác định số hoành độ giao điểm. Hoành độ giao điểm của y = f(x) và y = m chính là nghiệm thực của phương trình.

    区間（くかん） a < x < b における方程（ほうてい）式（しき） f(x) = m を考（かんが）え、共有（きょうゆう）点（てん）の個数（こすう）を決定（けってい）します。y = f(x) と y = m の共有（きょうゆう）点（てん）の x 座標（ざひょう）が方程（ほうてい）式（しき）の実数（じっすう）解（かい）となります。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Ngược ngào kết luận rằng hàm số liên tục tại điểm a thì chắc chắn có đạo hàm tại điểm a.関数（かんすう）が点（てん） a で連続（れんぞく）であれば、必（かなら）ず点（てん） a で微分（びぶん）可能（かのう）であると誤（あやま）って逆（ぎゃく）を結論（けつろん）づけること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Tính có đạo hàm suy ra tính liên tục, nhưng chiều ngược lại không đúng (ví dụ các điểm gấp khúc).微分（びぶん）可能（かのう）であれば連続（れんぞく）となりますが、その逆（ぎゃく）は一般（いっぱん）に成り立（なりた）ちません（折れ曲（おれま）がり点（てん）など）。

Bỏ qua điều kiện F(a) >= 0 khi sử dụng điều kiện F'(x) > 0 để kết luận F(x) > 0 với x > a.F'(x) > 0 から x > a で F(x) > 0 を導（みちび）く際（さい）に、F(a) >= 0 の条件（じょうけん）を確認（かくにん）し忘（わす）れること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Dù đạo hàm luôn dương nhưng nếu F(a) < 0 thì F(x) vẫn có thể nhận giá trị âm khi x lớn hơn a.導（どう）関数（かんすう）が正（せい）であっても、F(a) < 0 の場合（ばあい）は x > a で F(x) が負（ふ）の値（あたい）をとる可能（かのう）性（せい）があります。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Nếu một hàm số có đạo hàm tại một điểm thì nó chắc chắn liên tục tại điểm đó.関数（かんすう）がある点（てん）で微分（びぶん）可能（かのう）であれば、その点（てん）において必（かなら）ず連続（れんぞく）です。
  • Đạo hàm dương F'(x) > 0 cùng với F(a) >= 0 đảm bảo F(x) > 0 với mọi x > a.導（どう）関数（かんすう）が正（せい）（F'(x) > 0）であり F(a) >= 0 であれば、x > a のすべてで F(x) > 0 が成り立（なりた）ちます。
  • Số nghiệm thực của phương trình f(x) = m tương ứng với số hoành độ giao điểm của y = f(x) và y = m.方程（ほうてい）式（しき） f(x) = m の実数（じっすう）解（かい）の個数（こすう）は、y = f(x) と y = m の共有（きょうゆう）点（てん）の x 座標（ざひょう）の個数（こすう）に対応（たいおう）します。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

\lim_{x \to a} f(x) = f(a)

Nếu hàm số có đạo hàm tại x = a thì nó bắt buộc phải liên tục tại x = a, thỏa mãn đẳng thức giới hạn này.

関数（かんすう）が x = a で微分（びぶん）可能（かのう）であるならば、必（かなら）ず x = a で連続（れんぞく）であり、この極限（きょくげん）の等式（とうしき）が成り立（なりた）ちます。

f(x) = m, a < x < b

Phương trình biểu diễn sự giao nhau giữa đồ thị y = f(x) và đường thẳng nằm ngang y = m trên khoảng (a, b).

区間（くかん） (a, b) におけるグラフ y = f(x) と 水平（すいへい）線（せん） y = m の交点（こうてん）を表（あらわ）す方程（ほうてい）式（しき）です。

F'(x) > 0, F(a) \ge 0 \implies F(x) > 0 \,(x > a)

Nếu đạo hàm dương trên khoảng và giá trị tại điểm đầu không âm, thì hàm số sẽ nhận giá trị dương với mọi x lớn hơn a.

導（どう）関数（かんすう）が正（せい）であり、端点（たんてん）での値（あたい）が0以上（いじょう）であれば、x > a のすべての範囲（はんい）で関数（かんすう）は正（せい）の値（あたい）をとります。

\frac{\log x}{x} = a

Phương trình dùng để khảo sát số nghiệm thực bằng cách tìm giao điểm của đồ thị \(y = (\log x) / x\) với đường thẳng y = a.

グラフ \(y = (\log x) / x\) と直線（ちょくせん） y = a の共有（きょうゆう）点（てん）を調（しら）べることで、実数（じっすう）解（かい）の個数（こすう）を解析（かいせき）するための方程（ほうてい）式（しき）です。

EJU 2026 · MATH.18.2 · MATH.19.1 · MATH.19.2

Tính có đạo hàm là một điều kiện mạnh hơn tính liên tục, đảm bảo đồ thị hàm số không chỉ liền nét mà còn trơn. Việc xét tính liên tục và đạo hàm giúp ta xác định chính xác số nghiệm thực của phương trình.

微分（びぶん）可能（かのう）性（せい）は連続（れんぞく）性（せい）よりも強（つよ）い条件（じょうけん）であり、グラフが繋（つな）がっているだけでなく滑（なめ）らかであることを保証（ほしょう）します。連続（れんぞく）性（せい）と導（どう）関数（かんすう）を調（しら）べることで、方程（ほうてい）式（しき）の実数（じっすう）解（かい）の個数（こすう）を正確（せいかく）に判定（はんてい）できます。

微分（びぶん）可能（かのう）性（せい）と連続（れんぞく）性（せい）
連続微分可能連続の定義はさみ打ちの原理