Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Ứng dụng giới hạn của hàm số vào hình học関数（かんすう）の極限（きょくげん）の図形（ずけい）への応用（おうよう）

Công thức公式

\lim_{x \to a} f(x) = f(a)

Ví dụ例題

Cho tam giác vuông OAB có các đỉnh O(0,0), A(x, 0) và B(x, 2x) với x > 0 trên mặt phẳng tọa độ. Hãy tính giới hạn diện tích f(x) của tam giác OAB khi x tiến đến 3.

座標（ざひょう）平面（へいめん）上（じょう）に原点（げんてん） O(0,0)、点（てん） A(x, 0)、点（てん） B(x, 2x) （ただし x > 0）を頂点（ちょうてん）とする直角（ちょっかく）三角形（さんかくけい） OAB があります。x が 3 に近（ちか）づくとき、三角形（さんかくけい） OAB の面積（めんせき） f(x) の極限（きょくげん）を求（もと）めなさい。

  1. Diện tích của tam giác vuông OAB được tính theo công thức \(f(x) = (1 / 2)\cdot OA\cdot AB = (1 / 2)\cdot x\cdot 2 x = x^{2}\).直角（ちょっかく）三角形（さんかくけい） OAB の面積（めんせき）は \(f(x) = (1 / 2)\cdot OA\cdot AB = (1 / 2)\cdot x\cdot 2 x = x^{2}\) と表（あらわ）されます。
  2. Hàm số \(f(x) = x^{2}\) là hàm số liên tục trên khoảng (0, +infty), nên nó liên tục tại x = 3.関数（かんすう） \(f(x) = x^{2}\) は開（ひらけ）区間（くかん） (0, infty) で連続（れんぞく）であるため、x = 3 においても連続（れんぞく）です。
  3. Áp dụng công thức giới hạn hàm liên tục, ta có lim_{x -> 3} f(x) = f(3) = 3^2 = 9.連続（れんぞく）関数（かんすう）の極限（きょくげん）公式（こうしき）を適用（てきよう）すると、lim_{x -> 3} f(x) = f(3) = 3^2 = 9 となります。
Vậy giới hạn diện tích của tam giác OAB khi x tiến đến 3 là 9.したがって、x が 3 に近（ちか）づくときの三角形（さんかくけい） OAB の面積（めんせき）の極限（きょくげん）値（ち）は 9 です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Trên mặt phẳng tọa độ, xét tam giác vuông OMN có O(0,0), M(x,0) và N(0, 3x) với x > 0. Gọi f(x) là diện tích tam giác OMN. Tính lim_{x -> 2} f(x).座標（ざひょう）平面（へいめん）において、原点（げんてん） O(0,0)、点（てん） M(x,0)、点（てん） N(0, 3x) （ただし x > 0）を頂点（ちょうてん）とする直角（ちょっかく）三角形（さんかくけい） OMN を考（かんが）えます。その面積（めんせき）を f(x) とするとき、lim_{x -> 2} f(x) を求（もと）めなさい。

2. Cho hàm số f(x) = 2x + 1 xác định trên đoạn đóng [1, 4]. Giá trị giới hạn lim_{x -> 3} f(x) bằng bao nhiêu?閉（へい）区間（くかん） [1, 4] で定義（ていぎ）された関数（かんすう） f(x) = 2x + 1 について、極限（きょくげん）値（ち） lim_{x -> 3} f(x) の値（あたい）を求（もと）めなさい。

3. Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh là x > 0. Gọi f(x) là chu vi của hình vuông đó. Tính lim_{x -> 5} f(x).1辺（へん）の長（なが）さが x > 0 である正（せい）方形（ほうけい） ABCD について、その周（しゅう）の長（なが）さを f(x) とします。lim_{x -> 5} f(x) を求（もと）めなさい。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.18.2. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 3 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.18.2。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）3区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Hiểu cách thiết lập biểu thức hình học theo biến số và tính giới hạn khi biến số tiến tới một giá trị.変数（へんすう）が特定（とくてい）の値（あたい）に近（ちか）づくときの図形（ずけい）量（りょう）を式（しき）で表（あらわ）し、その極限（きょくげん）を計算（けいさん）する方法（ほうほう）を理解（りかい）する。
  2. Vận dụng điều kiện liên tục của hàm số để xác định giá trị giới hạn tại một điểm.関数（かんすう）の連続（れんぞく）性（せい）の条件（じょうけん）を活用（かつよう）して、特定（とくてい）の点（てん）における極限（きょくげん）値（ち）を確定（かくてい）する。
Trực giác · イメージ

Sự thay đổi liên tục của yếu tố hình học図形（ずけい）要素（ようそ）の連続（れんぞく）的（てき）な変化（へんか）

Khi một điểm trên đồ thị dịch chuyển dần đến vị trí đích, kích thước của các hình như tam giác hay đường tròn nội tiếp cũng biến thiên liên tục. Bằng cách biểu diễn đại lượng hình học thành hàm số của biến vị trí, ta có thể tìm trạng thái giới hạn khi biến tiến sát về điểm đích.

グラフ上（じょう）の点（てん）が目的（もくてき）のx座標（ざひょう）に向（む）かって動（うご）くとき、三角形（さんかくけい）や内接（ないせつ）円（えん）などの図形（ずけい）の大（おお）きさを表（あらわ）す量（りょう）も連続（れんぞく）的（てき）に変化（へんか）します。図形（ずけい）量（りょう）を位置（いち）変数（へんすう）の関数（かんすう）として表（あらわ）すことで、目的（もくてき）の点（てん）に近（ちか）づいたときの極限（きょくげん）状態（じょうたい）を調（しら）べることができます。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 内接（ないせつ）円（えん）Đường tròn nội tiếp

    Đường tròn nội tiếp là đường tròn nằm bên trong đa giác và tiếp xúc với tất cả các cạnh của đa giác đó. Bán kính của đường tròn nội tiếp thường biến đổi theo vị trí các đỉnh của đa giác.

    内接（ないせつ）円（えん）とは、多角（たかく）形（けい）の内部（ないぶ）にあり、すべての辺（へん）に接（せっ）する円（えん）のことです。内接（ないせつ）円（えん）の半径（はんけい）は、多角（たかく）形（けい）の頂点（ちょうてん）の位置（いち）に応（おう）じて変化（へんか）します。

  • 相似（そうじ）比（ひ）Tỷ lệ đồng dạng

    Tỷ lệ đồng dạng là tỉ số độ dài giữa các cạnh tương ứng của hai hình đồng dạng. Khi các hình biến thiên liên tục, tỉ lệ đồng dạng cũng thay đổi liên tục theo biến số.

    相似（そうじ）比（ひ）とは、2つの相似（そうじ）な図形（ずけい）の対応（たいおう）する辺（へん）の長（なが）さの比（ひ）のことです。図形（ずけい）が連続（れんぞく）的（てき）に変化（へんか）するとき、相似（そうじ）比（ひ）も変数（へんすう）に応（おう）じて連続（れんぞく）的（てき）に変化（へんか）します。

  • 連続（れんぞく）Liên tục

    Hàm số f(x) liên tục tại x = a khi giới hạn của f(x) khi x tiến tới a bằng đúng f(a). Tính liên tục đảm bảo đại lượng hình học không bị thay đổi đột ngột.

    関数（かんすう） f(x) が x = a で連続（れんぞく）であるとは、x が a に近（ちか）づくときの極限（きょくげん）値（ち）が f(a) に一致（いっち）することです。連続（れんぞく）性（せい）により図形（ずけい）量（りょう）が急激（きゅうげき）に変化（へんか）しないことが保証（ほしょう）されます。

  • 不（ふ）連続（れんぞく）Gián đoạn

    Hàm số gián đoạn tại x = a khi giá trị giới hạn không tồn tại hoặc không bằng f(a). Trong hình học, điều này xảy ra khi hình dạng bị nhảy vọt hoặc không xác định tại điểm đó.

    関数（かんすう）が x = a で不（ふ）連続（れんぞく）であるとは、極限（きょくげん）値（ち）が存在（そんざい）しないか f(a) と一致（いっち）しない状態（じょうたい）です。図形（ずけい）においては、特定（とくてい）の点（てん）で形状（けいじょう）が跳躍（ちょうやく）したり定義（ていぎ）できなかったりする場合（ばあい）に対応（たいおう）します。

  • 閉（へい）区間（くかん）Đoạn đóng

    Đoạn đóng bao gồm tất cả các điểm nằm giữa hai đầu đoạn và bao gồm cả hai đầu đoạn đó. Trên đoạn đóng, một hàm số liên tục luôn đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.

    閉（へい）区間（くかん）とは、両端（りょうたん）の点（てん）を含（ふく）む区間（くかん）のことです。閉（へい）区間（くかん）上（じょう）において連続（れんぞく）な関数（かんすう）は、必（かなら）ず最大（さいだい）値（ち）と最小（さいしょう）値（ち）をとります。

  • 開（かい）区間（くかん）Khoảng mở

    Khoảng mở bao gồm các điểm nằm giữa hai đầu khoảng nhưng không bao gồm hai điểm đầu đó. Xét tính liên tục trên khoảng mở giúp ta khảo sát giới hạn khi biến tiến sát tới hai đầu khoảng.

    開（かい）区間（くかん）とは、両端（りょうたん）の点（てん）を含（ふく）まない区間（くかん）のことです。開（かい）区間（くかん）での連続（れんぞく）性（せい）を考（かんが）えることで、端点（たんてん）に近（ちか）づくときの極限（きょくげん）の挙動（きょどう）を調（しら）べるのに役立（やくだ）ちます。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1: 図形（ずけい）量（りょう）を表（あらわ）す関数（かんすう）の立（りっ）式（しき）

    Bước 1: Thiết lập hàm số theo biến hình học

    Chọn một biến số thích hợp x đại diện cho vị trí hoặc khoảng cách trong hình. Biểu diễn đại lượng hình học f(x) cần tính giới hạn theo biến số x này.

    図形（ずけい）内（ない）の位置（いち）や距離（きょり）を表（あらわ）す適切（てきせつ）な変数（へんすう） x を設定（せってい）します。極限（きょくげん）を求（もと）めたい図形（ずけい）量（りょう） f(x) を変数（へんすう） x の式（しき）で表（あらわ）します。

  2. 02
    ステップ2: 関数（かんすう）の連続（れんぞく）性（せい）の確認（かくにん）

    Bước 2: Kiểm tra tính liên tục của hàm số

    Xác định tập xác định và kiểm tra xem hàm số f(x) có liên tục tại điểm a đang xét hay không. Nếu f(x) liên tục tại a, ta có thể thế trực tiếp x = a vào hàm số.

    定義（ていぎ）域（いき）を確認（かくにん）し、関数（かんすう） f(x) が調（しら）べる点（てん） a で連続（れんぞく）であるかを確認（かくにん）します。f(x) が x = a で連続（れんぞく）であれば、x = a を直接（ちょくせつ）代入（だいにゅう）して極限（きょくげん）を求（もと）められます。

  3. 03
    ステップ3: 連続（れんぞく）の定義（ていぎ）を用（もち）いた極限（きょくげん）の計算（けいさん）

    Bước 3: Tính giới hạn bằng định lý liên tục

    Sử dụng công thức giới hạn của hàm liên tục để lấy giá trị f(a) làm giới hạn của đại lượng khi x tiến tới a. Đảm bảo kết quả thu được có ý nghĩa hình học thực tế.

    連続（れんぞく）関数（かんすう）の極限（きょくげん）の公式（こうしき）を用（もち）いて、x が a に近（ちか）づくときの極限（きょくげん）値（ち） f(a) を計算（けいさん）します。得（え）られた結果（けっか）が幾何（きか）学（がく）的（てき）に正（ただ）しい意味（いみ）を持（も）つか確認（かくにん）します。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Cho rằng giá trị giới hạn của một đại lượng hình học luôn bằng 0 khi điểm di chuyển về gốc tọa độ.点（てん）が原点（げんてん）に近（ちか）づくとき、図形（ずけい）量（りょう）の極限（きょくげん）値（ち）が常（つね）に0になるとと思い込（おもいこ）むこと。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Cần phải lập biểu thức f(x) chính xác và kiểm tra tính liên tục hoặc dạng giới hạn trước khi kết luận.結論（けつろん）を出（だ）す前（まえ）に、正（まさ）しく関数（かんすう） f(x) を立（りっ）式（しき）し、連続（れんぞく）性（せい）や極限（きょくげん）の形（かたち）を確認（かくにん）する必要（ひつよう）があります。

Áp dụng trực tiếp f(a) để tìm giới hạn tại điểm mà hàm số bị gián đoạn hoặc không xác định.関数（かんすう）が不（ふ）連続（れんぞく）な点（てん）や定義（ていぎ）されない点（てん）において、そのまま f(a) を代入（だいにゅう）して極限（きょくげん）を求（もと）めてしまうこと。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Chỉ được thay trực tiếp x = a khi hàm số f(x) liên tục tại điểm x = a.直接（ちょくせつ） x = a を代入（だいにゅう）できるのは、関数（かんすう） f(x) が x = a で連続（れんぞく）である場合（ばあい）に限（かぎ）られます。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Đại lượng hình học biến thiên theo biến số có thể được mô hình hóa thành một hàm số f(x).変数（へんすう）に応（おう）じて変化（へんか）する図形（ずけい）量（りょう）は、関数（かんすう） f(x) としてモデル化（か）できます。
  • Khi hàm số f(x) liên tục tại x = a, giới hạn của hàm số khi x tiến đến a đúng bằng f(a).関数（かんすう） f(x) が x = a で連続（れんぞく）であるとき、x -> a における極限（きょくげん）値（ち）は f(a) に等（ひと）しくなります。
  • Khảo sát tính liên tục trên khoảng mở hoặc đoạn đóng giúp dự đoán chính xác trạng thái giới hạn của hình học.開（かい）区間（くかん）や閉（へい）区間（くかん）における連続（れんぞく）性（せい）を調（しら）べることで、図形（ずけい）の極限（きょくげん）状態（じょうたい）を正確（せいかく）に予測（よそく）できます。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

\lim_{x \to a} f(x) = f(a)

Công thức này thể hiện định nghĩa của tính liên tục của hàm số tại điểm a. Khi f(x) liên tục tại x = a, giới hạn của hàm số khi x tiến đến a đúng bằng giá trị f(a).

この公式（こうしき）は点（てん） a における関数（かんすう）の連続（れんぞく）性（せい）の定義（ていぎ）を表（あらわ）しています。関数（かんすう） f(x) が x = a で連続（れんぞく）であるとき、x -> a の極限（きょくげん）値（ち）は f(a) の値（あたい）と一致（いっち）します。

EJU 2026 · MATH.18.2

Giới hạn của hàm số giúp chúng ta phân tích sự thay đổi của các đại lượng hình học khi biến số tiến dần đến một điểm. Khi hàm số liên tục, giá trị giới hạn trùng với giá trị của hàm số tại điểm đó.

関数（かんすう）の極限（きょくげん）を用（もち）いることで、変数（へんすう）が特定（とくてい）の値（あたい）に近（ちか）づくときの図形（ずけい）量（りょう）の変化（へんか）を解析（かいせき）できます。関数（かんすう）が連続（れんぞく）であるとき、極限（きょくげん）値（ち）はその点（てん）における関数（かんすう）の値（あたい）と一致（いっち）します。

関数（かんすう）の極限（きょくげん）の図形（ずけい）への応用（おうよう）
内接円相似比連続不連続