Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学の基礎 · Toán nền tảng

Chia có dư và thuật toán Euclid整数（せいすう）の除法（じょほう）とユークリッドの互除（ごじょ）法（ほう）

Công thức公式

a=bq+r,\quad 0\le r<b
\gcd(a,b)=\gcd(b,r)

Ví dụ例題

Tìm ƯCLN của 252 và 198 bằng Euclid.

互除（ごじょ）法（ほう）で252と198の最大（さいだい）公約（こうやく）数（すう）を求（もと）めよ。

  1. 252 ÷ 198: lấy được 1 nhóm 198, còn 54. Vì 252=198+54, một số chia hết cả 252 và 198 cũng chia hết 54. Do đó ta thay câu hỏi ƯCLN(252,198) bằng ƯCLN(198,54).252から198を一組ひとくみ取ると54が残ります。252=198+54なので、252と198の公約数こうやくすうは54も割り切ります。そこで最大公約数さいだいこうやくすうを求める対象たいしょうを198と54に変えます。
  2. 198=54 × 3+36, tiếp tục cặp (54,36); 54=36 × 1+18, tiếp tục cặp (36,18). Ở mỗi dòng, ghi đủ số bị chia, số chia, thương và số dư rồi kiểm số dư nhỏ hơn số chia.198=54×3+36より次は54と36、54=36×1+18より次は36と18です。各行かくぎょうで割られる数・除数じょすう・商しょう・余りを書き、余りが除数じょすうより小さいことを確認かくにんします。
  3. 36=18 × 2+0: dừng vì 18 chia hết 36. Các bước trước giữ nguyên tập ước chung, nên 18 cũng là ƯCLN ban đầu. Kiểm 252=18 × 14 và 198=18 × 11; không lấy số dư cuối 0 làm đáp án.36=18×2+0なので終了しゅうりょうです。公約数こうやくすうは各段階かくだんかいで変わらないため、18が元の最大公約数さいだいこうやくすうです。252=18×14、198=18×11で確認かくにんし、最後さいごの余り0を答えにしないようにします。
ƯCLN(252,198)=18.最大（さいだい）公約（こうやく）数（すう）は18。

Tự làm · 3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. −23 chia7 có thương và số dư nào?−23を7で割（わ）った商（しょう）と余（あま）りはどれか。

2. ƯCLN(119,51) là bao nhiêu?119と51の最大（さいだい）公約（こうやく）数（すう）はいくらか。

3. Nếu a=8q+3 thì a+13 chia8 dư bao nhiêu?a=8q+3のとき、a+13を8で割（わ）った余（あま）りはいくらか。

Giáo án, bài giao và tiêu chí cuối buổi →

Giải thích và bài luyện Trí Lữ viết mới · phạm vi JASSO 2026JASSO 2026の範囲（はんい）に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい）

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

Phạm vi đối chiếu: JASSO EJU 2026. Giải thích, ví dụ và câu luyện do Trí Lữ biên soạn mới; không phải câu hỏi thi chính thức.範囲（はんい）はJASSO EJU 2026に照合（しょうごう）。説明（せつめい）・例題（れいだい）・練習（れんしゅう）問題（もんだい）はTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい）であり、公式（こうしき）試験（しけん）問題（もんだい）ではありません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足

Bắt đầu bằng một tình huống具体的な場面から考える

Có 17 viên kẹo, mỗi túi đựng 5 viên: được 3 túi đầy và còn 2 viên. Ta ghi 17=5 × 3+2. “Thương” 商（しょう）đếm túi đầy; “số dư” 余り（あまり）là phần còn lại, chưa đủ một túi.

17個のあめを5個ずつ袋に入れると、3袋できて2個余ります。17=5×3+2です。商（しょう）はできた袋の数、余り（あまり）は一袋に足りない残りです。

Với số âm, ta giữ cùng quy ước 0≤r<5: −17 nằm giữa −20=5 ×(−4) và −15=5 ×(−3). Bắt đầu ở −20 rồi tiến 3 đơn vị đến −17, nên q=−4,r=3. Trước khi sang Euclid, tự kiểm vì sao r=−2 không hợp lệ.

負の数でも0≤r<5という約束を保ちます。−17は−20=5×(−4)と−15=5×(−3)の間です。−20から3進むので商−4、余り3です。互除法に進む前に、余り−2が使えない理由を説明しましょう。

Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Viết a=bq+r với b>0 và 0≤r<b, kể cả khi a âm.b>0、0≤r<bを満（み）たすa=bq+rを、aが負（ふ）の場合（ばあい）も求（もと）める。
  2. Dùng phép chia lặp để tìm ƯCLN và kiểm từng bước.割り算（わりざん）を繰り返（くりかえ）して最大（さいだい）公約（こうやく）数（すう）を求（もと）め、各（かく）段階（だんかい）を確認（かくにん）する。
Trực giác · イメージ

Nhìn bản chất trước khi tính計算（けいさん）の前（まえ）に意味（いみ）を考（かんが）える

Thay số lớn bằng số dư giữ nguyên tập ước chung và làm bài toán nhỏ dần.

大（おお）きい数（かず）を余（あま）りに置き換（おきか）えると、公約（こうやく）数（すう）を保（たも）ったまま問題（もんだい）が小（ちい）さくなる。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 商（しょう）・余（あま）りthương và số dư

    Với số chia b dương, thương q là số nguyên sao cho số dư r nằm từ0 đến b−1.

    正（せい）の除数（じょすう）bに対（たい）して、余（あま）りrが0以上（いじょう）b未満（みまん）になる整数（せいすう）qを商（しょう）とする。

  • 互除（ごじょ）法（ほう）thuật toán Euclid

    Thay cặp(a,b) bằng(b,r), với r là số dư. ƯCLN không đổi.

    aをbで割（わ）った余（あま）りをrとし、組（くみ）(a,b)を(b,r)に置き換（おきか）えても最大（さいだい）公約（こうやく）数（すう）は変（か）わらない。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    余（あま）りの範囲（はんい）を確認（かくにん）する

    Khóa khoảng số dư

    Trước hết, với 17 ÷ 5 ta có 17 = 5 × 3 + 2; số dư 2 nằm từ 0 đến 4. Cùng quy ước đó, −17 = 5 × (−4) + 3. Viết −17 = 5 × (−3) − 2 đúng đẳng thức nhưng −2 không là số dư theo quy ước này.

    まず17÷5では17=5×3+2となり、余（あま）り2は0から4の範囲（はんい）に入（はい）る。同（おな）じ約束（やくそく）で−17=5×(−4)+3。−17=5×(−3)−2も等式（とうしき）としては正（ただ）しいが、−2はこの定義（ていぎ）の余（あま）りではない。

  2. 02
    不変（ふへん）性（せい）を説明（せつめい）する

    Giải thích tính bất biến

    Nếu d chia cả a,b thì d chia r=a−bq. Ngược lại, nếu d chia b,r thì d chia a=bq+r. Vì thế tập ước chung không đổi.

    aとbの公約（こうやく）数（すう）はr=a−bqも割り切（わりき）る。逆（ぎゃく）にbとrの公約（こうやく）数（すう）はa=bq+rも割り切（わりき）るので、公約（こうやく）数（すう）の集合（しゅうごう）は変（か）わらない。

  3. 03
    終了（しゅうりょう）条件（じょうけん）

    Dừng đúng lúc

    Tiếp tục đến số dư0; số chia ở phép chia cuối chính là ƯCLN. Số dư dương giảm dần nên thuật toán dừng.

    余（あま）りが0になったときの除数（じょすう）が最大（さいだい）公約（こうやく）数（すう）。正（せい）の余（あま）りは小（ちい）さくなり続（つづ）けるため、手続（てつづ）きは終了（しゅうりょう）する。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Lấy số dư cuối cùng là0 làm ƯCLN.最後（さいご）の余（あま）り0を最大（さいだい）公約（こうやく）数（すう）とする。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Lấy số chia ở phép chia có số dư0; đó là số dư khác0 ngay trước.余（あま）りが0になる割り算（わりざん）の除数（じょすう）、つまり直前（ちょくぜん）の0でない余（あま）りを取（と）る。

Ghi nhớ · まとめ

Ghi nhớ để dùng lại三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Thay số lớn bằng số dư giữ nguyên tập ước chung và làm bài toán nhỏ dần.大（おお）きい数（かず）を余（あま）りに置き換（おきか）えると、公約（こうやく）数（すう）を保（たも）ったまま問題（もんだい）が小（ちい）さくなる。
  • Số dư luôn phải thuộc khoảng đã quy định.余（あま）りは定（さだ）められた範囲（はんい）に入（はい）らなければならない。

Vận dụng sang bài mới新しい問題で使う

Bài Trí Lữ biên soạn. Tự viết cách giải ra giấy trước khi mở phần đối chiếu.

Trí Lữのオリジナル問題です。解き方を書いてから解説を開きましょう。

Không xem ví dụ: tìm ƯCLN(84,30) bằng Euclid. Sau đó viết −31=6 q+r với 0≤r<6. Nêu vì sao số dư ở mỗi phép chia hợp lệ.

例を見ずに84と30の最大公約数を互除法で求めましょう。次に−31=6q+r、0≤r<6を満たすq、rを求め、余りの条件を説明しましょう。

Đối chiếu cách giải và lý do解き方と理由を確認する

84=30 × 2+24;30=24 × 1+6;24=6 × 4+0 nên ƯCLN=6. Với −31:6 ×(−6)=−36, cộng 5 thành −31 nên q=−6,r=5. Cả đẳng thức và 0≤5<6 đều đúng.

84=30×2+24、30=24×1+6、24=6×4+0なので最大公約数は6です。−31=6×(−6)+5よりq=−6、r=5で、0≤5<6も満たします。

Ôn lại sau buổi học

  1. Ngày 1: Viết lại phép chia −31 cho 6 và giải thích khoảng số dư.
  2. Ngày 3: Tự tìm ƯCLN(84,30), giải thích vì sao đổi cặp không đổi ước chung.
  3. Ngày 7: Trộn một phép chia âm và một bài ƯCLN từ các câu đã làm; chỉ xem chữa sau khi viết đủ từng dòng.
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

a=bq+r,\quad 0\le r<b

b là số nguyên dương; q,r là các số nguyên.

bは正（せい）の整数（せいすう）、qとrは整数（せいすう）。

\gcd(a,b)=\gcd(b,r)

Dùng cho a,b dương và r là số dư khi chia a cho b.

正（せい）の整数（せいすう）a,bについて、rはaをbで割（わ）った余（あま）り。

EJU 2026 · JASSO-2026-MATH-6(1) · JASSO-2026-MATH-6(2)

整数（せいすう）の除法（じょほう）とユークリッドの互除（ごじょ）法（ほう）

Viết a=bq+r với b>0 và 0≤r<b, kể cả khi a âm.

b>0、0≤r<bを満（み）たすa=bq+rを、aが負（ふ）の場合（ばあい）も求（もと）める。

JASSO · Phạm vi Toán 2026