Phương trình bậc nhất hai ẩn nguyên一（いち）次（じ）不定（ふてい）方程（ほうてい）式（しき）

Giải 21 x+15 y=6 trong số nguyên, rồi kiểm có nghiệm không âm không.

21x+15y=6の整数（せいすう）解（かい）を求（もと）め、非（ひ）負（ふ）整数（せいすう）解（かい）があるか調（しら）べよ。

1. 21 và 15 cùng chia hết cho 3; 6 cũng vậy. Chia cả hai vế cho 3 được 7 x+5 y=2. Điều kiện ƯCLN chỉ bảo đảm có nghiệm nguyên, chưa bảo đảm có nghiệm không âm.21と15の最大公約数さいだいこうやくすう3は6も割り切ります。両辺りょうへんを3で割ると7x+5y=2です。この条件じょうけんは整数解せいすうかいの存在そんざいを保証ほしょうしますが、非負解ひふかいまでは保証ほしょうしません。
2. 7 × 1+5 ×(−1)=2 nên (1,−1) là một nghiệm. Tăng x thêm 5 và giảm y đi 7 làm tổng đổi 7 × 5−5 × 7=0; do đó x=1+5 t,y=−1−7 t đều là nghiệm với t nguyên.7×1+5×(−1)=2より(1,−1)は特解とっかいです。xを5増やしyを7減らすと変化へんかは7×5−5×7=0なので、x=1+5t、y=−1−7tは整数せいすうtごとに解になります。
3. Vì sao không sót nghiệm? Trừ nghiệm (1,−1) khỏi nghiệm bất kỳ:7(x−1)=−5(y+1). Vì 7 và 5 nguyên tố cùng nhau, x−1 phải chia hết cho 5; đặt x−1=5 t thì y+1=−7 t.漏れがない理由りゆうも確認かくにんします。任意にんいの解から特解とっかいを引くと7(x−1)=−5(y+1)です。7と5は互いに素たがいにそなのでx−1は5の倍数ばいすうとなり、x−1=5tとおけばy+1=−7tです。
4. Thêm điều kiện không âm: x=1+5 t≥0 cho t≥−1/5; t nguyên nên t≥0. y=−1−7 t≥0 cho t≤−1/7; t nguyên nên t≤−1. Hai miền không giao nhau, nên không có nghiệm không âm.非負条件ひふじょうけんよりt≥−1/5とt≤−1/7です。tは整数せいすうなので、それぞれt≥0、t≤−1となります。共通部分きょうつうぶぶんがないため、非負整数解ひふせいすうかいはありません。