Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学II・B · Toán II · B

Đường tròn và đường thẳng Phần 1円（えん）と直線（ちょくせん） 第（だい）1部（ぶ）

Công thức公式

D = b^2 - 4ac
D > 0
D = 0
D < 0

Ví dụ例題

Cho đường tròn \(x^{2} + y^{2} = 5\) và đường thẳng y = x + 1. Hãy tìm số điểm chung của đường tròn và đường thẳng này.

円（えん） \(x^{2} + y^{2} = 5\) と直線（ちょくせん） y = x + 1 について、共有（きょうゆう）点（てん）の個数（こすう）を求（もと）めよ。

  1. Thế y = x + 1 vào phương trình đường tròn \(x^{2} + y^{2} = 5\) ta được phương trình \(x^{2} + (x + 1)^{2} = 5\).y = x + 1 を円（えん）の方程（ほうてい）式（しき） \(x^{2} + y^{2} = 5\) に代入（だいにゅう）すると \(x^{2} + (x + 1)^{2} = 5\) となる。
  2. Khai triển và thu gọn phương trình về dạng chuẩn: \(2 x^{2} + 2 x - 4 = 0\).展開（てんかい）して整理（せいり）すると 2次（じ）方程（ほうてい）式（しき） \(2 x^{2} + 2 x - 4 = 0\) が得（え）られる。
  3. Tính biệt thức \(D = 2^{2} - 4 (2) (-4) = 4 + 32 = 36\).係数（けいすう）から判別（はんべつ）式（しき） \(D = 2^{2} - 4 (2) (-4) = 4 + 32 = 36\) を計算（けいさん）する。
  4. Vì D = 36 > 0 nên phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt, nghĩa là đường thẳng cắt đường tròn tại 2 điểm chung.D = 36 > 0 であるため方程（ほうてい）式（しき）は異（こと）なる2つの実数（じっすう）解（かい）をもち、直線（ちょくせん）と円（えん）は2個（こ）の共有（きょうゆう）点（てん）をもつ。
Số điểm chung của đường tròn và đường thẳng là 2.円（えん）と直線（ちょくせん）の共有（きょうゆう）点（てん）の個数（こすう）は2個（こ）である。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Cho đường tròn \(x^{2} + y^{2} = 2\) và đường thẳng y = x + m. Tìm giá trị của m để đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn.円（えん） \(x^{2} + y^{2} = 2\) と直線（ちょくせん） y = x + m について、直線（ちょくせん）が円（えん）の接線（せっせん）となるような m の値（あたい）を求（もと）めよ。

2. Xác định số điểm chung của đường tròn \(x^{2} + y^{2} = 4\) và đường thẳng y = 3.円（えん） \(x^{2} + y^{2} = 4\) と直線（ちょくせん） y = 3 の共有（きょうゆう）点（てん）の個数（こすう）を求（もと）めよ。

3. Tìm điều kiện của k để đường thẳng y = kx + 2 và đường tròn \(x^{2} + y^{2} = 1\) cắt nhau tại 2 điểm chung phân biệt.直線（ちょくせん） y = kx + 2 と円（えん） \(x^{2} + y^{2} = 1\) が異（こと）なる2個（こ）の共有（きょうゆう）点（てん）をもつような k の条件（じょうけん）を求（もと）めよ。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.9.2. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.9.2。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Xác định số điểm chung giữa đường tròn và đường thẳng bằng cách xét biệt thức D.判別（はんべつ）式（しき）Dを調（しら）べることで、円（えん）と直線（ちょくせん）の共有（きょうゆう）点（てん）の個数（こすう）を判定（はんてい）できる。
  2. Tìm điều kiện của tham số để đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn.直線（ちょくせん）が円（えん）の接線（せっせん）となるためのパラメータの条件（じょうけん）を求（もと）めることができる。
Trực giác · イメージ

Hình dung sự giao nhau qua số nghiệm của phương trình方程（ほうてい）式（しき）の解（かい）の個数（こすう）による交（まじ）わりの視覚（しかく）化（か）

Khi thay phương trình đường thẳng vào phương trình đường tròn, hoành độ giao điểm chính là nghiệm của một phương trình bậc hai. Do đó, số điểm chung của đường tròn và đường thẳng tương ứng chính xác với số nghiệm thực của phương trình đó.

直線（ちょくせん）の式（しき）を円（えん）の式（しき）に代入（だいにゅう）すると、交点（こうてん）のx座標（ざひょう）は2次（じ）方程（ほうてい）式（しき）の解（かい）となります。したがって、円（えん）と直線（ちょくせん）の共有（きょうゆう）点（てん）の個数（こすう）は、その2次（じ）方程（ほうてい）式（しき）の実数（じっすう）解（かい）の個数（こすう）と完全（かんぜん）に一致（いっち）します。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 位置（いち）関係（かんけい）vị trí tương đối

    Vị trí tương đối mô tả quan hệ hình học giữa đường tròn và đường thẳng dựa trên số điểm chung của chúng. Có ba trường hợp xảy ra là cắt nhau tại hai điểm, tiếp xúc tại một điểm, hoặc không cắt nhau.

    位置（いち）関係（かんけい）とは、共有（きょうゆう）点（てん）の個数（こすう）に基（もと）づく円（えん）と直線（ちょくせん）の幾何（きか）学（がく）的（てき）な関係（かんけい）を表（あらわ）します。2点（てん）で交（まじ）わる、1点（てん）で接（せっ）する、共有（きょうゆう）点（てん）をもたないの3つの場合（ばあい）があり得（え）ます。

  • 共有（きょうゆう）点（てん）điểm chung

    Điểm chung là điểm nằm trên cả đường tròn và đường thẳng, tọa độ của nó thỏa mãn đồng thời cả hai phương trình. Số điểm chung có thể là 2, 1, hoặc 0.

    共有（きょうゆう）点（てん）とは、円（えん）と直線（ちょくせん）の両方（りょうほう）の上（うえ）に存在（そんざい）する点（てん）であり、その座標（ざひょう）は両方（りょうほう）の方程（ほうてい）式（しき）を同時（どうじ）に満（み）たします。共有（きょうゆう）点（てん）の個数（こすう）は2個（こ）、1個（こ）、または0個（こ）となります。

  • 判別（はんべつ）式（しき）biệt thức

    Biệt thức \(D = b^{2} - 4 ac\) dùng để xác định số nghiệm thực của phương trình bậc hai thu được sau khi thế. Dấu của D trực tiếp quyết định số điểm chung giữa đường tròn và đường thẳng.

    判別（はんべつ）式（しき） \(D = b^{2} - 4 ac\) は、代入（だいにゅう）後（ご）に得（え）られる2次（じ）方程（ほうてい）式（しき）の実数（じっすう）解（かい）の個数（こすう）を判定（はんてい）するために用（もち）いられます。Dの符号（ふごう）が円（えん）と直線（ちょくせん）の共有（きょうゆう）点（てん）の個数（こすう）を直接（ちょくせつ）決定（けってい）します。

  • 接線（せっせん）tiếp tuyến

    Tiếp tuyến là đường thẳng chỉ có duy nhất một điểm chung với đường tròn. Điều này xảy ra khi và chỉ khi biệt thức D của phương trình hoành độ giao điểm bằng 0.

    接線（せっせん）とは、円（えん）とただ1つの共有（きょうゆう）点（てん）をもつ直線（ちょくせん）のことです。これは交点（こうてん）のx座標（ざひょう）に関（かん）する方程（ほうてい）式（しき）の判別（はんべつ）式（しき）Dが0になるときに発生（はっせい）します。

  • 接点（せってん）tiếp điểm

    Tiếp điểm là điểm chung duy nhất giữa đường tròn và đường tiếp tuyến. Tại điểm này, phương trình hoành độ giao điểm cho nghiệm kép.

    接点（せってん）とは、円（えん）と接線（せっせん）の唯一（ゆいいつ）の共有（きょうゆう）点（てん）のことです。この点（てん）において、交点（こうてん）のx座標（ざひょう）に関（かん）する方程（ほうてい）式（しき）は重解（じゅうかい）をもちます。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1: 直線（ちょくせん）の式（しき）を円（えん）の式（しき）に代入（だいにゅう）する

    Bước 1: Thế phương trình đường thẳng vào đường tròn

    Rút ẩn y từ phương trình đường thẳng rồi thế vào phương trình đường tròn. Biến đổi để đưa về phương trình bậc hai một ẩn \(ax^{2} + bx + c = 0\).

    直線（ちょくせん）の式（しき）からyを消去（しょうきょ）して円（えん）の式（しき）に代入（だいにゅう）します。これを整理（せいり）して1変数（へんすう）の2次（じ）方程（ほうてい）式（しき） \(ax^{2} + bx + c = 0\) を導（みちび）きます。

  2. 02
    ステップ2: 判別（はんべつ）式（しき）Dを計算（けいさん）する

    Bước 2: Tính biệt thức D

    Tính giá trị biệt thức \(D = b^{2} - 4 ac\) từ các hệ số a, b, c của phương trình bậc hai thu được. Giá trị này xác định số nghiệm của phương trình.

    得（え）られた2次（じ）方程（ほうてい）式（しき）の係数（けいすう）a, b, cから判別（はんべつ）式（しき） \(D = b^{2} - 4 ac\) の値（あたい）を計算（けいさん）します。この値（あたい）が方程（ほうてい）式（しき）の解（かい）の個数（こすう）を決定（けってい）します。

  3. 03
    ステップ3：直線（ちょくせん）と円（えん）の位置（いち）関係（かんけい）を判定（はんてい）する

    Bước 3: Kết luận vị trí tương đối

    Nếu D > 0 thì có 2 điểm chung, nếu D = 0 thì đường thẳng là tiếp tuyến có 1 tiếp điểm, và nếu D < 0 thì không có điểm chung. Sự tương ứng này giúp đưa bài toán hình học về đại số đơn giản.

    D > 0 なら共有（きょうゆう）点（てん）2個（こ）、D = 0 なら接線（せっせん）となり接点（せってん）1個（こ）、D < 0 なら共有（きょうゆう）点（てん）なしと判定（はんてい）します。この対応（たいおう）関係（かんけい）により幾何（きか）問題（もんだい）を代数（だいすう）的（てき）に解決（かいけつ）できます。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Cho rằng D = 0 có nghĩa là đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt.D = 0 のときに直線（ちょくせん）が円（えん）と2点（てん）で交（まじ）わると誤解（ごかい）すること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Khi D = 0, phương trình bậc hai có nghiệm kép, đại diện cho duy nhất 1 điểm chung tức là đường thẳng là tiếp tuyến tiếp xúc với đường tròn.D = 0 のときは方程（ほうてい）式（しき）が重解（じゅうかい）をもつため、共有（きょうゆう）点（てん）は1個（こ）となり直線（ちょくせん）は円（えん）に接（せっ）する接線（せっせん）となります。

Quên đưa phương trình về dạng \(ax^{2} + bx + c = 0\) trước khi xác định các hệ số a, b, c để tính D.\(ax^{2} + bx + c = 0\) の形（かたち）に整理（せいり）せずに a, b, c の係数（けいすう）を決（き）めて D を計算（けいさん）してしまうこと。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Cần khai triển hoàn toàn và chuyển tất cả số hạng về một phía để xác định đúng hệ số a, b, c trước khi thế vào \(D = b^{2} - 4 ac\).すべての項（こう）を片辺（かたほとり）に移行（いこう）し、a, b, c の係数（けいすう）を正（ただ）しく整理（せいり）してから \(D = b^{2} - 4 ac\) に代入（だいにゅう）する必要（ひつよう）があります。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Số điểm chung giữa đường tròn và đường thẳng được xác định bằng số nghiệm thực của phương trình hoành độ giao điểm.円（えん）と直線（ちょくせん）の共有（きょうゆう）点（てん）の個数（こすう）は、交点（こうてん）のx座標（ざひょう）に関（かん）する2次（じ）方程（ほうてい）式（しき）の実数（じっすう）解（かい）の個数（こすう）によって決定（けってい）される。
  • Biệt thức D > 0 tương ứng 2 điểm chung, D = 0 tương ứng 1 tiếp điểm (đường thẳng là tiếp tuyến), D < 0 tương ứng không có điểm chung.判別（はんべつ）式（しき） D > 0 は共有（きょうゆう）点（てん）2個（こ）、D = 0 は接点（せってん）1個（こ）（接線（せっせん））、D < 0 は共有（きょうゆう）点（てん）なしに対応（たいおう）する。
  • Luôn thu gọn phương trình về dạng \(ax^{2} + bx + c = 0\) trước khi áp dụng công thức \(D = b^{2} - 4 ac\).判別（はんべつ）式（しき） \(D = b^{2} - 4 ac\) を適用（てきよう）する前（まえ）に、必（かなら）ず方程（ほうてい）式（しき）を \(ax^{2} + bx + c = 0\) の形（かたち）に整理（せいり）する。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

D = b^2 - 4ac

Biệt thức của phương trình bậc hai \(ax^{2} + bx + c = 0\) thu được khi thế phương trình đường thẳng vào đường tròn.

直線（ちょくせん）の式（しき）を円（えん）の式（しき）に代入（だいにゅう）して得（え）られる2次（じ）方程（ほうてい）式（しき） \(ax^{2} + bx + c = 0\) の判別（はんべつ）式（しき）です。

D > 0

Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt, tương ứng đường thẳng cắt đường tròn tại 2 điểm chung.

方程（ほうてい）式（しき）が異（こと）なる2つの実数（じっすう）解（かい）をもつ条件（じょうけん）であり、直線（ちょくせん）が円（えん）と2個（こ）の共有（きょうゆう）点（てん）で交（まじ）わることを意味（いみ）します。

D = 0

Điều kiện để phương trình có nghiệm kép, tương ứng đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn tại 1 tiếp điểm.

方程（ほうてい）式（しき）が重解（じゅうかい）をもつ条件（じょうけん）であり、直線（ちょくせん）が円（えん）の接線（せっせん）となり1個（こ）の接点（せってん）をもつことを意味（いみ）します。

D < 0

Điều kiện để phương trình không có nghiệm thực, tương ứng đường thẳng và đường tròn không có điểm chung.

方程（ほうてい）式（しき）が実数（じっすう）解（かい）をもたない条件（じょうけん）であり、直線（ちょくせん）と円（えん）が共有（きょうゆう）点（てん）をもたないことを意味（いみ）します。

EJU 2026 · MATH.9.2

Bài học này hướng dẫn cách xác định vị trí tương đối và số điểm chung giữa đường tròn và đường thẳng thông qua biệt thức D của phương trình bậc hai. Qua đó, bạn sẽ hiểu rõ khi nào đường thẳng là tiếp tuyến hoặc cắt đường tròn tại hai điểm.

本課（ほんか）では、2次（じ）方程（ほうてい）式（しき）の判別（はんべつ）式（しき）Dを用（もち）いて円（えん）と直線（ちょくせん）の位置（いち）関係（かんけい）および共有（きょうゆう）点（てん）の個数（こすう）を判定（はんてい）する方法（ほうほう）を学（まな）びます。これにより、直線（ちょくせん）が接線（せっせん）となる場合（ばあい）や2点（てん）で交（まじ）わる場合（ばあい）を正確（せいかく）に理解（りかい）できます。

円（えん）と直線（ちょくせん） 第（だい）1部（ぶ）
位置関係共有点判別式接線