Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学II・B · Toán II · B

Phương trình đường tròn円（えん）の方程（ほうてい）式（しき）

Công thức公式

(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2
x^2 + y^2 = r^2
x^2 + y^2 + lx + my + n = 0
r = \frac{\sqrt{l^2 + m^2 - 4n}}{2}

Ví dụ例題

Cho phương trình \(x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y - 3 = 0\). Hãy xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn này.

方程（ほうてい）式（しき） \(x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y - 3 = 0\) が与（あた）えられています。この円（えん）の中心（ちゅうしん）の座標（ざひょう）と半径（はんけい）を求（もと）めなさい。

  1. Nhận biết các hệ số trong dạng tổng quát: l = -4, m = 6, n = -3.一般（いっぱん）形（けい）の係数（けいすう）を特定（とくてい）します: l = -4, m = 6, n = -3。
  2. Biến đổi về dạng chuẩn bằng bình phương hoàn chỉnh: \((x - 2)^{2} - 4 + (y + 3)^{2} - 9 - 3 = 0\).平方（へいほう）完成（かんせい）により標準（ひょうじゅん）形（けい）に変形（へんけい）します: \((x - 2)^{2} - 4 + (y + 3)^{2} - 9 - 3 = 0\)。
  3. Chuyển các hằng số sang vế phải: \((x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 16 = 4^{2}\).定数（ていすう）項（こう）を右辺（うへん）に移行（いこう）します: \((x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 16 = 4^{2}\)。
  4. Từ dạng chuẩn \((x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 4^{2}\), suy ra tâm là (2, -3) và bán kính r = 4.標準（ひょうじゅん）形（けい） \((x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 4^{2}\) から、中心（ちゅうしん）は (2, -3)、半径（はんけい）は r = 4 と導（みちび）かれます。
Vậy đường tròn có tâm (2, -3) và bán kính r = 4.したがって、円（えん）の中心（ちゅうしん）は (2, -3)、半径（はんけい）は r = 4 です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Xác định tâm và bán kính của đường tròn có phương trình \((x - 3)^{2} + (y + 1)^{2} = 25\).方程（ほうてい）式（しき） \((x - 3)^{2} + (y + 1)^{2} = 25\) で表（あらわ）される円（えん）の中心（ちゅうしん）と半径（はんけい）を求（もと）めなさい。

2. Cho phương trình dạng tổng quát \(x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 11 = 0\). Tính bán kính r của đường tròn.一般（いっぱん）形（けい）の方程（ほうてい）式（しき） \(x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 11 = 0\) が与（あた）えられています。円（えん）の半径（はんけい） r を求（もと）めなさい。

3. Viết phương trình dạng chuẩn của đường tròn có tâm tại gốc tọa độ O(0, 0) và đi qua điểm P(3, 4).原点（げんてん） O(0, 0) を中心（ちゅうしん）とし、点（てん） P(3, 4) を通（とお）る円（えん）の標準（ひょうじゅん）形（けい）の方程（ほうてい）式（しき）を求（もと）めなさい。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.9.2. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.9.2。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Nắm được dạng chuẩn và dạng tổng quát của phương trình đường tròn để xác định tâm và bán kính.円（えん）の方程（ほうてい）式（しき）の標準（ひょうじゅん）形（けい）と一般（いっぱん）形（けい）を理解（りかい）し、中心（ちゅうしん）と半径（はんけい）を特定（とくてい）できるようになる。
  2. Biết cách lập phương trình đường tròn tâm gốc O hoặc đường tròn tiếp xúc với các trục tọa độ.原点（げんてん）中心（ちゅうしん）の円（えん）や座標（ざひょう）軸（じく）に接（せっ）する円（えん）の方程（ほうてい）式（しき）を求（もと）める方法（ほうほう）を修得（しゅうとく）する。
Trực giác · イメージ

Tập hợp các điểm cách đều một điểm cố định定点（ていてん）から等（とう）距離（きょり）にある点（てん）の集合（しゅうごう）

Đường tròn là tập hợp tất cả các điểm trong mặt phẳng có khoảng cách đến tâm không đổi và bằng bán kính. Bằng cách áp dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm, ta thu được phương trình đại số của đường tròn.

円（えん）とは、平面（へいめん）上（じょう）で中心（ちゅうしん）からの距離（きょり）が一定（いってい）（半径（はんけい））であるすべての点（てん）の集合（しゅうごう）です。2点（てん）間（かん）の距離（きょり）の公式（こうしき）を適用（てきよう）することで、円（えん）の代数（だいすう）方程（ほうてい）式（しき）が得（え）られます。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 円（えん）の方程（ほうてい）式（しき）phương trình đường tròn

    Là phương trình biểu diễn tập hợp các điểm cách tâm một khoảng bằng bán kính. Phương trình này có thể biểu diễn dưới dạng chuẩn hoặc dạng tổng quát.

    中心（ちゅうしん）からの距離（きょり）が半径（はんけい）に等（ひと）しい点（てん）の集合（しゅうごう）を表（あらわ）す方程（ほうてい）式（しき）です。この方程（ほうてい）式（しき）は標準（ひょうじゅん）形（けい）または一般（いっぱん）形（けい）で表（あらわ）すことができます。

  • 中心（ちゅうしん）tâm

    Tâm đường tròn là điểm cố định (a, b) trong mặt phẳng, cách đều mọi điểm thuộc đường tròn một khoảng r.

    円（えん）の中心（ちゅうしん）は平面（へいめん）上（じょう）の定点（ていてん） (a, b) であり、円上（えんじょう）のすべての点（てん）から距離（きょり） r だけ離（はな）れています。

  • 半径（はんけい）bán kính

    Bán kính r là độ dài khoảng cách từ tâm đến bất kỳ điểm nào nằm trên đường tròn (r > 0).

    半径（はんけい） r は、中心（ちゅうしん）から円上（えんじょう）の任意（にんい）の点（てん）までの距離（きょり）の長（なが）さです (r > 0)。

  • 標準（ひょうじゅん）形（けい）dạng chuẩn

    Dạng chuẩn của phương trình đường tròn là \((x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}\), trong đó (a, b) là tọa độ tâm và r là bán kính. Dạng này giúp xác định trực tiếp tâm và bán kính.

    円（えん）の方程（ほうてい）式（しき）の標準（ひょうじゅん）形（けい）は \((x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}\) であり、(a, b) は中心（ちゅうしん）の座標（ざひょう）、r は半径（はんけい）です。この形式（けいしき）により中心（ちゅうしん）と半径（はんけい）を直接（ちょくせつ）特定（とくてい）できます。

  • 一般（いっぱん）形（けい）dạng tổng quát

    Dạng tổng quát có dạng \(x^{2} + y^{2} + lx + my + n = 0\). Bằng cách biến đổi bình phương hoàn chỉnh, ta có thể chuyển về dạng chuẩn để tìm tâm và bán kính.

    一般（いっぱん）形（けい）は \(x^{2} + y^{2} + lx + my + n = 0\) の形（かたち）を持（も）ちます。平方（へいほう）完成（かんせい）を行（おこな）うことで標準（ひょうじゅん）形（けい）に変形（へんけい）し、中心（ちゅうしん）と半径（はんけい）を求（もと）めることができます。

  • 座標（ざひょう）軸（じく）に接（せっ）する円（えん）đường tròn tiếp xúc với trục tọa độ

    Là đường tròn tiếp xúc với trục Ox, Oy hoặc cả hai trục. Khoảng cách từ tâm đến trục tiếp xúc chính bằng bán kính r.

    x 軸（じく）、y 軸（じく）、または両方（りょうほう）の軸（じく）に接（せっ）する円（えん）のことです。中心（ちゅうしん）から接（せっ）する軸（じく）までの距離（きょり）は半径（はんけい） r に等（ひと）しくなります。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：中心（ちゅうしん）と半径（はんけい）から標準（ひょうじゅん）形（けい）を立（た）てる

    Bước 1: Xác định dạng chuẩn từ tâm và bán kính

    Khi biết tọa độ tâm (a, b) và bán kính r, thay trực tiếp vào công thức \((x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}\). Nếu tâm là gốc tọa độ O(0,0), phương trình là \(x^{2} + y^{2} = r^{2}\).

    中心（ちゅうしん）の座標（ざひょう） (a, b) と半径（はんけい） r が分（わ）かっている場合（ばあい）、公式（こうしき） \((x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}\) に直接（ちょくせつ）代入（だいにゅう）します。中心（ちゅうしん）が原点（げんてん） O(0,0) の場合（ばあい）、方程（ほうてい）式（しき）は \(x^{2} + y^{2} = r^{2}\) となります。

  2. 02
    ステップ2：平方（へいほう）完成（かんせい）により一般（いっぱん）形（けい）を標準（ひょうじゅん）形（けい）に変形（へんけい）する

    Bước 2: Chuyển dạng tổng quát về dạng chuẩn bằng bình phương hoàn chỉnh

    Cho phương trình \(x^{2} + y^{2} + lx + my + n = 0\), nhóm các hạng tử chứa x và y để biến đổi thành \((x + l / 2)^{2} + (y + m / 2)^{2} = (l^{2} + m^{2} - 4 n) / 4\). Từ đó suy ra tâm (-l/2, -m/2).

    方程（ほうてい）式（しき） \(x^{2} + y^{2} + lx + my + n = 0\) に対（たい）して、x と y の項（こう）をそれぞれグループ化（か）し、\((x + l / 2)^{2} + (y + m / 2)^{2} = (l^{2} + m^{2} - 4 n) / 4\) に変形（へんけい）します。これにより中心（ちゅうしん） (-l/2, -m/2) が導（みちび）かれます。

  3. 03
    ステップ3：係数（けいすう）から半径（はんけい）を計算（けいさん）する

    Bước 3: Tính bán kính từ các hệ số

    Sử dụng công thức \(r = \sqrt{l^{2} + m^{2} - 4 n} / 2\) để tính bán kính từ các hệ số l, m, n của dạng tổng quát. Điều kiện để phương trình biểu diễn đường tròn là \(l^{2} + m^{2} - 4 n > 0\).

    一般（いっぱん）形（けい）の係数（けいすう） l, m, n から半径（はんけい）を計算（けいさん）するために公式（こうしき） \(r = \sqrt{l^{2} + m^{2} - 4 n} / 2\) を使用（しよう）します。方程（ほうてい）式（しき）が円（えん）を表（あらわ）す条件（じょうけん）は \(l^{2} + m^{2} - 4 n > 0\) です。

  4. 04
    ステップ4：座標（ざひょう）軸（じく）との接（せっ）する条件（じょうけん）を考察（こうさつ）する

    Bước 4: Xét điều kiện tiếp xúc với các trục tọa độ

    Nếu đường tròn tiếp xúc với trục Ox thì bán kính r = |b|. Nếu tiếp xúc với trục Oy thì r = |a|.

    円（えん）が x 軸（じく）に接（せっ）する場合（ばあい）、半径（はんけい）は r = |b| となります。y 軸（じく）に接（せっ）する場合（ばあい）、半径（はんけい）は r = |a| となります。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Nhầm dấu tọa độ tâm khi chuyển từ phương trình dạng chuẩn \((x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}\) sang điểm (a, b).標準（ひょうじゅん）形（けい） \((x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}\) から中心（ちゅうしん） (a, b) を読み取（よみと）る際（さい）に、符号（ふごう）を誤（あやま）ること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Chú ý dấu trừ trong dạng chuẩn: ví dụ \((x + 3)^{2} + (y - 2)^{2} = r^{2}\) có tâm là (-3, 2).標準（ひょうじゅん）形（けい）のマイナス符号（ふごう）に注意（ちゅうい）してください。例（たと）えば \((x + 3)^{2} + (y - 2)^{2} = r^{2}\) の中心（ちゅうしん）は (-3, 2) です。

Quên vế phải của phương trình dạng chuẩn là \(r^{2}\) chứ không phải r, dẫn đến lấy nhầm bán kính.標準（ひょうじゅん）形（けい）の右辺（うへん）が r ではなく \(r^{2}\) であることを忘（わす）れ、半径（はんけい）の値（あたい）を誤（あやま）ること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Căn bậc hai số ở vế phải để tìm bán kính r: nếu vế phải bằng 25 thì bán kính r = 5.半径（はんけい） r を求（もと）めるには右辺（うへん）の数（かず）の平方（へいほう）根（ね）を取（と）ります。右辺（うへん）が 25 の場合（ばあい）、半径（はんけい）は r = 5 です。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Dạng chuẩn của phương trình đường tròn tâm (a, b) bán kính r là \((x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}\).中心（ちゅうしん） (a, b)、半径（はんけい） r の円（えん）の方程（ほうてい）式（しき）の標準（ひょうじゅん）形（けい）は \((x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}\) です。
  • Phương trình đường tròn tâm gốc O(0,0) bán kính r có dạng đơn giản \(x^{2} + y^{2} = r^{2}\).原点（げんてん） O(0,0) を中心（ちゅうしん）とする半径（はんけい） r の円（えん）の方程（ほうてい）式（しき）は簡単（かんたん）な形（かたち） \(x^{2} + y^{2} = r^{2}\) となります。
  • Dạng tổng quát \(x^{2} + y^{2} + lx + my + n = 0\) có bán kính tính theo công thức \(r = \sqrt{l^{2} + m^{2} - 4 n} / 2\).一般（いっぱん）形（けい） \(x^{2} + y^{2} + lx + my + n = 0\) の半径（はんけい）は公式（こうしき） \(r = \sqrt{l^{2} + m^{2} - 4 n} / 2\) で計算（けいさん）されます。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2

Dạng chuẩn của phương trình đường tròn tâm (a, b) và bán kính r.

中心（ちゅうしん） (a, b)、半径（はんけい） r の円（えん）の方程（ほうてい）式（しき）の標準（ひょうじゅん）形（けい）。

x^2 + y^2 = r^2

Phương trình đường tròn có tâm tại gốc tọa độ O(0, 0) và bán kính r.

原点（げんてん） O(0, 0) を中心（ちゅうしん）とし、半径（はんけい）が r である円（えん）の方程（ほうてい）式（しき）。

x^2 + y^2 + lx + my + n = 0

Dạng tổng quát của phương trình đường tròn.

円（えん）の方程（ほうてい）式（しき）の一般（いっぱん）形（けい）。

r = \frac{\sqrt{l^2 + m^2 - 4n}}{2}

Công thức tính bán kính r của đường tròn từ các hệ số l, m, n trong dạng tổng quát.

一般（いっぱん）形（けい）の係数（けいすう） l, m, n から円（えん）の半径（はんけい） r を計算（けいさん）する公式（こうしき）。

EJU 2026 · MATH.9.2

Bài học này hướng dẫn xác định phương trình đường tròn ở dạng chuẩn và dạng tổng quát trong hệ tọa độ. Bạn sẽ nắm vững cách tìm tâm, bán kính và tính chất của đường tròn tiếp xúc với các trục tọa độ.

本課（ほんか）では、座標（ざひょう）系（けい）における円（えん）の方程（ほうてい）式（しき）の標準（ひょうじゅん）形（けい）および一般（いっぱん）形（けい）の設定（せってい）方法（ほうほう）を解説（かいせつ）します。中心（ちゅうしん）、半径（はんけい）の求（もと）め方（かた）や座標（ざひょう）軸（じく）に接（せっ）する円（えん）の性質（せいしつ）を修得（しゅうとく）できます。

円（えん）の方程（ほうてい）式（しき）
円の方程式中心半径標準形