Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学II・B · Toán II · B

Độ dài dây cung và giao điểm của hai đường tròn弦（げん）の長（なが）さと2円（えん）の交点（こうてん）

Công thức公式

2\sqrt{r^2 - d^2}
x^2 + y^2 + lx + my + n + k(x^2 + y^2 + l'x + m'y + n') = 0
(x_1 - a)(x - a) + (y_1 - b)(y - b) = r^2
x_1 x + y_1 y = r^2

Ví dụ例題

Cho đường tròn \(x^{2} + y^{2} = 25\) và điểm (3, 4) nằm trên đường tròn. Hãy viết phương trình tiếp tuyến tại điểm đó và tính độ dài dây cung do đường thẳng x = 3 cắt đường tròn.

円（えん） \(x^{2} + y^{2} = 25\) 上（うえ）の点（てん） (3, 4) における接線（せっせん）の方程（ほうてい）式（しき）を求（もと）め、また直線（ちょくせん） x = 3 がこの円（えん）によって切り取（きりと）られる弦（げん）の長（なが）さを求（もと）めよ。

  1. Áp dụng công thức \(x_{1}\) \(x + y_{1}\) \(y = r^{2}\) với tiếp điểm (\(x_{1}\), \(y_{1}\)) = (3, 4) và \(r^{2} = 25\), ta được phương trình tiếp tuyến là 3x + 4y = 25.接点（せってん） (\(x_{1}\), \(y_{1}\)) = (3, 4) および \(r^{2} = 25\) に対（たい）して公式（こうしき） \(x_{1}\) \(x + y_{1}\) \(y = r^{2}\) を適用（てきよう）すると、接線（せっせん）の方程（ほうてい）式（しき） 3x + 4y = 25 が得（え）られる。
  2. Đường tròn có tâm (0, 0) và bán kính r = 5. Khoảng cách d từ tâm (0, 0) đến đường thẳng x = 3 là d = 3.円（えん）の中心（ちゅうしん）は (0, 0) で半径（はんけい）は r = 5 である。中心（ちゅうしん） (0, 0) から直線（ちょくせん） x = 3 までの距離（きょり） d は d = 3 である。
  3. Áp dụng công thức độ dài dây cung \(2 \sqrt{r^{2} - d^{2}} = 2 \sqrt{5^{2} - 3^{2}} = 2 \sqrt{25 - 9} = 2 \sqrt{16} = 8\).弦（げん）の長（なが）さの公式（こうしき） \(2 \sqrt{r^{2} - d^{2}}\) を適用（てきよう）すると、\(2 \sqrt{5^{2} - 3^{2}} = 2 \sqrt{25 - 9} = 2 \sqrt{16} = 8\) となる。
Phương trình tiếp tuyến là 3x + 4y = 25 và độ dài dây cung bị cắt là 8.接線（せっせん）の方程（ほうてい）式（しき）は 3x + 4y = 25 であり、切り取（きりと）られる弦（げん）の長（なが）さは 8 である。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn \((x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 10\) tại điểm (4, 3) thuộc đường tròn.円（えん） \((x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 10\) 上（うえ）の点（てん） (4, 3) における接線（せっせん）の方程（ほうてい）式（しき）を求（もと）めよ。

2. Tính độ dài dây cung do đường thẳng y = 4 cắt đường tròn \(x^{2} + y^{2} = 25\).直線（ちょくせん） y = 4 が円（えん） \(x^{2} + y^{2} = 25\) によって切り取（きりと）られる弦（げん）の長（なが）さを求（もと）めよ。

3. Cho hai đường tròn \(x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 = 0\) và \(x^{2} + y^{2} + 4 y - 4 = 0\). Tìm phương trình đường thẳng đi qua hai giao điểm của hai đường tròn.2つの円（えん） \(x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 = 0\) と \(x^{2} + y^{2} + 4 y - 4 = 0\) の2つの交点（こうてん）を通（とお）る直線（ちょくせん）の方程（ほうてい）式（しき）を求（もと）めよ。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.9.2. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 3 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.9.2。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）3区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Tính độ dài dây cung bằng công thức kết hợp bán kính và khoảng cách từ tâm đến đường thẳng.半径（はんけい）と中心（ちゅうしん）から直線（ちょくせん）までの距離（きょり）を用（もち）いて弦（げん）の長（なが）さを計算（けいさん）できる。
  2. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại một tiếp điểm cho trước.円上（えんじょう）の与（あた）えられた接点（せってん）における接線（せっせん）の方程（ほうてい）式（しき）を求（もと）めることができる。
  3. Xác định phương trình đường thẳng hoặc đường tròn đi qua giao điểm của hai đường tròn.2円（えん）の交点（こうてん）を通（とお）る直線（ちょくせん）や円（えん）の方程（ほうてい）式（しき）を決定（けってい）できる。
Trực giác · イメージ

Hình dung độ dài dây cung và giao điểm qua hình học phân tích解析（かいせき）幾何（きか）による弦（げん）の長（なが）さと交点（こうてん）の視覚（しかく）化（か）

Bán kính r, khoảng cách d từ tâm đến đường thẳng và một nửa dây cung tạo thành một tam giác vuông. Ngoài ra, chùm đường tròn cho phép tìm các hình qua giao điểm mà không cần tính trực tiếp tọa độ giao điểm.

半径（はんけい） r、中心（ちゅうしん）から直線（ちょくせん）までの距離（きょり） d、および弦（げん）の半分（はんぶん）の長（なが）さは直角（ちょっかく）三角形（さんかくけい）を形成（けいせい）します。また、円（えん）束（たば）の考（かんが）え方（かた）により、交点（こうてん）の座標（ざひょう）を直接（ちょくせつ）求（もと）めずに交点（こうてん）を通（とお）る図形（ずけい）を特定（とくてい）できます。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 弦（げん）の長（なが）さđộ dài dây cung

    Độ dài dây cung là khoảng cách giữa hai giao điểm của đường thẳng và đường tròn. Giá trị này được tính qua bán kính r và khoảng cách d từ tâm đường tròn đến đường thẳng.

    弦（げん）の長（なが）さとは、直線（ちょくせん）と円（えん）の2つの交点（こうてん）間（かん）の距離（きょり）のことです。この値（あたい）は半径（はんけい） r と円（えん）の中心（ちゅうしん）から直線（ちょくせん）までの距離（きょり） d を用（もち）いて計算（けいさん）されます。

  • 点（てん）と直線（ちょくせん）の距離（きょり）の公式（こうしき）công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

    Công thức này dùng để tính khoảng cách vuông góc d từ tâm đường tròn đến đường thẳng cắt. Khoảng cách d là yếu tố cốt lõi để xác định độ dài dây cung.

    この公式（こうしき）は、円（えん）の中心（ちゅうしん）から切断（せつだん）線（せん）までの垂直（すいちょく）距離（きょり） d を計算（けいさん）するために使用（しよう）されます。距離（きょり） d は弦（げん）の長（なが）さを決定（けってい）する核心（かくしん）的（てき）な要素（ようそ）です。

  • 2円（えん）の交点（こうてん）を通（とお）る直線（ちょくせん）đường thẳng đi qua giao điểm của hai đường tròn

    Đây là đường thẳng đi qua hai điểm chung của hai đường tròn cắt nhau. Phương trình của nó thu được bằng cách triệt tiêu các hệ số bậc hai \(x^{2}\) và \(y^{2}\) giữa hai phương trình đường tròn.

    これは交（まじ）わる2円（えん）の2つの共有（きょうゆう）点（てん）を通（とお）る直線（ちょくせん）のことです。その方程（ほうてい）式（しき）は、2つの円（えん）の方程（ほうてい）式（しき）から2次項（じこう） \(x^{2}\) と \(y^{2}\) を消去（しょうきょ）することで得（え）られます。

  • 2円（えん）の交点（こうてん）を通（とお）る円（えん）đường tròn đi qua giao điểm của hai đường tròn

    Đây là đường tròn thuộc họ các đường tròn đi qua tất cả giao điểm của hai đường tròn ban đầu. Nó được biểu diễn bằng cách kết hợp tuyến tính hai phương trình đường tròn với tham số k khác -1.

    これは元（もと）の2円（えん）のすべての交点（こうてん）を通（とお）る円（えん）のファミリーに属（ぞく）する円（えん）のことです。k ≠ -1 のパラメータを用（もち）いて2つの円（えん）の方程（ほうてい）式（しき）を線形（せんけい）結合（けつごう）することで表（あらわ）されます。

  • 円（えん）の接線（せっせん）tiếp tuyến của đường tròn

    Tiếp tuyến của đường tròn là đường thẳng vuông góc với bán kính tại tiếp điểm. Phương trình tiếp tuyến được lập dễ dàng khi biết tọa độ tiếp điểm và tâm đường tròn.

    円（えん）の接線（せっせん）とは、接点（せってん）において半径（はんけい）に垂直（すいちょく）な直線（ちょくせん）のことです。接点（せってん）の座標（ざひょう）と円（えん）の中心（ちゅうしん）が分（わ）かれば、接線（せっせん）の方程（ほうてい）式（しき）を簡単（かんたん）に立（た）てることができます。

  • 接点（せってん）tiếp điểm

    Tiếp điểm là điểm duy nhất mà tiếp tuyến chạm vào đường tròn. Tọa độ của tiếp điểm được dùng trực tiếp trong công thức tính phương trình tiếp tuyến.

    接点（せってん）とは、接線（せっせん）が円（えん）に触（ふ）れる唯一（ゆいいつ）の点（てん）のことです。接点（せってん）の座標（ざひょう）は接線（せっせん）の方程（ほうてい）式（しき）を求（もと）める公式（こうしき）において直接（ちょくせつ）使用（しよう）されます。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1: 円（えん）の中心（ちゅうしん）から直線（ちょくせん）までの距離（きょり）dを求（もと）める

    Bước 1: Tính khoảng cách d từ tâm đường tròn đến đường thẳng

    Áp dụng công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng để tìm khoảng cách d từ tâm đường tròn (a, b) đến đường thẳng. Khoảng cách này vuông góc với dây cung tại trung điểm của nó.

    点（てん）と直線（ちょくせん）の距離（きょり）の公式（こうしき）を適用（てきよう）して、円（えん）の中心（ちゅうしん） (a, b) から直線（ちょくせん）までの距離（きょり） d を求（もと）めます。この距離（きょり）は弦（げん）の中点（ちゅうてん）で垂直（すいちょく）に交（まじ）わります。

  2. 02
    ステップ2: 弦（げん）の長（なが）さの公式（こうしき）を適用（てきよう）する

    Bước 2: Áp dụng công thức tính độ dài dây cung

    Sử dụng công thức \(2 \sqrt{r^{2} - d^{2}}\) với r là bán kính đường tròn và d là khoảng cách vừa tính. Công thức suy ra trực tiếp từ định lý Pitago trong tam giác vuông tạo bởi bán kính và nửa dây cung.

    円（えん）の半径（はんけい） r と求（もと）めた距離（きょり） d を用（もち）いて、公式（こうしき） \(2 \sqrt{r^{2} - d^{2}}\) を適用（てきよう）します。この公式（こうしき）は半径（はんけい）と弦（げん）の半分（はんぶん）が作（つく）る直角（ちょっかく）三角形（さんかくけい）のピタゴラスの定理（ていり）から直接（ちょくせつ）導（みちび）かれます。

  3. 03
    ステップ3: 2円（えん）の交点（こうてん）を通（とお）る図形（ずけい）の方程（ほうてい）式（しき）を立（た）てる

    Bước 3: Thiết lập phương trình họ đường qua giao điểm của hai đường tròn

    Viết \(x^2+y^2+lx+my+n+k(x^2+y^2+l' x+m' y+n')=0\). Với hai đường tròn phân biệt cắt nhau, k=−1 khử các hạng bậc hai và cho trục đẳng phương đi qua giao điểm. Khi k≠−1, chia cho 1+k để đưa về dạng phương trình đường tròn; kiểm tra bán kính khi xét trường hợp suy biến.

    \(x^2+y^2+lx+my+n+k(x^2+y^2+l' x+m' y+n')=0\)を立（た）てる。異（こと）なる二（に）円（えん）が交（まじ）わる場合（ばあい）、k=−1では2次項（じこう）が消（き）え、交点（こうてん）を通（とお）る根（ね）軸（じく）となる。k≠−1では1+kで割（わ）って円（えん）の方程（ほうてい）式（しき）に直（なお）し、退化（たいか）する場合（ばあい）は半径（はんけい）を確認（かくにん）する。

  4. 04
    ステップ4: 円（えん）の接線（せっせん）の方程（ほうてい）式（しき）を求（もと）める

    Bước 4: Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn

    Khi tiếp điểm là (\(x_{1}\), \(y_{1}\)), dùng công thức \(x_{1}\) \(x + y_{1}\) \(y = r^{2}\) đối với đường tròn tâm tại gốc tọa độ. Nếu đường tròn có tâm (a, b), dùng công thức \((x_{1} - a) (x - a) + (y_{1} - b) (y - b) = r^{2}\).

    接点（せってん）が (\(x_{1}\), \(y_{1}\)) のとき、原点（げんてん）中心（ちゅうしん）の円（えん）には公式（こうしき） \(x_{1}\) \(x + y_{1}\) \(y = r^{2}\) を使用（しよう）します。中心（ちゅうしん）が (a, b) の円（えん）には公式（こうしき） \((x_{1} - a) (x - a) + (y_{1} - b) (y - b) = r^{2}\) を使用（しよう）します。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Áp dụng công thức tiếp tuyến \(x_{1}\) \(x + y_{1}\) \(y = r^{2}\) cho một điểm nằm ngoài đường tròn.円（えん）の外部（がいぶ）にある点（てん）に対（たい）して接線（せっせん）の公式（こうしき） \(x_{1}\) \(x + y_{1}\) \(y = r^{2}\) をそのまま適用（てきよう）してしまうこと。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Công thức này chỉ đúng khi (\(x_{1}\), \(y_{1}\)) là tiếp điểm nằm trên đường tròn. Nếu điểm nằm ngoài, cần gọi tiếp điểm giả định hoặc dùng khoảng cách từ tâm bằng bán kính.この公式（こうしき）は (\(x_{1}\), \(y_{1}\)) が円上（えんじょう）の接点（せってん）である場合（ばあい）にのみ有効（ゆうこう）です。外部（がいぶ）の点（てん）の場合（ばあい）は、接点（せってん）を仮定（かてい）するか中心（ちゅうしん）からの距離（きょり）条件（じょうけん）を用（もち）いる必要（ひつよう）があります。

Nhầm lẫn giữa việc tìm đường thẳng đi qua hai giao điểm và đường tròn đi qua hai giao điểm khi dùng công thức chùm.円（えん）束（たば）の公式（こうしき）を使（つか）う際（さい）に、2円（えん）の交点（こうてん）を通（とお）る直線（ちょくせん）と交点（こうてん）を通（とお）る円（えん）の条件（じょうけん）を混同（こんどう）すること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Để thu được phương trình đường thẳng, bắt buộc phải đặt k = -1 để triệt tiêu các bậc hai \(x^{2}\) và \(y^{2}\). Nếu k khác -1 ta nhận được phương trình đường tròn.直線（ちょくせん）の方程（ほうてい）式（しき）を得（う）るには、2次項（じこう） \(x^{2}\) と \(y^{2}\) を消去（しょうきょ）するために k = -1 と設定（せってい）する必要（ひつよう）があります。k ≠ -1 の場合（ばあい）は円（えん）の方程（ほうてい）式（しき）となります。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Độ dài dây cung cắt bởi đường thẳng được tính nhanh qua công thức \(2 \sqrt{r^{2} - d^{2}}\) với d là khoảng cách từ tâm đến đường thẳng.直線（ちょくせん）によって切り取（きりと）られる弦（げん）の長（なが）さは、中心（ちゅうしん）からの距離（きょり） d を用（もち）いて \(2 \sqrt{r^{2} - d^{2}}\) で計算（けいさん）できる。
  • Chọn k = -1 trong công thức chùm đường tròn giúp triệt tiêu bậc hai để thu được phương trình đường thẳng đi qua giao điểm của hai đường tròn.円（えん）束（たば）の公式（こうしき）で k = -1 と設定（せってい）することで2次項（じこう）が消去（しょうきょ）され、2円（えん）の交点（こうてん）を通（とお）る直線（ちょくせん）の方程（ほうてい）式（しき）が得（え）られる。
  • Phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm (\(x_{1}\), \(y_{1}\)) của đường tròn tâm (a, b) được tính bằng công thức \((x_{1} - a) (x - a) + (y_{1} - b) (y - b) = r^{2}\).中心（ちゅうしん） (a, b) の円上（えんじょう）の接点（せってん） (\(x_{1}\), \(y_{1}\)) における接線（せっせん）の方程（ほうてい）式（しき）は \((x_{1} - a) (x - a) + (y_{1} - b) (y - b) = r^{2}\) で表（あらわ）される。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

2\sqrt{r^2 - d^2}

Công thức tính độ dài dây cung bị cắt bởi đường thẳng, trong đó r là bán kính đường tròn và d là khoảng cách từ tâm đến đường thẳng.

直線（ちょくせん）によって切り取（きりと）られる弦（げん）の長（なが）さを求（もと）める公式（こうしき）であり、r は円（えん）の半径（はんけい）、d は中心（ちゅうしん）から直線（ちょくせん）までの距離（きょり）を表（あらわ）します。

x^2 + y^2 + lx + my + n + k(x^2 + y^2 + l'x + m'y + n') = 0

Phương trình họ hình đi qua hai giao điểm của hai đường tròn. Khi k = -1 phương trình cho đường thẳng đi qua giao điểm, khi k khác -1 cho đường tròn đi qua giao điểm.

2円（えん）の2つの交点（こうてん）を通（とお）る図形（ずけい）のファミリーを表（あらわ）す方程（ほうてい）式（しき）です。k = -1 のときは交点（こうてん）を通（とお）る直線（ちょくせん）、k ≠ -1 のときは交点（こうてん）を通（とお）る円（えん）を表（あらわ）します。

(x_1 - a)(x - a) + (y_1 - b)(y - b) = r^2

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tâm (a, b) bán kính r tại tiếp điểm (\(x_{1}\), \(y_{1}\)) thuộc đường tròn.

中心（ちゅうしん） (a, b)、半径（はんけい） r の円上（えんじょう）の接点（せってん） (\(x_{1}\), \(y_{1}\)) における接線（せっせん）の方程（ほうてい）式（しき）です。

x_1 x + y_1 y = r^2

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tâm gốc tọa độ (0, 0) bán kính r tại tiếp điểm (\(x_{1}\), \(y_{1}\)) thuộc đường tròn.

原点（げんてん） (0, 0) を中心（ちゅうしん）とする半径（はんけい） r の円上（えんじょう）の接点（せってん） (\(x_{1}\), \(y_{1}\)) における接線（せっせん）の方程（ほうてい）式（しき）です。

EJU 2026 · MATH.9.2

Bài học này cung cấp công thức tính độ dài dây cung, phương trình tiếp tuyến của đường tròn và phương trình hình đi qua giao điểm của hai đường tròn. Bạn sẽ áp dụng các công thức hình học đại số này để giải quyết các bài toán giao điểm hiệu quả.

本課（ほんか）では、弦（げん）の長（なが）さの計算（けいさん）、円（えん）の接線（せっせん）の方程（ほうてい）式（しき）、および2円（えん）の交点（こうてん）を通（とお）る図形（ずけい）の方程（ほうてい）式（しき）について学（まな）びます。これらの公式（こうしき）を活用（かつよう）して、交点（こうてん）に関（かん）する幾何（きか）問題（もんだい）を効率（こうりつ）的（てき）に解決（かいけつ）できるようになります。

弦（げん）の長（なが）さと2円（えん）の交点（こうてん）
弦の長さ点と直線の距離の公式2円の交点を通る直線2円の交点を通る円