Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学II・B · Toán II · B

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarzコーシー・シュヴァルツの不（ふ）等式（とうしき）

Công thức公式

(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2) \ge (ax+by+cz)^2
(ay-bx)^2 + (bz-cy)^2 + (cx-az)^2 \ge 0
ay-bx=0,\quad bz-cy=0,\quad cx-az=0
|\vec{p}|^2 |\vec{q}|^2 \ge |\vec{p} \cdot \vec{q}|^2

Ví dụ例題

Chứng minh \((2^{2} + 1^{2} + 2^{2}) (x^{2} + y^{2} + z^{2}) \ge (2 x + y + 2 z)^{2}\) và tìm điều kiện dấu bằng.

\((2^{2} + 1^{2} + 2^{2}) (x^{2} + y^{2} + z^{2}) \ge (2 x + y + 2 z)^{2}\) を証明（しょうめい）し等号（とうごう）成立（せいりつ）条件（じょうけん）を求（もと）めよ。

  1. Đặt a=2, b=1, c=2. Áp dụng công thức Cauchy-Schwarz 3 biến ta có \((2^{2} + 1^{2} + 2^{2}) (x^{2} + y^{2} + z^{2}) \ge (2 x + y + 2 z)^{2}\).a=2, b=1, c=2 とおきます。3変数（へんすう）コーシー・シュヴァルツ公式（こうしき）を適用（てきよう）すると \((2^{2} + 1^{2} + 2^{2}) (x^{2} + y^{2} + z^{2}) \ge (2 x + y + 2 z)^{2}\) となります。
  2. Thu gọn vế trái: \((4 + 1 + 4) (x^{2} + y^{2} + z^{2}) = 9 (x^{2} + y^{2} + z^{2}) \ge (2 x + y + 2 z)^{2}\).左辺（さへん）を整理（せいり）すると \((4 + 1 + 4) (x^{2} + y^{2} + z^{2}) = 9 (x^{2} + y^{2} + z^{2}) \ge (2 x + y + 2 z)^{2}\) となります。
  3. Dấu bằng xảy ra khi x/a = y/b = z/c <=> x/2 = y/1 = z/2.等号（とうごう）は x/a = y/b = z/c すなわち x/2 = y/1 = z/2 のとき成立（せいりつ）します。
Bất đẳng thức được chứng minh với dấu bằng khi x/2 = y = z/2.不（ふ）等式（とうしき）は証明（しょうめい）され、等号（とうごう）は x/2 = y = z/2 のとき成立（せいりつ）します。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Cho a=1, b=2, c=3 và x=2, y=4, z=6. Khẳng định nào đúng về quan hệ hai vế của Cauchy-Schwarz?a=1, b=2, c=3 かつ x=2, y=4, z=6 のとき、コーシー・シュヴァルツの両辺（りょうへん）の関係（かんけい）として正（ただ）しいものはどれか。

2. Biểu thức (2 \(\times\) 3 - 1 \(\times\) 4)^2 tương ứng với hạng tử nào trong tổng phân tích hiệu Cauchy-Schwarz 2 biến (ay-bx)^2?式（しき） (2 \(\times\) 3 - 1 \(\times\) 4)^2 は、2変数（へんすう）コーシー・シュヴァルツの差（さ）の分解（ぶんかい） (ay-bx)^2 のどの項（こう）に対応（たいおう）するか。

3. Cho vectơ p có độ dài |p| = 3 và vectơ q có độ dài |q| = 4. Giá trị lớn nhất của |p . q|^2 là bao nhiêu?ベクトルpの大（おお）きさ |p| = 3, ベクトルqの大（おお）きさ |q| = 4 のとき、|p . q|^2 の最大（さいだい）値（ち）はいくらか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.8.1. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 2 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.8.1。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）2区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Nắm vững chứng minh bất đẳng thức bằng biến đổi \((ay - bx)^{2} + (bz - cy)^{2} + (cx - az)^{2} \ge 0\).変形（へんけい） \((ay - bx)^{2} + (bz - cy)^{2} + (cx - az)^{2} \ge 0\) による証明（しょうめい）を理解（りかい）する。
  2. Biết cách xác định điều kiện dấu bằng x/a = y/b = z/c và mối liên hệ với tích vô hướng vectơ.条件（じょうけん） x/a = y/b = z/c による等号（とうごう）成立（せいりつ）条件（じょうけん）とベクトル内積（ないせき）との関係（かんけい）を習得（しゅうとく）する。
Trực giác · イメージ

Tính không âm của tổng các bình phương và góc giữa hai vectơ平方（へいほう）和（わ）の非（ひ）負（ふ）性（せい）と2ベクトルのなす角（かく）

Tổng của các bình phương luôn không âm, do đó khi biến đổi hiệu hai vế về dạng tổng bình phương ta chứng minh được bất đẳng thức. Về mặt hình học, điều này tương đương với việc cosin của góc giữa hai vectơ luôn có giá trị tuyệt đối không vượt quá 1.

平方（へいほう）和（わ）は常（つね）に非（ひ）負（ふ）であるため、両辺（りょうへん）の差（さ）を平方（へいほう）和（わ）の形（かたち）に変形（へんけい）することで不等（ふとう）式（しき）を証明（しょうめい）できます。図形（ずけい）的（てき）には、2つのベクトルのなす角（かく）の余弦（よげん）の絶対（ぜったい）値（ち）が常（つね）に1以下（いか）であることと同等（どうとう）です。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • コーシー・シュヴァルツの不（ふ）等式（とうしき）bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

    Bất đẳng thức liên hệ tổng các bình phương và bình phương tích hỗn hợp.

    平方（へいほう）和（わ）の積（せき）と混成（こんせい）積（せき）の平方（へいほう）を結（むす）びつける不等（ふとう）式（しき）です。

  • 等号（とうごう）成立（せいりつ）条件（じょうけん）điều kiện xảy ra dấu bằng

    Điều kiện về các biến để hai vế của bất đẳng thức bằng nhau.

    不（ふ）等式（とうしき）の両辺（りょうへん）が等（ひと）しくなるための変数（へんすう）の条件（じょうけん）です。

  • ベクトルの内積（ないせき）tích vô hướng của vectơ

    Tích giữa độ dài hai vectơ và cosin của góc giữa chúng.

    2つのベクトルの大（おお）きさとそのなす角（かく）の余弦（よげん）の積（せき）です。

  • 多（た）変数（へんすう）のコーシー・シュワルツの不（ふ）等式（とうしき）Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz nhiều biến

    Dạng tổng quát của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz áp dụng cho n biến số.

    n個（こ）の変数（へんすう）に適用（てきよう）されるコーシー・シュワルツの不（ふ）等式（とうしき）の一般（いっぱん）形（けい）です。

  • n次元（じげん）ベクトルVéc-tơ n chiều

    Vectơ được xác định bởi n tọa độ trong không gian n chiều.

    n次元（じげん）空間（くうかん）においてn個（こ）の座標（ざひょう）で特定（とくてい）されるベクトルです。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1: 両辺（りょうへん）の差（さ）の展開（てんかい）

    Bước 1: Khai triển hiệu hai vế

    Biến đổi \((a^{2} + b^{2} + c^{2}) (x^{2} + y^{2} + z^{2}) - (ax + by + cz)^{2}\) thành tổng \((ay - bx)^{2} + (bz - cy)^{2} + (cx - az)^{2}\).

    \((a^{2} + b^{2} + c^{2}) (x^{2} + y^{2} + z^{2}) - (ax + by + cz)^{2}\) を \((ay - bx)^{2} + (bz - cy)^{2} + (cx - az)^{2}\) の和（わ）に変形（へんけい）します。

  2. 02
    ステップ2: 非（ひ）負（ふ）性（せい）の評価（ひょうか）

    Bước 2: Đánh giá tính không âm

    Vì bình phương của mọi số thực đều >= 0 nên tổng 3 bình phương luôn >= 0, suy ra bất đẳng thức cần chứng minh.

    すべての実数（じっすう）の平方（へいほう）は >= 0 であるため、3つの平方（へいほう）の和（わ）は常（つね）に >= 0 となり目的（もくてき）の不（ふ）等式（とうしき）が導（みちび）かれます。

  3. 03
    ステップ3: 等号（とうごう）成立（せいりつ）条件（じょうけん）の決定（けってい）

    Bước 3: Xác định điều kiện dấu bằng

    Tổng ba bình phương bằng 0 khi và chỉ khi từng bình phương bằng 0: \(ay-bx=bz-cy=cx-az=0\). Điều kiện này không cần chia cho tọa độ nào.

    三（みっ）つの平方（へいほう）の和（わ）が0になるのは、各（かく）平方（へいほう）が0のときに限（かぎ）る。すなわち\(ay-bx=bz-cy=cx-az=0\)。この条件（じょうけん）では座標（ざひょう）で割（わ）る必要（ひつよう）がない。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Cho rằng dấu bằng xảy ra khi x=a, y=b, z=c thay vì tỉ lệ x/a = y/b = z/c.等号（とうごう）が x/a = y/b = z/c の比例（ひれい）ではなく x=a, y=b, z=c のときにのみ成立（せいりつ）すると勘違（かんちが）いすること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Dấu bằng xảy ra khi hai bộ số tỉ lệ với nhau x/a = y/b = z/c, không bắt buộc từng cặp số phải bằng nhau.等号（とうごう）は2つの数（かず）の組（くみ）が比例（ひれい）関係（かんけい） x/a = y/b = z/c にあるときに成立（せいりつ）し、各（かく）ペアが等（ひと）しい必要（ひつよう）はありません。

Bỏ qua điều kiện các mẫu số a, b, c phải khác 0 khi viết điều kiện dấu bằng x/a = y/b = z/c.等号（とうごう）成立（せいりつ）条件（じょうけん） x/a = y/b = z/c を書（か）く際（さい）、分母（ぶんぼ）a, b, cが0でない条件（じょうけん）を見落（みお）とすこと。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Khi a, b hoặc c bằng 0, ta chuyển điều kiện dấu bằng về dạng tích ay = bx, bz = cy, cx = az.a, b, cのいずれかが0のときは、等号（とうごう）条件（じょうけん）を積（せき）の形（かたち） ay = bx, bz = cy, cx = az に書き換（かきか）えます。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Hiệu hai vế của Cauchy-Schwarz 3 biến biến đổi được thành tổng 3 bình phương.3変数（へんすう）コーシー・シュヴァルツの両辺（りょうへん）の差（さ）は3つの平方（へいほう）和（わ）に変形（へんけい）されます。
  • Dấu bằng: \(ay-bx=bz-cy=cx-az=0\). Dạng tỉ số chỉ dùng khi các mẫu số khác 0.等号（とうごう）条件（じょうけん）は\(ay-bx=bz-cy=cx-az=0\)。比（ひ）の形（かたち）を使（つか）うときは各（かく）分母（ぶんぼ）が0でないことを確認（かくにん）する。
  • Dạng vectơ liên hệ tích độ dài với bình phương tích vô hướng |p|^2|q|^2 >= |p.q|^2.ベクトル形（けい）は大（おお）きさと内積（ないせき）の平方（へいほう）を結（むす）びつけます |p|^2|q|^2 >= |p.q|^2。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2) \ge (ax+by+cz)^2

Với a, b, c, x, y, z là các số thực, tích hai tổng bình phương không nhỏ hơn bình phương của tổng ax+by+cz (tích vô hướng của hai vectơ).

a, b, c, x, y, zを実数（じっすう）とする。二（ふた）つの平方（へいほう）和（わ）の積（せき）は、和（わ）ax+by+cz（両（りょう）ベクトルの内積（ないせき））の平方（へいほう）以上（いじょう）である。

(ay-bx)^2 + (bz-cy)^2 + (cx-az)^2 \ge 0

Dạng hằng đẳng thức biểu diễn hiệu hai vế của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 3 biến dưới dạng tổng bình phương.

3変数（へんすう）コーシー・シュヴァルツの両辺（りょうへん）の差（さ）を平方（へいほう）和（わ）として表（あらわ）す恒等（こうとう）式（しき）表現（ひょうげん）です。

ay-bx=0,\quad bz-cy=0,\quad cx-az=0

Điều kiện dấu bằng đúng cả khi có tọa độ bằng 0. Hai vectơ phụ thuộc tuyến tính, kể cả khi một vectơ bằng 0. Chỉ viết x/a=y/b=z/c khi a, b, c đều khác 0.

座標（ざひょう）に0を含（ふく）む場合（ばあい）にも成り立（なりた）つ等号（とうごう）条件（じょうけん）。両（りょう）ベクトルが線形（せんけい）従属（じゅうぞく）であり、一方（いっぽう）が零（れい）ベクトルの場合（ばあい）も含（ふく）む。x/a=y/b=z/cと書（か）けるのはa, b, cがすべて0でない場合（ばあい）に限（かぎ）る。

|\vec{p}|^2 |\vec{q}|^2 \ge |\vec{p} \cdot \vec{q}|^2

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz biểu diễn qua độ dài và tích vô hướng của hai vectơ p và q.

ベクトルpとqの大（おお）きさおよび内積（ないせき）を用（もち）いて表（あらわ）したコーシー・シュヴァルツの不（ふ）等式（とうしき）です。

EJU 2026 · MATH.8.1

Bài học đi sâu vào bất đẳng thức Cauchy-Schwarz nhiều biến, cách chứng minh thông qua tổng các bình phương và điều kiện xảy ra dấu bằng dưới dạng tỉ lệ hoặc tích vô hướng.

この課（か）では多（た）変数（へんすう）コーシー・シュヴァルツの不（ふ）等式（とうしき）、平方（へいほう）和（わ）による証明（しょうめい）、比例（ひれい）形（けい）またはベクトル内積（ないせき）による等号（とうごう）成立（せいりつ）条件（じょうけん）を深（ふか）掘（ほ）りします。

コーシー・シュヴァルツの不（ふ）等式（とうしき）
コーシー・シュヴァルツの不等式等号成立条件ベクトルの内積多変数のコーシー・シュワルツの不等式