Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学II・B · Toán II · B

Đẳng thức do hệ số nhị thức thỏa mãn二項係数（にこうけいすう）の満（み）たす等式（とうしき）

Công thức公式

{}_n\text{C}_1 + 2{}_n\text{C}_2 + 3{}_n\text{C}_3 + \dots + n{}_n\text{C}_n = n \cdot 2^{n-1}
k {}_n\text{C}_k = n {}_{n-1}\text{C}_{k-1}
(1+x)^n = {}_n\text{C}_0 + {}_n\text{C}_1 x + {}_n\text{C}_2 x^2 + \dots + {}_n\text{C}_n x^n
\frac{1}{2}(x_1+x_2) \ge \sqrt{x_1 x_2}

Ví dụ例題

Tính giá trị của tổng S = 1(3C1) + 2(3C2) + 3(3C3) với n = 3 và kiểm tra bất đẳng thức AM-GM cho x1=4, x2=9.

n = 3 における和（わ） S = 1(3C1) + 2(3C2) + 3(3C3) を計算（けいさん）し、x1=4, x2=9 についてAM-GM不（ふ）等式（とうしき）を検証（けんしょう）せよ。

  1. Áp dụng công thức tổng trọng số nhị thức với n = 3 ta có S = 3 \(\times\) 2^(3-1) = 12.n = 3 として二（に）項（こう）重（おも）み付（つ）き和（わ）の公式（こうしき）を適用（てきよう）すると S = 3 \(\times\) 2^(3-1) = 12 となります。
  2. Tính trung bình cộng của 4 và 9 thu được (4 + 9)/2 = 6.5, còn trung bình nhân là \(\sqrt{36} = 6\).4と9の相加（そうか）平均（へいきん）を計算（けいさん）すると 6.5 であり、相乗（そうじょう）平均（へいきん）は 6 です。
  3. So sánh 6.5 >= 6 thỏa mãn bất đẳng thức AM-GM (x1+x2)/2 >= sqrt(x1 x2).6.5 >= 6 となり AM-GM 不（ふ）等式（とうしき）を満足（まんぞく）します。
Tổng nhị thức bằng 12 và bất đẳng thức AM-GM thỏa mãn 6.5 >= 6.二（に）項（こう）和（わ）は 12 となり、AM-GM不（ふ）等式（とうしき） 6.5 >= 6 が確認（かくにん）されました。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Tính tổng S = 1(4C1) + 2(4C2) + 3(4C3) + 4(4C4) với n = 4.n = 4 のとき、和（わ） S = 1(4C1) + 2(4C2) + 3(4C3) + 4(4C4) の値（あたい）を求（もと）めよ。

2. Tính giá trị của 3(5C3) bằng công thức k nCk = n {}_{n-1}C_{k-1}.公式（こうしき） k nCk = n {}_{n-1}C_{k-1} を用（もち）いて 3(5C3) の値（あたい）を求（もと）めよ。

3. Cho x1 = 2 và x2 = 8. Tính trung bình nhân sqrt(x1 x2).x1 = 2 かつ x2 = 8 のとき、相乗（そうじょう）平均（へいきん） sqrt(x1 x2) の値（あたい）を求（もと）めよ。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.8.1. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 2 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.8.1。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）2区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Hiểu cách khai triển (1+x)^n và áp dụng công thức k nCk = n {}_{n-1}C_{k-1}.(1+x)^n の展開（てんかい）を理解（りかい）し 公式（こうしき） k nCk = n {}_{n-1}C_{k-1} を応用（おうよう）する。
  2. Nắm vững tính tổng k nCk = n \(2^{n - 1}\) và bất đẳng thức trung bình cộng - trung bình nhân (x1+x2)/2 >= sqrt(x1 x2).和（わ）の公式（こうしき） k nCk = n \(2^{n - 1}\) および 相加（そうか）・相乗（そうじょう）平均（へいきん）不（ふ）等式（とうしき） (x1+x2)/2 >= sqrt(x1 x2) を習得（しゅうとく）する。
Trực giác · イメージ

Mối liên hệ giữa khai triển nhị thức và đánh giá trung bình二（に）項（こう）展開（てんかい）と平均（へいきん）の評価（ひょうか）の関係（かんけい）

Khai triển nhị thức cho phép biến đổi tổng các hệ số bằng cách chọn giá trị thích hợp cho biến x hoặc lấy đạo hàm. Bất đẳng thức AM-GM cho 2 số chỉ ra rằng trung bình cộng luôn không nhỏ hơn trung bình nhân.

二（に）項（こう）展開（てんかい）は変数（へんすう）xに適切（てきせつ）な値（あたい）を代入（だいにゅう）するか微分（びぶん）することで係数（けいすう）の和（わ）を変形（へんけい）できます。2変数（へんすう）の相加（そうか）・相乗（そうじょう）平均（へいきん）不（ふ）等式（とうしき）は、相加（そうか）平均（へいきん）が常（つね）に相乗（そうじょう）平均（へいきん）以上（いじょう）であることを示（しめ）します。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 二項係数（にこうけいすう）Hệ số nhị thức

    Các hệ số nCk xuất hiện trong khai triển của nhị thức \((a + b)^{n}\).

    二（に）項（こう）式（しき） \((a + b)^{n}\) の展開（てんかい）に現（あらわ）れる係数（けいすう） nCk です。

  • 二項定理（にこうていり）Định lý nhị thức

    Định lý khai triển lũy thừa bậc n của một nhị thức thành tổng các hạng tử.

    二（に）項（こう）式（しき）のn乗（のり）を展開（てんかい）して各項（かくこう）の和（わ）として表（あらわ）す定理（ていり）です。

  • 二（に）項（こう）分布（ぶんぷ）Phân bố nhị thức

    Phân bố xác suất của số lần thành công trong n phép thử độc lập.

    n回（かい）の独立（どくりつ）試行（しこう）における成功（せいこう）回数（かいすう）の確率（かくりつ）分布（ぶんぷ）です。

  • 相加（そうか）平均（へいきん）Trung bình cộng

    Trung bình cộng của hai số (x1+x2)/2.

    2数（すう）の算術（さんじゅつ）平均（へいきん） (x1+x2)/2 です。

  • 相乗（そうじょう）平均（へいきん）Trung bình nhân

    Trung bình nhân của hai số không âm sqrt(x1 x2).

    2つの非（ひ）負（ふ）の数（かず）の幾何（きか）平均（へいきん） sqrt(x1 x2) です。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1: 二項定理（にこうていり） \((1 + x)^{n}\) の展開（てんかい）

    Bước 1: Khai triển định lý nhị thức \((1 + x)^{n}\)

    Khai triển \((1 + x)^{n}\) thành tổng các nCk \(x^{k}\) từ k=0 đến n. Thay x = 1 ta thu được tổng các hệ số bằng \(2^{n}\).

    \((1 + x)^{n} = nC 0 + nC 1\) x + nC2 \(x^{2}\) + ... + nCn \(x^{n}\) と表（あらわ）します。x = 1 を代入（だいにゅう）すると全（ぜん）係数（けいすう）の和（わ） \(2^{n}\) が得（え）られます。

  2. 02
    ステップ2: 公式（こうしき） k nCk による簡素（かんそ）化（か）

    Bước 2: Sử dụng công thức thu gọn k nCk

    Áp dụng công thức k nCk = n {}_{n-1}C_{k-1} để rút gọn tổng. Kết quả tính được tổng bằng n 2^(n-1).

    公式（こうしき） k nCk = n {}_{n-1}C_{k-1} を適用（てきよう）して和（わ）を変形（へんけい）します。結果（けっか）として n 2^(n-1) が得（え）られます。

  3. 03
    ステップ3: 2変数（へんすう）AM-GM不（ふ）等式（とうしき）の適用（てきよう）

    Bước 3: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM 2 số

    Với hai số không âm x1 và x2, ta có (x1+x2)/2 >= sqrt(x1 x2). Dấu bằng xảy ra khi x1 = x2.

    2つの非（ひ）負（ふ）の数（かず） x1, x2 について、(x1+x2)/2 >= sqrt(x1 x2) が成り立（なりた）ちます。等号（とうごう）は x1 = x2 のとき成立（せいりつ）します。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Áp dụng công thức k nCk = n {}_{n-1}C_{k-1} nhưng quên giảm cả n và k đi 1 ở vế phải.公式（こうしき） k nCk = n {}_{n-1}C_{k-1} を適用（てきよう）する際（さい）、右辺（うへん）でnとkの両方（りょうほう）を1減（へ）らすのを忘（わす）れること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Vế phải phải giảm cả chỉ số trên thành n-1 và chỉ số dưới thành k-1: n {}_{n-1}\(\text{C}_{k-1}\).右辺（うへん）は上（うえ）の指数（しすう）をn-1に、下（した）の指数（しすう）をk-1に両方（りょうほう）減（へ）らさなければなりません：n {}_{n-1}\(\text{C}_{k-1}\)。

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM (x1+x2)/2 >= sqrt(x1 x2) cho các số x1, x2 là số âm.相加（そうか）・相乗（そうじょう）平均（へいきん）不（ふ）等式（とうしき） (x1+x2)/2 >= sqrt(x1 x2) を負（ふ）の数（かず） x1, x2 に適用（てきよう）すること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Điều kiện tiên quyết của bất đẳng thức AM-GM là x1 và x2 phải là các số không âm (x1 >= 0, x2 >= 0).AM-GM不（ふ）等式（とうしき）の前提（ぜんてい）条件（じょうけん）は x1 と x2 が非（ひ）負（ふ）の数（かず） (x1 >= 0, x2 >= 0) であることです。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Khai triển nhị thức \((1 + x)^{n}\) là cơ sở chứng minh các hằng đẳng thức nhị thức.二（に）項（こう）展開（てんかい） \((1 + x)^{n}\) は二（に）項（こう）恒等（こうとう）式（しき）を証明（しょうめい）する基礎（きそ）です。
  • Công thức thu gọn k nCk = n {}_{n-1}C_{k-1} giúp tính tổng có trọng số k nCk = n 2^(n-1).簡素（かんそ）化（か）公式（こうしき） k nCk = n {}_{n-1}C_{k-1} は重（おも）み付（つ）き和（わ） k nCk = n 2^(n-1) の計算（けいさん）に役立（やくだ）ちます。
  • Bất đẳng thức AM-GM cho 2 số không âm khẳng định (x1+x2)/2 >= sqrt(x1 x2).2つの非（ひ）負数（ふすう）に対（たい）するAM-GM不（ふ）等式（とうしき）は (x1+x2)/2 >= sqrt(x1 x2) を主張（しゅちょう）します。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

{}_n\text{C}_1 + 2{}_n\text{C}_2 + 3{}_n\text{C}_3 + \dots + n{}_n\text{C}_n = n \cdot 2^{n-1}

Công thức tính tổng có trọng số k của các hệ số nhị thức nCk bằng n nhân \(2^{n - 1}\).

二項係数（にこうけいすう） nCk の重（おも）み k 付（つ）き和（わ）を n \(2^{n - 1}\) と計算（けいさん）する公式（こうしき）です。

k {}_n\text{C}_k = n {}_{n-1}\text{C}_{k-1}

Đẳng thức liên hệ giữa hệ số nhị thức cấp n và cấp n-1 khi nhân với chỉ số k.

指数（しすう）kを掛（か）けたとき階数（かいすう）nとn-1の二項係数（にこうけいすう）を結（むす）びつける等式（とうしき）です。

(1+x)^n = {}_n\text{C}_0 + {}_n\text{C}_1 x + {}_n\text{C}_2 x^2 + \dots + {}_n\text{C}_n x^n

Định lý nhị thức khai triển biểu thức \((1 + x)^{n}\) theo các lũy thừa của x với hệ số nhị thức nCk.

二項係数（にこうけいすう） nCk を用（もち）いて \((1 + x)^{n}\) をxのべき乗（じょう）で展開（てんかい）する二項定理（にこうていり）です。

\frac{1}{2}(x_1+x_2) \ge \sqrt{x_1 x_2}

Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân cho 2 số thực không âm x1 và x2.

2つの非（ひ）負（ふ）実数（じっすう） x1, x2 に対（たい）する相加（そうか）平均（へいきん）と相乗（そうじょう）平均（へいきん）の大小（だいしょう）関係（かんけい）を表（あらわ）す不（ふ）等式（とうしき）です。

EJU 2026 · MATH.8.1

Bài học hướng dẫn khai triển định lý nhị thức và chứng minh các hằng đẳng thức liên quan đến hệ số nhị thức, cùng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân cho 2 số.

この課（か）では二項定理（にこうていり）の展開（てんかい）、二項係数（にこうけいすう）に関（かん）する等式（とうしき）の証明（しょうめい）、および2変数（へんすう）の相加（そうか）平均（へいきん）・相乗（そうじょう）平均（へいきん）の大小（だいしょう）関係（かんけい）を解説（かいせつ）します。

二項係数（にこうけいすう）の満（み）たす等式（とうしき）
二項係数二項定理二項分布相加平均