Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学II・B · Toán II · B

Biến đổi công thức truy hồi (Sử dụng logarit)漸化（ぜんか）式（しき）の変形（へんけい）（対数（たいすう）の利用（りよう））

Công thức公式

\log_a MN = \log_a M + \log_a N
\log_a M^p = p \log_a M
a_{n+1} = a_n 2^{6n^2}
a^{k+1}+b^{k+1}=(a+b)(a^k+b^k)-ab(a^{k-1}+b^{k-1})

Ví dụ例題

Cho dãy số a_n với a_1 = 2 và công thức truy hồi a_{n+1} = a_n 2^{6n^2} với mọi n >= 1. Hãy tìm số hạng b_n = log_2 a_n và suy ra công thức của b_n.

初項（しょこう） a_1 = 2 であり、漸化（ぜんか）式（しき） a_{n+1} = a_n 2^{6n^2} （n >= 1）を満（み）たす数列（すうれつ）a_nについて、b_n = log_2 a_n とおいたときのb_nの一般（いっぱん）項（こう）を求（もと）めます。

  1. Bước 1: Lấy logarit cơ số 2 hai vế của công thức truy hồi a_{n+1} = a_n 2^{6n^2}, ta được log_2 a_{n+1} = log_2 (a_n 2^{6n^2}). Áp dụng công thức logarit tích và số mũ, ta có log_2 a_{n+1} = log_2 a_n + 6n^2.手順（てじゅん）1：漸化（ぜんか）式（しき） a_{n+1} = a_n 2^{6n^2} の両辺（りょうへん）に底（そこ）2の対数（たいすう）を取（と）ると log_2 a_{n+1} = log_2 (a_n 2^{6n^2}) となります。積（せき）および累乗（るいじょう）の対数（たいすう）公式（こうしき）を適用（てきよう）すると log_2 a_{n+1} = log_2 a_n + 6n^2 が得（え）られます。
  2. Bước 2: Đặt b_n = log_2 a_n, ta có b_1 = log_2 2 = 1 và công thức truy hồi b_{n+1} = b_n + 6n^2 hay b_{n+1} - b_n = 6n^2. Đây là công thức của dãy số hiệu.手順（てじゅん）2：b_n = log_2 a_n と置（お）くと b_1 = log_2 2 = 1 であり、b_{n+1} = b_n + 6n^2 すなわち b_{n+1} - b_n = 6n^2 という階差（かいさ）数列（すうれつ）の漸化（ぜんか）式（しき）が得（え）られます。
  3. Bước 3: Với n >= 2, b_n = b_1 + sum_{k=1}^{n-1} 6k^2 = 1 + 6 * ((n-1)n(2n-1)/6) = 1 + n(n-1)(2n-1) = 2n^3 - 3n^2 + n + 1. Công thức này cũng đúng với n = 1.手順（てじゅん）3：n >= 2 のとき b_n = b_1 + sum_{k=1}^{n-1} 6k^2 = 1 + 6 * ((n-1)n(2n-1)/6) = 1 + n(n-1)(2n-1) = 2n^3 - 3n^2 + n + 1 となり、これは n = 1 でも成り立（なりた）ちます。
Số hạng b_n = log_2 a_n có công thức tổng quát là b_n = 2n^3 - 3n^2 + n + 1.したがって、b_n = log_2 a_n の一般（いっぱん）項（こう）は b_n = 2n^3 - 3n^2 + n + 1 と求（もと）められます。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Biến đổi logarit cơ số a của biểu thức M^3 N được kết quả nào sau đây bằng cách dùng công thức log_a MN = log_a M + log_a N và log_a M^p = p log_a M?公式（こうしき） log_a MN = log_a M + log_a N および log_a M^p = p log_a M を用（もち）いて、対数（たいすう） log_a (M^3 N) を変形（へんけい）した式（しき）として正（ただ）しいものはどれか。

2. Cho dãy số a_n dương thỏa mãn a_1 = 3 và a_{n+1} = a_n 2^{6n^2}. Đặt b_n = log_2 a_n. Giá trị của b_2 - b_1 là bao nhiêu?各項（かくこう）が正（せい）の数列（すうれつ）a_nが a_1 = 3 および a_{n+1} = a_n 2^{6n^2} を満（み）たすとき、b_n = log_2 a_n と置（お）きます。このとき b_2 - b_1 の値（あたい）はいくらか。

3. Khi chứng minh một tính chất của dãy số liên quan đến hai số hạng kề trước bằng phương pháp quy nạp toán học giả định hai bước trước đó, ở bước quy nạp ta cần giả định điều gì để chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1?先行（せんこう）する2段階（だんかい）を仮定（かてい）して進（すす）める数学（すうがく）的（てき）帰納（きのう）法（ほう）において、n = k + 1 での成立（せいりつ）を証明（しょうめい）するために、帰納（きのう）法（ほう）の仮定（かてい）として必要（ひつよう）な条件（じょうけん）はどれか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.12.2. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 3 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.12.2。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）3区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Biết cách lấy logarit hai vế công thức truy hồi dạng tích mũ để chuyển về dãy số mới \(b_{n}\).積（せき）・累乗（るいじょう）の漸化（ぜんか）式（しき）の両辺（りょうへん）の対数（たいすう）を取（と）り、新（あたら）しい数列（すうれつ）\(b_{n}\)の漸化（ぜんか）式（しき）へ変換（へんかん）する手順（てじゅん）を習得（しゅうとく）する。
  2. Sử dụng các công thức logarit như log_a MN = log_a M + log_a N và log_a M^p = p log_a M để biến đổi dãy b_n thành dãy số hiệu.対数（たいすう）の性質（せいしつ）log_a MN = log_a M + log_a Nおよびlog_a M^p = p log_a Mを用（もち）いて、数列（すうれつ）b_nを階差（かいさ）数列（すうれつ）の形（かたち）に整理（せいり）する。
  3. Nắm vững các dạng quy nạp toán học giả định hai bước trước đó hoặc giả định tất cả các bước nhỏ hơn hoặc bằng k.先行（せんこう）する2段階（だんかい）を仮定（かてい）する帰納（きのう）法（ほう）やk番（ばん）目（め）以下（いか）を仮定（かてい）する数学（すうがく）的（てき）帰納（きのう）法（ほう）の基本（きほん）的（てき）な考（かんが）え方（かた）を理解（りかい）する。
Trực giác · イメージ

Tới khi gặp công thức truy hồi dạng tích và số mũ, làm sao để đưa về dạng tổng đơn giản?積（せき）や累乗（るいじょう）を含（ふく）む複雑（ふくざつ）な漸化（ぜんか）式（しき）を、どのようにして扱（あつか）いやすい和（わ）の形（かたち）に変換（へんかん）するのか？

Khi các số hạng liên hệ với nhau qua phép nhân và số mũ, phép lấy logarit hai vế sẽ biến phép nhân thành phép cộng và đưa số mũ xuống thành hệ số nhân. Nhờ đó, dãy số phức tạp được quy về dãy số hiệu hoặc các công thức truy hồi cơ bản mà ta đã biết cách giải.

項（こう）同士（どうし）が乗算（じょうざん）や累乗（るいじょう）で結（むす）ばれている漸化（ぜんか）式（しき）では、両辺（りょうへん）の対数（たいすう）を取（と）ることで積（せき）を和（わ）に、累乗（るいじょう）を係数（けいすう）の積（せき）へと変換（へんかん）できます。この操作（そうさ）により、複雑（ふくざつ）な漸化（ぜんか）式（しき）を階差（かいさ）数列（すうれつ）などの既知（きち）の基本（きほん）型（がた）へ帰着（きちゃく）させることができます。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 対数（たいすう）と漸化（ぜんか）式（しき）Logarit và công thức truy hồi

    Phương pháp lấy logarit cơ số a hai vế của công thức truy hồi có dạng tích hoặc số mũ để đưa về công thức truy hồi bậc nhất của dãy số b_n = log_a a_n.

    積（せき）や累乗（るいじょう）の形（かたち）をした漸化（ぜんか）式（しき）の両辺（りょうへん）に対数（たいすう）を取（と）ることで、b_n = log_a a_n と置（お）いた新（あたら）しい数列（すうれつ）の線形（せんけい）漸化（ぜんか）式（しき）に変換（へんかん）する手法（しゅほう）です。

  • 階差（かいさ）数列（すうれつ）Dãy số hiệu

    Dãy số \(b_{n}\) thỏa mãn \(b_{n + 1} - b_{n} = f(n)\), trong đó f(n) là hiệu của hai số hạng liên tiếp.

    隣り合（となりあ）う2項（こう）の差（さ） \(b_{n + 1} - b_{n}\) がnの式（しき） f(n) として表（あらわ）される数列（すうれつ）のことです。

  • 数学（すうがく）的（てき）帰納（きのう）法（ほう）Phương pháp quy nạp toán học

    Phương pháp chứng minh mệnh đề P(n) đúng với mọi số nguyên dương n bằng cách chứng minh bước cơ sở P(1) và bước quy nạp giả định P(k) đúng suy ra P(k+1) đúng.

    自然（しぜん）数（すう）nに関（かん）する命題（めいだい）P(n)がすべてのnで成立（せいりつ）することを、n=1での成立（せいりつ）とn=kでの成立（せいりつ）からn=k+1の成立（せいりつ）を導（みちび）くことで証明（しょうめい）する手法（しゅほう）です。

  • 先行（せんこう）する2段階（だんかい）を仮定（かてい）して進（すす）める数学（すうがく）的（てき）帰納（きのう）法（ほう）Phương pháp quy nạp toán học giả định hai bước trước đó

    Biến thể quy nạp trong đó ta giả định mệnh đề đúng tại n = k-1 và n = k để chứng minh mệnh đề đúng tại n = k+1.

    n = k-1 および n = k の両方（りょうほう）で命題（めいだい）が成立（せいりつ）すると仮定（かてい）して、n = k+1 での成立（せいりつ）を証明（しょうめい）する数学（すうがく）的（てき）帰納（きのう）法（ほう）の形式（けいしき）です。

  • k番（ばん）目（め）以下（いか）のすべてを仮定（かてい）する帰納（きのう）法（ほう）Quy nạp giả định tất cả các bước nhỏ hơn hoặc bằng k

    Phương pháp quy nạp giả định mệnh đề P(i) đúng với mọi số nguyên i từ 1 đến k để chứng minh P(k+1) đúng.

    1からkまでのすべての自然（しぜん）数（すう）iで命題（めいだい）P(i)が成立（せいりつ）すると仮定（かてい）して、n = k+1 での成立（せいりつ）を示（しめ）す帰納（きのう）法（ほう）の手法（しゅほう）です。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    手順（てじゅん）1：漸化（ぜんか）式（しき）の両辺（りょうへん）の対数（たいすう）を取（と）る

    Bước 1: Lấy logarit hai vế của công thức truy hồi

    Kiểm tra điều kiện các số hạng dương \(a_{n} > 0\), sau đó lấy logarit cơ số a hai vế của công thức truy hồi. Phép lấy logarit giúp chuyển phép nhân và lũy thừa thành phép cộng và phép nhân hệ số.

    すべての項（こう）が正（せい）（\(a_{n} > 0\)）であることを確認（かくにん）し、漸化（ぜんか）式（しき）の両辺（りょうへん）の底（そこ）aの対数（たいすう）を取（と）ります。これにより、積（せき）や累乗（るいじょう）の計算（けいさん）を和（わ）や定数（ていすう）倍（ばい）の計算（けいさん）に変換（へんかん）できます。

  2. 02
    手順（てじゅん）2：対数（たいすう）の性質（せいしつ）を用（もち）いて式（しき）を整理（せいり）する

    Bước 2: Sử dụng công thức biến đổi logarit

    Áp dụng log_a MN = log_a M + log_a N và log_a M^p = p log_a M để tách hai vế. Đặt dãy số phụ b_n = log_a a_n để thu được công thức truy hồi mới cho b_n.

    log_a MN = log_a M + log_a N や log_a M^p = p log_a M を適用（てきよう）して辺（へん）を展開（てんかい）します。b_n = log_a a_n と置（お）くことで、b_nに関（かん）する新（あたら）しい漸化（ぜんか）式（しき）を得（え）ます。

  3. 03
    手順（てじゅん）3：数列（すうれつ）\(b_{n}\)の一般（いっぱん）解（かい）を求（もと）め\(a_{n}\)に戻（もど）す

    Bước 3: Xác định dạng dãy số \(b_{n}\) và tìm công thức tổng quát

    Giải công thức truy hồi của \(b_{n}\) (như dạng dãy số hiệu) để tìm \(b_{n}\) theo n. Sau đó suy ra số hạng tổng quát \(a_{n} = a^{b_{n}}\).

    得（え）られた\(b_{n}\)の漸化（ぜんか）式（しき）（階差（かいさ）数列（すうれつ）型（がた）など）を解（と）いて\(b_{n}\)の一般（いっぱん）項（こう）を求（もと）めていきます。最後（さいご）に \(a_{n} = a^{b_{n}}\) の関係（かんけい）を用（もち）いて原（げん）数列（すうれつ）\(a_{n}\)の一般（いっぱん）項（こう）を決定（けってい）します。

  4. 04
    手順（てじゅん）4：数学（すうがく）的（てき）帰納（きのう）法（ほう）を用（もち）いた数列（すうれつ）の性質（せいしつ）証明（しょうめい）

    Bước 4: Vận dụng quy nạp toán học để chứng minh đẳng thức dãy số

    Đối với các bài toán liên quan đến hai số hạng kề trước, áp dụng quy nạp giả định hai bước k-1 và k hoặc tất cả các bước nhỏ hơn hay bằng k để chứng minh kết quả. Sử dụng các biến đổi đại số như \(a^{k + 1} + b^{k + 1} = (a + b) (a^{k} + b^{k}) - ab (a^{k - 1} + b^{k - 1})\) khi cần thiết.

    先行（せんこう）する2項（こう）が関与（かんよ）する問題（もんだい）では、n=k-1, k または k以下（いか）のすべての成立（せいりつ）を仮定（かてい）する帰納（きのう）法（ほう）を用（もち）いて証明（しょうめい）を進（すす）めます。必要（ひつよう）に応（おう）じて \(a^{k + 1} + b^{k + 1} = (a + b) (a^{k} + b^{k}) - ab (a^{k - 1} + b^{k - 1})\) などの恒等（こうとう）式（しき）を利用（りよう）します。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Quên kiểm tra điều kiện các số hạng \(a_{n} > 0\) trước khi lấy logarit hai vế.両辺（りょうへん）の対数（たいすう）を取（と）る際（さい）、数列（すうれつ）の各項（かくこう）\(a_{n}\)がすべて正（せい）であることを確認（かくにん）し忘（わす）れること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Logarit chỉ xác định khi biểu thức lấy logarit lớn hơn 0. Do đó luôn cần chứng minh hoặc khẳng định \(a_{n} > 0\) trước khi lấy logarit.対数（たいすう）関数（かんすう）は真数（しんすう）が正（せい）の範囲（はんい）でのみ定義（ていぎ）されるため、対数（たいすう）を取（と）る前（まえ）に必（かなら）ず \(a_{n} > 0\) であることを確認（かくにん）または証明（しょうめい）します。

Tách sai logarit của tổng: cho rằng log_a (M + N) = log_a M + log_a N.和（わ）の対数（たいすう）を誤（あやま）って対数（たいすう）の和（わ）に分解（ぶんかい）し、log_a (M + N) = log_a M + log_a N と記述（きじゅつ）すること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Công thức đúng là logarit của một tích log_a MN = log_a M + log_a N. Logarit của một tổng log_a (M + N) không thể tách thành tổng hai logarit.正（ただ）しい公式（こうしき）は積（せき）の対数（たいすう） log_a MN = log_a M + log_a N であり、和（わ）の対数（たいすう） log_a (M + N) は分解（ぶんかい）できない点（てん）に注意（ちゅうい）します。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Lấy logarit hai vế giúp chuyển công thức truy hồi tích lũy thừa về dạng công thức truy hồi dãy số hiệu.両辺（りょうへん）の対数（たいすう）を取（と）ることで、積（せき）や累乗（るいじょう）を含（ふく）む漸化（ぜんか）式（しき）を階差（かいさ）数列（すうれつ）などの基本（きほん）型（がた）に変形（へんけい）できる。
  • Sử dụng linh hoạt hai công thức log_a MN = log_a M + log_a N và log_a M^p = p log_a M để tách các số hạng.対数（たいすう）公式（こうしき） log_a MN = log_a M + log_a N および log_a M^p = p log_a M を用（もち）いて式（しき）を線形（せんけい）に展開（てんかい）する。
  • Áp dụng phương pháp quy nạp giả định 2 bước trước đó hoặc k bước đầu để xử lý các bài toán dãy số có quan hệ nhiều số hạng.複数（ふくすう）項（こう）が関係（かんけい）する数列（すうれつ）の証明（しょうめい）には、2段階（だんかい）仮定（かてい）やk以下（いか）を仮定（かてい）する数学（すうがく）的（てき）帰納（きのう）法（ほう）を活用（かつよう）する。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

\log_a MN = \log_a M + \log_a N

Công thức logarit của một tích bằng tổng các logarit, dùng để tách tích số hạng thành tổng các logarit.

積（せき）の対数（たいすう）は対数（たいすう）の和（わ）に分解（ぶんかい）できるという性質（せいしつ）で、漸化（ぜんか）式（しき）の積（せき）の形（かたち）を和（わ）に変換（へんかん）する際（さい）に使用（しよう）します。

\log_a M^p = p \log_a M

Công thức logarit của lũy thừa, đưa số mũ p ra phía trước làm hệ số nhân.

真数（しんすう）の累乗（るいじょう）は対数（たいすう）の定数（ていすう）倍（ばい）として前（まえ）に出（だ）すことができるため、累乗（るいじょう）型（がた）の漸化（ぜんか）式（しき）を線形（せんけい）化（か）できます。

a_{n+1} = a_n 2^{6n^2}

Công thức truy hồi dạng tích giữa số hạng \(a_{n}\) và lũy thừa \(2^{6 n^{2}}\), đưa về dãy số hiệu khi lấy logarit cơ số 2.

項（こう）\(a_{n}\)と累乗（るいじょう）\(2^{6 n^{2}}\)の積（せき）で表（あらわ）される漸化（ぜんか）式（しき）であり、底（そこ）2の対数（たいすう）を取（と）ることで階差（かいさ）数列（すうれつ）に帰着（きちゃく）されます。

a^{k+1}+b^{k+1}=(a+b)(a^k+b^k)-ab(a^{k-1}+b^{k-1})

Đẳng thức biến đổi lũy thừa tổng bậc k+1 theo hai bậc k-1 và k, dùng trong phương pháp quy nạp giả định hai bước.

k+1乗（のり）の和（わ）をk乗（のり）およびk-1乗（のり）の和（わ）から導（みちび）く恒等（こうとう）式（しき）であり、2段階（だんかい）仮定（かてい）の数学（すうがく）的（てき）帰納（きのう）法（ほう）で用（もち）いられます。

EJU 2026 · MATH.12.2

Bài học hướng dẫn cách lấy logarit cơ số a hai vế để đưa công thức truy hồi dạng tích mũ về dạng công thức truy hồi dãy số hiệu hoặc công thức truy hồi quen thuộc. Đồng thời, bài học mở rộng ứng dụng phương pháp quy nạp toán học trong việc chứng minh các tính chất của dãy số.

本課（ほんか）では、積（せき）や累乗（るいじょう）を含（ふく）む漸化（ぜんか）式（しき）の両辺（りょうへん）の対数（たいすう）を取（と）ることで、階差（かいさ）数列（すうれつ）などの基本（きほん）型（がた）に変形（へんけい）する手法（しゅほう）を学（まな）びます。さらに、数列（すうれつ）の性質（せいしつ）の証明（しょうめい）に応用（おうよう）される数学（すうがく）的（てき）帰納（きのう）法（ほう）の発展（はってん）的（てき）な手法（しゅほう）についても理解（りかい）を深（ふか）めます。

漸化（ぜんか）式（しき）の変形（へんけい）（対数（たいすう）の利用（りよう））
対数と漸化式階差数列数学的帰納法先行する2段階を仮定して進める数学的帰納法