Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学II・B · Toán II · B

Phương pháp quy nạp toán học数学（すうがく）的（てき）帰納（きのう）法（ほう）

Công thức公式

1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \dots + n(n+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}
\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \dots + \frac{1}{n(n+1)} = \frac{n}{n+1}
2^n > (n+1)^2
a_n=2^n-1

Ví dụ例題

Xác minh đẳng thức 1/(1*2) + 1/(2*3) + ... + 1/(n(n+1)) = n/(n+1) khi n = 2.

等式（とうしき） 1/(1*2) + 1/(2*3) + ... + 1/(n(n+1)) = n/(n+1) について、n = 2 の場合（ばあい）を検証（けんしょう）しなさい。

  1. Tính vế trái với n = 2 ta được 1/(1*2) + 1/(2*3) = 1/2 + 1/6 = 2/3.n = 2 のときの左辺（さへん）を計算（けいさん）すると 1/(1*2) + 1/(2*3) = 1/2 + 1/6 = 2/3 となります。
  2. Tính vế phải với n = 2 ta được 2/(2+1) = 2/3, do đó vế trái bằng vế phải.n = 2 のときの右辺（うへん）を計算（けいさん）すると 2/(2+1) = 2/3 となり、左辺（さへん）と右辺（うへん）が一致（いっち）します。
Đẳng thức đúng với n = 2 với giá trị cả hai vế bằng 2/3.両辺（りょうへん）の値（あたい）が 2/3 となり、n = 2 のとき等式（とうしき）が成り立（なりた）つことが確認（かくにん）されました。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Với n = 1, giá trị vế trái của đẳng thức 1*2 + 2*3 + ... + n(n+1) = n(n+1)(n+2)/3 bằng bao nhiêu?n = 1 のとき、等式（とうしき） 1*2 + 2*3 + ... + n(n+1) = n(n+1)(n+2)/3 の左辺（さへん）の値（あたい）はいくらか。

2. Cho công thức số hạng tổng quát a_n = 2^n - 1 trong bài toán Tháp Hà Nội. Giá trị của a_3 là bao nhiêu?ハノイの塔（とう）問題（もんだい）の一般（いっぱん）項（こう）の公式（こうしき） a_n = 2^n - 1 において、a_3 の値（あたい）はいくらか。

3. Trong chứng minh bất đẳng thức 2^n > (n+1)^2 bằng quy nạp, bước đầu tiên cần kiểm tra mệnh đề đúng với số tự nhiên n nhỏ nhất nào?不（ふ）等式（とうしき） 2^n > (n+1)^2 を数学（すうがく）的（てき）帰納（きのう）法（ほう）で証明（しょうめい）するとき、最初（さいしょ）に関（せき）証（しょう）すべき最小（さいしょう）の自然（しぜん）数（すう） n の値（あたい）はどれか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.12.2. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 3 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.12.2。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）3区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Hiểu rõ cấu trúc hai bước của chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.数学（すうがく）的（てき）帰納（きのう）法（ほう）による証明（しょうめい）の2つのステップ構造（こうぞう）を深（ふか）く理解（りかい）する。
  2. Vận dụng phương pháp quy nạp để chứng minh các đẳng thức và bất đẳng thức chứa số tự nhiên.自然（しぜん）数（すう）を含（ふく）む等式（とうしき）や不等（ふとう）式（しき）を証明（しょうめい）するために帰納（きのう）法（ほう）を応用（おうよう）する。
Trực giác · イメージ

Trực giác về phương pháp quy nạp toán học数学（すうがく）的（てき）帰納（きのう）法（ほう）の直感（ちょっかん）

Phương pháp quy nạp toán học giống như hiệu ứng domino: nếu quân đầu tiên đổ và mỗi quân kéo theo quân kế tiếp, toàn bộ hàng domino sẽ đổ.

数学（すうがく）的（てき）帰納（きのう）法（ほう）はドミノ倒（たお）しのようなものです。最初（さいしょ）のドミノが倒（たお）れ、各（かく）ドミノが次（つぎ）のドミノを倒（たお）せば、すべてのドミノが倒（たお）れます。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 数学（すうがく）的（てき）帰納（きのう）法（ほう）phương pháp quy nạp toán học

    Phương pháp chứng minh mệnh đề chứa tham số n đúng với mọi số tự nhiên n.

    自然（しぜん）数（すう） n を含（ふく）む命題（めいだい）がすべての n で成り立（なりた）つことを証明（しょうめい）する手法（しゅほう）です。

  • 命題（めいだい）mệnh đề

    Phổ biến là một khẳng định toán học có tính đúng hoặc sai xác định.

    真偽（しんぎ）が明確（めいかく）に定（さだ）まる数学（すうがく）的（てき）な主張（しゅちょう）のことです。

  • 自然（しぜん）数（すう）số tự nhiên

    Tập hợp các số nguyên dương 1, 2, 3,...

    帰納（きのう）法（ほう）問題（もんだい）の変数（へんすう）範囲（はんい）となる正（せい）の整数（せいすう） 1, 2, 3,... の集合（しゅうごう）です。

  • 仮定（かてい）giả thiết

    Giả định mệnh đề đúng với n = k trong bước chứng minh n = k + 1.

    n = k + 1 の証明（しょうめい）において、n = k で命題（めいだい）が成り立（なりた）つと仮定（かてい）することです。

  • 証明（しょうめい）chứng minh

    Quá trình suy luận logic để khẳng định tính đúng đắn của mệnh đề.

    命題（めいだい）の正（ただ）しいことを論理（ろんり）的（てき）な推論（すいろん）によって示（しめ）す過程（かてい）です。

  • 整式（せいしき）đa thức

    Biểu thức đại số chứa các phép cộng, trừ, nhân và nâng lên lũy thừa nguyên không âm.

    加減（かげん）乗（じょう）および非（ひ）負（ふ）整数（せいすう）のべき乗（じょう）からなる代数（だいすう）式（しき）のことです。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：基底（きてい）段階（だんかい）の検証（けんしょう）

    Bước 1: Kiểm tra bước cơ sở

    Chứng minh mệnh đề đúng với giá trị số tự nhiên n nhỏ nhất (thường là n = 1).

    最小（さいしょう）の自然（しぜん）数（すう） n（通常（つうじょう）は n = 1）で命題（めいだい）が成り立（なりた）つことを証明（しょうめい）します。

  2. 02
    ステップ2：帰納（きのう）法（ほう）の仮定（かてい）

    Bước 2: Nêu giả thiết quy nạp

    Giả sử mệnh đề đúng với n = k (với k là một số tự nhiên tùy ý).

    任意（にんい）の自然（しぜん）数（すう） k に対（たい）して n = k で命題（めいだい）が成り立（なりた）つと仮定（かてい）します。

  3. 03
    ステップ3：k + 1 の場合（ばあい）の証明（しょうめい）

    Bước 3: Chứng minh trường hợp k + 1

    Sử dụng giả thiết n = k để chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k + 1.

    n = k の仮定（かてい）を利用（りよう）して、n = k + 1 でも命題（めいだい）が成り立（なりた）つことを証明（しょうめい）します。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Bỏ qua bước kiểm tra n = 1 mà trực tiếp giả sử n = k dẫn đến chứng minh thiếu căn cứ.n = 1 の検証（けんしょう）ステップを省略（しょうりゃく）して直接（ちょくせつ） n = k と仮定（かてい）し、証明（しょうめい）の根拠（こんきょ）を失（うしな）う。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Luôn thực hiện bước cơ sở kiểm tra tính đúng đắn với n = 1 trước khi đặt giả thiết.仮定（かてい）を立（た）てる前（まえ）に、必（かなら）ず n = 1 での成立（せいりつ）を確認（かくにん）する基底（きてい）段階（だんかい）を行（おこな）います。

Trong bước chứng minh n = k + 1 lại không sử dụng giả thiết quy nạp của trường hợp n = k.n = k + 1 の証明（しょうめい）段階（だんかい）で、n = k の帰納（きのう）法（ほう）の仮定（かてい）を使用（しよう）しない。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Đảm bảo biến đổi vế trái của trường hợp k + 1 sao cho xuất hiện và áp dụng được giả thiết n = k.k + 1 の場合（ばあい）の式（しき）を変形（へんけい）し、n = k の仮定（かてい）を組み込（くみこ）んで適用（てきよう）できるようにします。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Phương pháp quy nạp toán học gồm 2 bước: bước cơ sở (n = 1) và bước quy nạp (từ n = k suy ra n = k + 1).数学（すうがく）的（てき）帰納（きのう）法（ほう）は基底（きてい）段階（だんかい）（n = 1）と帰納（きのう）段階（だんかい）（n = k から n = k + 1 を導（みちび）く）の2ステップからなります。
  • Giả thiết n = k là chìa khóa để biến đổi và chứng minh mệnh đề đúng cho n = k + 1.n = k の仮定（かてい）は、n = k + 1 での命題（めいだい）の成立（せいりつ）を変形（へんけい）・証明（しょうめい）するための鍵（かぎ）となります。
  • Công thức Tháp Hà Nội a_n=2^n-1 và các tổng đa thức n(n+1) là các ứng dụng quy nạp điển hình.ハノイの塔（とう）の公式（こうしき） a_n=2^n-1 や多項（たこう）式（しき）の和（わ） n(n+1) は帰納（きのう）法（ほう）の典型（てんけい）的（てき）な応用（おうよう）例（れい）です。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \dots + n(n+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}

Đẳng thức tính tổng tích hai số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến n.

1からnまでの連続（れんぞく）する2自然（しぜん）数（すう）の積（せき）の和（わ）を求（もと）める等式（とうしき）です。

\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \dots + \frac{1}{n(n+1)} = \frac{n}{n+1}

Đẳng thức tính tổng các phân thức nghịch đảo của tích hai số tự nhiên連次.

連続（れんぞく）する2自然（しぜん）数（すう）の積（せき）の逆数（ぎゃくすう）の和（わ）を求（もと）める等式（とうしき）です。

2^n > (n+1)^2

Bất đẳng thức so sánh giữa hàm mũ và đa thức bậc hai đúng với mọi số tự nhiên n >= 6.

n >= 6 のすべての自然（しぜん）数（すう）で成り立（なりた）つ指数（しすう）関数（かんすう）と二（に）次（じ）多項（たこう）式（しき）の比較（ひかく）不（ふ）等式（とうしき）です。

a_n=2^n-1

Công thức số hạng tổng quát biểu diễn số bước tối thiểu trong bài toán Tháp Hà Nội.

ハノイの塔（とう）問題（もんだい）における最小（さいしょう）移動（いどう）回数（かいすう）を表（あらわ）す一般（いっぱん）項（こう）の公式（こうしき）です。

EJU 2026 · MATH.12.2

Học phương pháp quy nạp toán học để chứng minh các mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên.

すべての自然（しぜん）数（すう）に対（たい）して命題（めいだい）が成り立（なりた）つことを証明（しょうめい）する数学（すうがく）的（てき）帰納（きのう）法（ほう）を学（まな）びます。

数学（すうがく）的（てき）帰納（きのう）法（ほう）
数学的帰納法命題自然数仮定