Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学II・B · Toán II · B

Nghiệm tổng quát của công thức truy hồi tuyến tính 3 số hạng線形（せんけい）3項（こう）漸化（ぜんか）式（しき）の一般（いっぱん）解（かい）

Công thức公式

a_{n+2} = p a_{n+1} + q a_n
x^2 = px + q
a_n = A \alpha^{n-1} + B \beta^{n-1}

Ví dụ例題

Cho dãy số \(a_{n}\) xác định bởi \(a_{1} = 1\), \(a_{2} = 4\) và công thức truy hồi \(a_{n + 2} = 5\) \(a_{n + 1} - 6\) \(a_{n}\) với mọi n >= 1. Hãy tìm công thức nghiệm tổng quát \(a_{n}\).

\(a_{1} = 1\), \(a_{2} = 4\) であり、漸化（ぜんか）式（しき） \(a_{n + 2} = 5\) \(a_{n + 1} - 6\) \(a_{n}\) （n >= 1）を満（み）たす数列（すうれつ）\(a_{n}\)の一般（いっぱん）解（かい）\(a_{n}\)を求（もと）めます。

  1. Bước 1: Lập phương trình đặc trưng \(x^{2} = 5 x - 6\) hay \(x^{2} - 5 x + 6 = 0\). Giải phương trình ta được hai nghiệm phân biệt \(\alpha = 2\) và \(\beta = 3\).手順（てじゅん）1：特性（とくせい）方程（ほうてい）式（しき） \(x^{2} = 5 x - 6\) すなわち \(x^{2} - 5 x + 6 = 0\) を立（た）てます。これを解（と）くと異（こと）なる2つの特性（とくせい）解（かい） \(\alpha = 2\), \(\beta = 3\) が得（え）られます。
  2. Bước 2: Biểu diễn nghiệm tổng quát dưới dạng a_n = A \(\cdot\) 2^{n-1} + B \(\cdot\) 3^{n-1}. Thay n = 1 và n = 2 ta có hệ phương trình: A + B = 1 và 2A + 3B = 4.手順（てじゅん）2：一般（いっぱん）解（かい）を a_n = A \(\cdot\) 2^{n-1} + B \(\cdot\) 3^{n-1} と設定（せってい）します。n = 1, 2 を代入（だいにゅう）すると、連立（れんりつ）方程（ほうてい）式（しき） A + B = 1 および 2A + 3B = 4 が導（みちび）かれます。
  3. Bước 3: Giải hệ phương trình ta tìm được A = -1 và B = 2. Do đó, số hạng tổng quát của dãy số là a_n = -1 \(\cdot\) 2^{n-1} + 2 \(\cdot\) 3^{n-1} hay a_n = 2 \(\cdot\) 3^{n-1} - 2^{n-1}.手順（てじゅん）3：この連立（れんりつ）方程（ほうてい）式（しき）を解（と）くと A = -1, B = 2 と求（もと）められます。したがって一般（いっぱん）項（こう）は a_n = -1 \(\cdot\) 2^{n-1} + 2 \(\cdot\) 3^{n-1} すなわち a_n = 2 \(\cdot\) 3^{n-1} - 2^{n-1} となります。
Nghiệm tổng quát của công thức truy hồi tuyến tính 3 số hạng là a_n = 2 \(\cdot\) 3^{n-1} - 2^{n-1}.以上（いじょう）より、線形（せんけい）3項（こう）漸化（ぜんか）式（しき）の一般（いっぱん）解（かい）は a_n = 2 \(\cdot\) 3^{n-1} - 2^{n-1} と確定（かくてい）します。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Phương trình đặc trưng \(x^{2} = px + q\) tương ứng với công thức truy hồi tuyến tính 3 số hạng nào sau đây?特性（とくせい）方程（ほうてい）式（しき） \(x^{2} = px + q\) に対応（たいおう）する線形（せんけい）3項（こう）漸化（ぜんか）式（しき）として正（ただ）しいものはどれか。

2. Cho công thức truy hồi tuyến tính 3 số hạng \(a_{n + 2} = 3\) \(a_{n + 1} - 2\) \(a_{n}\). Nghiệm đặc trưng \(\alpha\), \(\beta\) của phương trình đặc trưng \(x^{2} = 3 x - 2\) là bao nhiêu?線形（せんけい）3項（こう）漸化（ぜんか）式（しき） \(a_{n + 2} = 3\) \(a_{n + 1} - 2\) \(a_{n}\) において、特性（とくせい）方程（ほうてい）式（しき） \(x^{2} = 3 x - 2\) の特性（とくせい）解（かい）\(\alpha\), \(\beta\)はどれか。

3. Cho dãy số \(a_{n}\) có công thức nghiệm tổng quát \(a_{n} = A \alpha^{n - 1} + B \beta^{n - 1}\) với \(\alpha = 2\), \(\beta = 4\). Biêt \(a_{1} = 3\) và \(a_{2} = 8\), giá trị của hai hệ số A và B là bao nhiêu?一般（いっぱん）解（かい）が \(a_{n} = A \alpha^{n - 1} + B \beta^{n - 1}\) （\(\alpha = 2\), \(\beta = 4\)）で表（あらわ）される数列（すうれつ）において、\(a_{1} = 3\), \(a_{2} = 8\) のとき、定数（ていすう）A, Bの値（あたい）の組み合（くみあ）わせはどれか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.12.2. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.12.2。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Nhận biết công thức truy hồi tuyến tính 3 số hạng \(a_{n + 2} = p\) \(a_{n + 1} + q\) \(a_{n}\) và lập phương trình đặc trưng \(x^{2} = px + q\).線形（せんけい）3項（こう）漸化（ぜんか）式（しき） \(a_{n + 2} = p\) \(a_{n + 1} + q\) \(a_{n}\) の構造（こうぞう）を理解（りかい）し、対応（たいおう）する特性（とくせい）方程（ほうてい）式（しき） \(x^{2} = px + q\) を正確（せいかく）に立（りっ）式（しき）する。
  2. Giải phương trình đặc trưng để tìm các nghiệm đặc trưng \(\alpha\) và \(\beta\).特性（とくせい）方程（ほうてい）式（しき）を解（と）いて特性（とくせい）解（かい）α, βを求（もと）め、それらの値（あたい）の性質（せいしつ）を確認（かくにん）する。
  3. Thiết lập công thức nghiệm tổng quát \(a_{n} = A \alpha^{n - 1} + B \beta^{n - 1}\) và xác định hệ số A, B từ các số hạng đầu tiên.一般（いっぱん）解（かい） \(a_{n} = A \alpha^{n - 1} + B \beta^{n - 1}\) に初期（しょき）条件（じょうけん）を代入（だいにゅう）して係数（けいすう）A, Bを連立（れんりつ）方程（ほうてい）式（しき）から求（もと）める。
Trực giác · イメージ

Làm thế nào để tìm số hạng tổng quát khi một số hạng phụ thuộc vào cả 2 số hạng đứng trước nó?直前（ちょくぜん）の2つの項（こう）に依存（いぞん）する漸化（ぜんか）式（しき）から、どのようにして一般（いっぱん）項（こう）を導き出（みちびきだ）すのか？

Khi công thức truy hồi liên kết 3 số hạng liên tiếp, việc biến đổi trực tiếp rất phức tạp. Bằng cách thay \(a_{n}\) bằng \(x^{n}\), ta chuyển mối quan hệ truy hồi thành phương trình đặc trưng bậc hai \(x^{2} = px + q\) để tìm ra các cơ sở nghiệm \(\alpha\) và \(\beta\), từ đó tổ hợp thành nghiệm tổng quát.

3つの連続（れんぞく）する項（こう）が関係（かんけい）する漸化（ぜんか）式（しき）は、直接（ちょくせつ）変形（へんけい）するのが困難（こんなん）です。\(a_{n}\) を \(x^{n}\) に置き換（おきか）えることで漸化（ぜんか）式（しき）を2次（じ）方程（ほうてい）式（しき）（特性（とくせい）方程（ほうてい）式（しき））\(x^{2} = px + q\) に変換（へんかん）し、得（え）られた特性（とくせい）解（かい）α, βの冪乗（べきじょう）の線形（せんけい）結合（けつごう）として一般（いっぱん）解（かい）を導（みちび）きます。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 線形（せんけい）3項（こう）漸化（ぜんか）式（しき）Công thức truy hồi tuyến tính 3 số hạng

    Công thức truy hồi biểu diễn số hạng \(a_{n + 2}\) theo hai số hạng liên tiếp đứng trước \(a_{n + 1}\) và \(a_{n}\) dưới dạng \(a_{n + 2} = p\) \(a_{n + 1} + q\) \(a_{n}\) với p, q là các hằng số.

    第（だい）n+2項（こう）が直前（ちょくぜん）の2項（こう）\(a_{n + 1}\)および\(a_{n}\)の定数（ていすう）倍（ばい）の和（わ） \(a_{n + 2} = p\) \(a_{n + 1} + q\) \(a_{n}\) として表（あらわ）される漸化（ぜんか）式（しき）のことです。

  • 特性（とくせい）方程（ほうてい）式（しき）Phương trình đặc trưng

    Phương trình bậc hai \(x^{2} = px + q\) (hay \(x^{2} - px - q = 0\)) thu được khi thay \(a_{n + 2}\), \(a_{n + 1}\), \(a_{n}\) lần lượt bởi \(x^{2}\), x, 1 trong công thức truy hồi tuyến tính 3 số hạng.

    線形（せんけい）3項（こう）漸化（ぜんか）式（しき）の項（こう）\(a_{n + 2}\), \(a_{n + 1}\), \(a_{n}\) をそれぞれ \(x^{2}\), x, 1 に置き換（おきか）えて得（え）られる2次（じ）方程（ほうてい）式（しき） \(x^{2} = px + q\) のことです。

  • 特性（とくせい）解（かい）Nghiệm đặc trưng

    Các nghiệm \(\alpha\) và \(\beta\) của phương trình đặc trưng \(x^{2} = px + q\), đóng vai trò làm cơ số cho các số hạng mũ trong công thức nghiệm tổng quát.

    特性（とくせい）方程（ほうてい）式（しき） \(x^{2} = px + q\) の解（かい）α, βのことであり、一般（いっぱん）解（かい）における公比（こうひ）の役割（やくわり）を果（は）たします。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    手順（てじゅん）1：漸化（ぜんか）式（しき）から特性（とくせい）方程（ほうてい）式（しき）を立（りっ）式（しき）する

    Bước 1: Lập phương trình đặc trưng từ công thức truy hồi

    Từ công thức truy hồi tuyến tính 3 số hạng \(a_{n + 2} = p\) \(a_{n + 1} + q\) \(a_{n}\), thay \(a_{n + 2}\) bằng \(x^{2}\), \(a_{n + 1}\) bằng x, \(a_{n}\) bằng 1 để lập phương trình đặc trưng \(x^{2} = px + q\).

    線形（せんけい）3項（こう）漸化（ぜんか）式（しき） \(a_{n + 2} = p\) \(a_{n + 1} + q\) \(a_{n}\) に対（たい）し、\(a_{n + 2}\)を\(x^{2}\)、\(a_{n + 1}\)をx、\(a_{n}\)を1に対応（たいおう）させて特性（とくせい）方程（ほうてい）式（しき） \(x^{2} = px + q\) を作（つく）ります。

  2. 02
    手順（てじゅん）2：特性（とくせい）方程（ほうてい）式（しき）を解（と）き特性（とくせい）解（かい）α, βを求（もと）める

    Bước 2: Giải phương trình đặc trưng tìm hai nghiệm \(\alpha\) và \(\beta\)

    Giải phương trình bậc hai \(x^{2} - px - q = 0\) để tìm hai nghiệm phân biệt \(\alpha\) và \(\beta\). Hai nghiệm này chính là hai nghiệm đặc trưng của công thức truy hồi.

    2次（じ）方程（ほうてい）式（しき） \(x^{2} - px - q = 0\) を解（と）いて、2つの異（こと）なる実数（じっすう）解（かい）αおよびβ（特性（とくせい）解（かい））を算出（さんしゅつ）します。

  3. 03
    手順（てじゅん）3：一般（いっぱん）解（かい）の構造（こうぞう）を設定（せってい）する

    Bước 3: Thiết lập dạng nghiệm tổng quát

    Sử dụng hai nghiệm đặc trưng \(\alpha\) và \(\beta\) vừa tìm được để biểu diễn số hạng tổng quát dưới dạng \(a_{n} = A \alpha^{n - 1} + B \beta^{n - 1}\), trong đó A và B là các hệ số cần tìm.

    求（もと）めた特性（とくせい）解（かい）α, βを用（もち）いて、数列（すうれつ）の一般（いっぱん）解（かい）を \(a_{n} = A \alpha^{n - 1} + B \beta^{n - 1}\) の形（かたち）に設定（せってい）します（A, Bは定数（ていすう））。

  4. 04
    手順（てじゅん）4：初期（しょき）条件（じょうけん）から定数（ていすう）A, Bを決定（けってい）する

    Bước 4: Xác định các hệ số A và B từ số hạng đầu

    Thay n = 1 và n = 2 vào công thức nghiệm tổng quát kết hợp với giá trị \(a_{1}\), \(a_{2}\) cho trước để lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn A, B. Giải hệ để tìm A, B và hoàn tất công thức \(a_{n}\).

    n = 1 および n = 2 を一般（いっぱん）解（かい）の式（しき）に代入（だいにゅう）し、与（あた）えられた\(a_{1}\), \(a_{2}\)の値（あたい）からAとBに関（かん）する連立（れんりつ）方程（ほうてい）式（しき）を解（と）いて一般（いっぱん）解（かい）を確定（かくてい）させます。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Lập sai phương trình đặc trưng bằng cách thay nhầm số mũ, ví dụ thay \(a_{n + 2}\) thành 2x hoặc x+2 thay vì \(x^{2}\).特性（とくせい）方程（ほうてい）式（しき）を立（た）てる際（さい）に項（こう）の添字（そえじ）を誤解（ごかい）し、\(a_{n + 2}\) を \(x^{2}\) ではなく 2x や x+2 に置き換（おきか）えてしまうこと。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Chỉ số của số hạng tương ứng với bậc của x trong phương trình đặc trưng: \(a_{n + 2}\) ứng với \(x^{2}\), \(a_{n + 1}\) ứng với x và \(a_{n}\) ứng với 1.漸化（ぜんか）式（しき）の項（こう）の相対（そうたい）的（てき）な階数（かいすう）がxの次数（じすう）に対応（たいおう）するため、\(a_{n + 2}\)は\(x^{2}\)、\(a_{n + 1}\)はx、\(a_{n}\)は1に置き換（おきか）える規則（きそく）を徹底（てってい）します。

Nhầm lẫn số mũ trong công thức tổng quát \(a_{n} = A \alpha^{n - 1} + B \beta^{n - 1}\) thành \(\alpha^{n}\) và \(\beta^{n}\) khiến việc thay n = 1 bị lệch hệ số.一般（いっぱん）解（かい）の公式（こうしき）における指数（しすう）を \(\alpha^{n - 1}\) ではなく誤（あやま）って \(\alpha^{n}\) と記述（きじゅつ）し、n = 1 の代入（だいにゅう）計算（けいさん）を間違（まちが）えること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Công thức chuẩn là \(a_{n} = A \alpha^{n - 1} + B \beta^{n - 1}\) để khi thay n = 1 ta có ngay \(a_{1} = A + B\).n = 1 のときに \(\alpha^{0} = 1\) となり \(a_{1} = A + B\) が直接（ちょくせつ）得（え）られるよう、指数（しすう）が n-1 であることを確認（かくにん）します。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Công thức truy hồi tuyến tính 3 số hạng \(a_{n + 2} = p\) \(a_{n + 1} + q\) \(a_{n}\) được giải thông qua phương trình đặc trưng \(x^{2} = px + q\).線形（せんけい）3項（こう）漸化（ぜんか）式（しき） \(a_{n + 2} = p\) \(a_{n + 1} + q\) \(a_{n}\) は特性（とくせい）方程（ほうてい）式（しき） \(x^{2} = px + q\) を用（もち）いて解（と）く。
  • Khi phương trình đặc trưng có 2 nghiệm phân biệt \(\alpha\) và \(\beta\), nghiệm tổng quát có dạng \(a_{n} = A \alpha^{n - 1} + B \beta^{n - 1}\).特性（とくせい）方程（ほうてい）式（しき）が2つの異（こと）なる実数（じっすう）解（かい）α, βを持（も）つ場合（ばあい）、一般（いっぱん）解（かい）は \(a_{n} = A \alpha^{n - 1} + B \beta^{n - 1}\) の形（かたち）となる。
  • Sử dụng giá trị các số hạng đầu \(a_{1}\) và \(a_{2}\) để lập hệ phương trình tìm hai hệ số A và B.初期（しょき）条件（じょうけん）\(a_{1}\), \(a_{2}\)を一般（いっぱん）解（かい）の式（しき）に代入（だいにゅう）して連立（れんりつ）方程（ほうてい）式（しき）を立（た）て、係数（けいすう）A, Bを決定（けってい）する。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

a_{n+2} = p a_{n+1} + q a_n

Dạng tổng quát của công thức truy hồi tuyến tính 3 số hạng với p và q là các hệ số hằng số.

p, qを定数（ていすう）とする線形（せんけい）3項（こう）漸化（ぜんか）式（しき）の基本（きほん）形（けい）であり、連続（れんぞく）する3項（こう）間（かん）の関係（かんけい）を示（しめ）します。

x^2 = px + q

Phương trình đặc trưng bậc hai tương ứng với công thức truy hồi tuyến tính 3 số hạng.

線形（せんけい）3項（こう）漸化（ぜんか）式（しき）から導（みちび）かれる2次（じ）方程（ほうてい）式（しき）で、漸化（ぜんか）式（しき）を解（と）くための鍵（かぎ）となる特性（とくせい）解（かい）を求（きゅう）出（だ）します。

a_n = A \alpha^{n-1} + B \beta^{n-1}

Công thức nghiệm tổng quát của dãy số khi phương trình đặc trưng có hai nghiệm phân biệt \(\alpha\) và \(\beta\).

特性（とくせい）方程（ほうてい）式（しき）が異（こと）なる2解（かい）α, βを持（も）つときの線形（せんけい）3項（こう）漸化（ぜんか）式（しき）の一般（いっぱん）解（かい）を表（あらわ）す公式（こうしき）です。

EJU 2026 · MATH.12.2

Bài học trình bày phương pháp giải công thức truy hồi tuyến tính 3 số hạng \(a_{n + 2} = p\) \(a_{n + 1} + q\) \(a_{n}\) thông qua phương trình đặc trưng \(x^{2} = px + q\). Từ các nghiệm đặc trưng, ta thiết lập công thức nghiệm tổng quát \(a_{n} = A \alpha^{n - 1} + B \beta^{n - 1}\) và tìm các hệ số A, B.

本課（ほんか）では、線形（せんけい）3項（こう）漸化（ぜんか）式（しき） \(a_{n + 2} = p\) \(a_{n + 1} + q\) \(a_{n}\) を特性（とくせい）方程（ほうてい）式（しき） \(x^{2} = px + q\) を用（もち）いて解（と）く手順（てじゅん）を解説（かいせつ）します。特性（とくせい）解（かい）α, βから一般（いっぱん）解（かい） \(a_{n} = A \alpha^{n - 1} + B \beta^{n - 1}\) の形（かたち）を構成（こうせい）し、定数（ていすう）A, Bを決定（けってい）する方法（ほうほう）を学（まな）びます。

線形（せんけい）3項（こう）漸化（ぜんか）式（しき）の一般（いっぱん）解（かい）
線形3項漸化式特性方程式特性解