Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学II・B · Toán II · B

Biểu diễn tọa độ của tích vô hướng và góc giữa hai vector内積（ないせき）の成分（せいぶん）表示（ひょうじ）とベクトルのなす角（かく）

Công thức公式

\cos\theta = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}
\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta
|\vec{p}|^2 = \vec{p}\cdot\vec{p}
|\vec{AB}|^2 = |\vec{OB}-\vec{OA}|^2 = |\vec{OB}|^2 - 2\vec{OB}\cdot\vec{OA} + |\vec{OA}|^2

Ví dụ例題

Cho hai vector a và b có độ dài tương ứng là |a| = 2, |b| = 3 và tích vô hướng bằng 3. Hãy tính cosin của góc \(\theta\) giữa hai vector và xác định góc \(\theta\) đó.

大（おお）きさ|a| = 2、|b| = 3および内積（ないせき）が3である2つのベクトルa、bが与（あた）えられています。ベクトルa、bのなす角（かく）シータのコサインを計算（けいさん）し、角度（かくど）シータを求（もと）めなさい。

  1. Tính tích hai độ dài lấy 2 nhân 3 bằng 6.大（おお）きさの積（せき） 2 \(\times\) 3 = 6を計算（けいさん）します。
  2. Tính cosin của góc lấy tích vô hướng 3 chia cho tích độ dài 6 thu được 1/2.内積（ないせき）3を大（おお）きさの積（せき）6で割（われ）るとコサインの値（あたい）1/2を得（え）ます。
  3. Vì cosin bằng 1/2 và góc \(\theta\) từ 0 độ đến 180 độ nên \(\theta\) bằng 60 độ.コサインが1/2かつ角（かく）thetaが0度（ど）から180度（ど）であるため\(\theta\) = 60^\(\circ\)となります。
Cosin của góc giữa hai vector là 1/2 và góc giữa hai vector bằng 60 độ.2つのベクトルのなす角（かく）のコサインは1/2であり、なす角（かく）は60度（ど）です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Cho hai vector a và b có độ dài |a| = 4, |b| = 5 và góc \(\theta = 120\) độ. Biết cos(120 độ) = -1/2, tính giá trị tích vô hướng của hai vector.大（おお）きさ|a| = 4、|b| = 5であり、なす角（かく）\(\theta = 120\)度（ど）である2つのベクトルa、bが与（あた）えられています。cos(120度（ど）) = -1/2であるとき、内積（ないせき）の値（あたい）を求（もと）めなさい。

2. Cho hai vector a = (1, 1) và b = (0, 2). Giá trị cosin của góc \(\theta\) giữa hai vector a và b bằng bao nhiêu?2つのベクトルa = (1, 1)とb = (0, 2)が与（あた）えられたとき、なす角（かく）\(\theta\)のコサインの値（あたい）を求（もと）めなさい。

3. Cho hai vector vị trí OA và OB thỏa mãn |OA| = 3, |OB| = 4 và tích vô hướng OB . OA = 6. Tính độ dài đoạn thẳng AB.位置（いち）ベクトルOA、OBが|OA| = 3、|OB| = 4および内積（ないせき）OB . OA = 6を満（み）たすとき、線分（せんぶん）ABの長（なが）さを求（もと）めなさい。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.14.1. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 4 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.14.1。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）4区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Tính cosin của góc giữa hai vector bằng tích vô hướng và độ dài.内積（ないせき）と大（おお）きさを用（もち）いて2つのベクトルのなす角（かく）のコサインを計算（けいさん）する。
  2. Sử dụng công thức bình phương độ dài vector để tính khoảng cách và tích vô hướng.ベクトルの大（おお）きさの2乗（のり）の公式（こうしき）を用（もち）いて距離（きょり）や内積（ないせき）を計算（けいさん）する。
Trực giác · イメージ

Xác định góc giữa hai vector qua tích vô hướng内積（ないせき）によるベクトルのなす角（かく）の決定（けってい）

Tích vô hướng kết nối độ dài hai vector và cosin của góc tạo bởi chúng. Khi biết tọa độ hoặc độ dài, ta có thể tính giá trị cosin để suy ra chính xác góc \(\theta\) giữa hai vector.

内積（ないせき）は2つのベクトルの大（おお）きさとそれらがなす角（かく）のコサインを結（むす）びつけます。成分（せいぶん）や大（おお）きさが分（わ）かっていれば、コサインの値（あたい）を計算（けいさん）して2つのベクトルのなす角（かく）シータを正確（せいかく）に求（もと）めることができます。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • ベクトルのなす角（かく）Góc giữa hai vector

    Góc \(\theta\) giữa hai vector khác vector không là góc có số đo từ 0 độ đến 180 độ. Giá trị cosin của góc này được xác định thông qua tỉ số giữa tích vô hướng và tích hai độ dài.

    2つの非（ひ）ゼロベクトルがなす角（かく）シータは0度（ど）から180度（ど）までの範囲（はんい）の角（かく）です。この角（かく）のコサインの値（あたい）は、内積（ないせき）と大（おお）きさの積（せき）の比率（ひりつ）によって決定（けってい）されます。

  • 垂直（すいちょく）条件（じょうけん）Điều kiện vuông góc

    Hai vector vuông góc khi góc giữa chúng bằng 90 độ, tương ứng với cosin bằng 0. Khi đó tích vô hướng của hai vector bằng 0.

    2つのベクトルが垂直（すいちょく）なとき、なす角（かく）は90度（ど）となり、コサインの値（あたい）は0になります。このとき2つのベクトルの内積（ないせき）は0となります。

  • 平行（へいこう）条件（じょうけん）Điều kiện song song

    Hai vector song song khi góc giữa chúng bằng 0 độ hoặc 180 độ, tương ứng với cosin bằng 1 hoặc -1. Khi đó giá trị tuyệt đối của tích vô hướng bằng tích hai độ dài.

    2つのベクトルが平行（へいこう）なとき、なす角（かく）は0度（ど）または180度（ど）であり、コサインの値（あたい）は1または-1になります。このとき内積（ないせき）の絶対（ぜったい）値（ち）は大（おお）きさの積（せき）と等（ひと）しくなります。

  • 内積（ないせき）の計算（けいさん）Tính tích vô hướng

    Tính tích vô hướng bằng cách nhân độ dài hai vector với cosin của góc tạo bởi chúng. Phép tính này giúp chuyển đổi linh hoạt giữa góc và tọa độ.

    2つのベクトルの大（おお）きさとそのなす角（かく）のコサインを掛け合（かけあ）わせて内積（ないせき）を計算（けいさん）します。この計算（けいさん）により角（かく）と成分（せいぶん）の相互（そうご）変換（へんかん）が容易（ようい）になります。

  • 単位（たんい）ベクトルVector đơn vị

    Vector đơn vị là vector có độ dài bằng 1. Tích vô hướng của một vector đơn vị với chính nó luôn bằng 1.

    単位（たんい）ベクトルとは大（おお）きさが1のベクトルのことです。単位（たんい）ベクトルと自分（じぶん）自身（じしん）との内積（ないせき）は常（つね）に1になります。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    内積（ないせき）と各（かく）ベクトルの大（おお）きさを計算（けいさん）する

    Tính tích vô hướng và độ dài từng vector

    Tính tích vô hướng và độ dài của hai vector. Ta đảm bảo độ dài các vector đều khác 0.

    2つのベクトルの内積（ないせき）および各（かく）ベクトルの大（おお）きさを計算（けいさん）します。大（おお）きさが0でないことを確認（かくにん）します。

  2. 02
    ベクトルのなす角（かく）のコサインを求（もと）める

    Tính cosin góc giữa hai vector

    Thay tích vô hướng và tích hai độ dài vào công thức tính cosin. Rút gọn phân số thu được giá trị cosin của góc.

    公式（こうしき）に内積（ないせき）と大（おお）きさの積（せき）を代入（だいにゅう）します。分数（ぶんすう）を約分（やくぶん）して角（かく）のコサインの値（あたい）を求（もと）めます。

  3. 03
    角度（かくど）シータの値（あたい）を導出（どうしゅつ）する

    Suy ra số đo góc \(\theta\)

    Từ giá trị cosin tìm được, xác định góc \(\theta\) thuộc khoảng từ 0 độ đến 180 độ. Ta kiểm tra dấu của cosin để biết góc nhọn hay góc tù.

    得（え）られたコサインの値（あたい）から0度（ど）から180度（ど）の範囲（はんい）で角（かく）シータを特定（とくてい）します。符号（ふごう）を確認（かくにん）して鋭角（えいかく）か鈍角（どんかく）かを判定（はんてい）します。

  4. 04
    線分（せんぶん）の長（なが）さを内積（ないせき）で表現（ひょうげん）する

    Biểu diễn độ dài đoạn thẳng qua tích vô hướng

    Khai triển bình phương độ dài hiệu hai vector vị trí để tính khoảng cách. Phép tính này giúp tìm độ dài đoạn thẳng từ tích vô hướng.

    位置（いち）ベクトルの差（さ）の大（おお）きさの2乗（のり）を展開（てんかい）して距離（きょり）を計算（けいさん）します。内積（ないせき）から線分（せんぶん）の長（なが）さを求（もと）めることができます。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Xác định góc giữa hai vector ra kết quả góc âm hoặc lớn hơn 180 độ.ベクトルのなす角（かく）として負（ふ）の角（かく）や180度（ど）より大（おお）きい角（かく）を答（こた）えること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Góc \(\theta\) giữa hai vector quy ước luôn nằm trong khoảng từ 0 độ đến 180 độ.2つのベクトルのなす角（かく）シータは定義（ていぎ）により常（つね）に0度（ど）から180度（ど）の範囲（はんい）に入（はい）ります。

Quên bình phương khi khai triển độ dài hiệu hai vector.ベクトルの差（さ）の大（おお）きさの展開（てんかい）で2乗（のり）を忘（わす）れること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Khai triển bình phương độ dài hiệu hai vector luôn tạo ra tích vô hướng.ベクトルの差（さ）の大（おお）きさの2乗（のり）を展開（てんかい）すると内積（ないせき）が生（しょう）じます。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Cosin của góc \(\theta\) giữa hai vector được tính bằng tỉ số giữa tích vô hướng và tích hai độ dài.2つのベクトルのなす角（かく）シータのコサインは内積（ないせき）と大（おお）きさの積（せき）の比率（ひりつ）で計算（けいさん）されます。
  • Bình phương độ dài một vector |p|^2 bằng tích vô hướng của vector đó với chính nó.ベクトルの大（だい）きさいの2乗（のり）|p|^2は、そのベクトル自身（じしん）との内積（ないせき）に等（ひと）しくなります。
  • Khoảng cách giữa hai điểm A và B được tính thông qua bình phương hiệu hai vector vị trí.2点（てん）A、B間（あいだ）の距離（きょり）は位置（いち）ベクトルの差（さ）の2乗（のり）を通（つう）じて計算（けいさん）されます。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

\cos\theta = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}

Công thức tính cosin của góc \(\theta\) tạo bởi hai vector khác vector không.

2つの非（ひ）ゼロベクトルがなす角（かく）シータのコサインを求（もと）める公式（こうしき）です。

\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta

Công thức định nghĩa tích vô hướng dựa trên độ dài hai vector và cosin góc giữa chúng.

2つのベクトルの大（おお）きさとそのなす角（かく）のコサインによる内積（ないせき）の定義（ていぎ）公式（こうしき）です。

|\vec{p}|^2 = \vec{p}\cdot\vec{p}

Bình phương độ dài của một vector bằng tích vô hướng của vector đó với chính nó.

ベクトルの大（おお）きさを2乗（の）したものは、そのベクトル自身（じしん）との内積（ないせき）に等（ひと）しくなります。

|\vec{AB}|^2 = |\vec{OB}-\vec{OA}|^2 = |\vec{OB}|^2 - 2\vec{OB}\cdot\vec{OA} + |\vec{OA}|^2

Biểu thức tính bình phương khoảng cách giữa hai điểm A và B thông qua các vector vị trí OA, OB.

位置（いち）ベクトルOA、OBを用（もち）いて2点（てん）A、B間（あいだ）の距離（きょり）の2乗（のり）を計算（けいさん）する式（しき）です。

EJU 2026 · MATH.14.1

Bài học hướng dẫn cách tính góc giữa hai vector thông qua tích vô hướng và tọa độ. Bạn cũng sẽ sử dụng quan hệ giữa bình phương độ dài và tích vô hướng để giải các bài toán hình học vector.

本課（ほんか）では、内積（ないせき）と成分（せいぶん）を用（もち）いて2つのベクトルのなす角（かく）を求（もと）める方法（ほうほう）を解説（かいせつ）します。また、ベクトルの大（おお）きさと内積（ないせき）の関係（かんけい）を利用（りよう）して、ベクトル幾何（きか）問題（もんだい）を解決（かいけつ）する手法（しゅほう）を学（まな）びます。

内積（ないせき）の成分（せいぶん）表示（ひょうじ）とベクトルのなす角（かく）
ベクトルのなす角垂直条件平行条件内積の計算