Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学II・B · Toán II · B

Tính chất của tích vô hướng và biểu diễn tọa độ内積（ないせき）の性質（せいしつ）と成分（せいぶん）表示（ひょうじ）

Công thức公式

\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2
\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0
\vec{a} \perp \vec{b} \iff a_1 b_1 + a_2 b_2 = 0
\vec{a} // \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = \pm |\vec{a}||\vec{b}|

Ví dụ例題

Cho hai vector a = (2, 3) và b = (-6, 4) trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Hãy tính tích vô hướng của hai vector và xác định mối quan hệ giữa chúng.

座標（ざひょう）平面（へいめん）Oxyにおいて、2つのベクトルa = (2, 3)およびb = (-6, 4)が与（あた）えられています。2つのベクトルの内積（ないせき）を計算（けいさん）し、それらの関係（かんけい）を求（もと）めなさい。

  1. Xác định các tọa độ a_1 = 2, a_2 = 3, b_1 = -6, b_2 = 4.各（かく）成分（せいぶん）a_1 = 2, a_2 = 3, b_1 = -6, b_2 = 4を確認（かくにん）します。
  2. Tính tích vô hướng lấy 2 nhân (-6) cộng 3 nhân 4 thu được 0.2 \(\times\) (-6) + 3 \(\times\) 4を計算（けいさん）すると0になります。
  3. Vì tích vô hướng bằng 0 nên hai vector a và b vuông góc với nhau.内積（ないせき）が0であるため、2つのベクトルaとbは垂直（すいちょく）です。
Tích vô hướng bằng 0, suy ra vector a vuông góc với vector b.内積（ないせき）が0であり、ベクトルaとベクトルbは垂直（すいちょく）であることが分（わ）かります。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Cho hai vector a = (3, 1) và b = (2, -4). Giá trị tích vô hướng của hai vector này bằng bao nhiêu?2つのベクトルa = (3, 1)とb = (2, -4)が与（あた）えられたとき、内積（ないせき）の値（あたい）はいくらですか。

2. Cho vector a = (4, x) và vector b = (3, -6). Tìm giá trị của x để vector a vuông góc với vector b.ベクトルa = (4, x)とベクトルb = (3, -6)が垂直（すいちょく）となるようなxの値（あたい）を求（もと）めなさい。

3. Cho vector a = (1, 2) và vector b = (x, 4). Tìm giá trị x dương để vector a song song với vector b.ベクトルa = (1, 2)とベクトルb = (x, 4)が平行（へいこう）となるような正（せい）の実数（じっすう）xの値（あたい）を求（もと）めなさい。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.14.1. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 2 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.14.1。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）2区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Hiểu và sử dụng biểu diễn tọa độ của tích vô hướng.内積（ないせき）の成分（せいぶん）表示（ひょうじ）を理解（りかい）し、計算（けいさん）に活用（かつよう）する。
  2. Vận dụng điều kiện vuông góc và song song để giải bài tập vector.垂直（すいちょく）条件（じょうけん）と平行（へいこう）条件（じょうけん）を応用（おうよう）してベクトルの問題（もんだい）を解（と）く。
Trực giác · イメージ

Tích vô hướng từ góc nhìn tọa độ成分（せいぶん）から見（み）た内積（ないせき）

Biểu diễn vector bằng tọa độ giúp tính tích vô hướng trực tiếp bằng các phép nhân và cộng số thực mà không cần đo góc. Khi hai vector vuông góc, tích vô hướng bằng 0; khi song song, tích vô hướng đạt giá trị tuyệt đối cực đại.

ベクトルを成分（せいぶん）で表示（ひょうじ）すると、角度（かくど）を測定（そくてい）することなく実数（じっすう）の積（せき）と和（わ）で直接（ちょくせつ）内積（ないせき）を計算（けいさん）できます。2つのベクトルが垂直（すいちょく）なとき内積（ないせき）は0になり、平行（へいこう）なとき内積（ないせき）は絶対（ぜったい）値（ち）が最大（さいだい）になります。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 垂直（すいちょく）条件（じょうけん）Điều kiện vuông góc

    Hai vector khác vector không vuông góc với nhau khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng 0. Trong hệ tọa độ, tổng tích các tọa độ tương ứng bằng 0.

    2つの非（ひ）ゼロベクトルが垂直（すいちょく）であるための必要（ひつよう）十（じゅう）分（ふん）条件（じょうけん）は内積（ないせき）が0になることです。成分（せいぶん）表示（ひょうじ）では、対応（たいおう）する成分（せいぶん）の積（せき）の和（わ）が0になります。

  • 平行（へいこう）条件（じょうけん）Điều kiện song song

    Hai vector song song với nhau khi tích vô hướng bằng cộng hoặc trừ tích độ dài của chúng. Điều này xảy ra khi góc giữa hai vector bằng 0 độ hoặc 180 độ.

    2つのベクトルが平行（へいこう）である条件（じょうけん）は、内積（ないせき）がそれらの大（おお）きさの積（せき）にプラスマイナス符号（ふごう）をつけたものと一致（いっち）することです。これはなす角（かく）が0度（ど）または180度（ど）のときに成り立（なりた）ちます。

  • 内積（ないせき）の成分（せいぶん）表示（ひょうじ）Biểu diễn tọa độ của tích vô hướng

    Tích vô hướng của hai vector trong mặt phẳng tọa độ bằng tổng các tích của hoành độ và tung độ. Công thức tính là a_1 b_1 + a_2 b_2.

    座標（ざひょう）平面（へいめん）における2つのベクトルの内積（ないせき）は、x成分（せいぶん）の積（せき）とy成分（せいぶん）の積（せき）の和（わ）で表（あらわ）されます。公式（こうしき）はa_1 b_1 + a_2 b_2です。

  • 交換（こうかん）法則（ほうそく）Tính chất giao hoán

    Tích vô hướng của vector a và vector b bằng tích vô hướng của vector b và vector a. Thứ tự nhân hai vector không làm thay đổi kết quả tích vô hướng.

    ベクトルaとベクトルbの内積（ないせき）は、ベクトルbとベクトルaの内積（ないせき）と等（ひと）しくなります。2つのベクトルの掛け合（かけあ）わせる順番（じゅんばん）を変（か）えても結果（けっか）は変（か）わりません。

  • 分配（ぶんぱい）法則（ほうそく）Tính chất phân phối

    Tích vô hướng có tính chất phân phối đối với phép cộng vector. Phép tính tích vô hướng của vector a với tổng hai vector b và c bằng tổng các tích vô hướng thành phần.

    内積（ないせき）はベクトルの加法（かほう）に対（たい）して分配（ぶんぱい）法則（ほうそく）が成り立（なりた）ちます。ベクトルaとベクトル(b+c)の内積（ないせき）は、それぞれの内積（ないせき）の和（わ）に等（ひと）しくなります。

  • 実（じつ）数（すう）倍（ばい）Phép nhân với số thực

    Khi nhân một vector với số thực k rồi tính tích vô hướng, ta có thể nhân k vào bất kỳ vector nào hoặc nhân k sau khi tính tích vô hướng. Phép nhân số thực có thể di chuyển linh hoạt trong tích vô hướng.

    ベクトルを実数（じっすう）k倍（ばい）して内積（ないせき）を計算（けいさん）する場合（ばあい）、どちらのベクトルにkを掛（か）けても、または内積（ないせき）の後（あと）にkを掛（か）けても結果（けっか）は同（おな）じです。実（じつ）数（すう）倍（ばい）の係数（けいすう）は自由（じゆう）に対象（たいしょう）を移動（いどう）できます。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ベクトルの成分（せいぶん）を特定（とくてい）する

    Xác định tọa độ của các vector

    Viết rõ tọa độ của vector a là (a_1, a_2) và vector b là (b_1, b_2). Kiểm tra các giá trị tọa độ trước khi tính toán.

    ベクトルaの成分（せいぶん）(a_1, a_2)とベクトルbの成分（せいぶん）(b_1, b_2)を書き出（かきだ）します。計算（けいさん）前（まえ）に各（かく）成分（せいぶん）の値（あたい）を確認（かくにん）します。

  2. 02
    成分（せいぶん）による内積（ないせき）の計算（けいさん）

    Tính tích vô hướng qua tọa độ

    Áp dụng công thức a_1 b_1 + a_2 b_2 để tính giá trị tích vô hướng. Ta nhân hoành độ với hoành độ, tung độ với tung độ rồi cộng lại.

    公式（こうしき）a_1 b_1 + a_2 b_2を適用（てきよう）して内積（ないせき）を計算（けいさん）します。x成分（せいぶん）同士（どうし）、y成分（せいぶん）同士（どうし）を掛け合（かけあ）わせて足（た）します。

  3. 03
    垂直（すいちょく）条件（じょうけん）の判定（はんてい）

    Kiểm tra điều kiện vuông góc

    So sánh kết quả tích vô hướng vừa tính được với 0. Nếu tích vô hướng bằng 0 thì hai vector vuông góc.

    計算（けいさん）した内積（ないせき）が0になるか比較（ひかく）します。内積（ないせき）が0であれば2つのベクトルは垂直（すいちょく）です。

  4. 04
    平行（へいこう）条件（じょうけん）の検証（けんしょう）

    Xét điều kiện song song

    So sánh tích vô hướng với cộng trừ tích độ dài hai vector. Nếu giá trị tích vô hướng bằng cộng hoặc trừ tích hai độ dài thì hai vector song song.

    内積（ないせき）と大（おお）きさの積（せき）のプラスマイナスを比較（ひかく）します。内積（ないせき）が大（おお）きさの積（せき）と一致（いっち）すれば2つのベクトルは平行（へいこう）です。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Nhầm lẫn tích vô hướng của hai vector là một vector.2つのベクトルの内積（ないせき）をベクトルと混同（こんどう）すること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Tích vô hướng của hai vector luôn là một số thực, không phải là vector.ベクトルの内積（ないせき）は常（つね）に1つの実数（じっすう）であり、ベクトルではありません。

Cho rằng tích vô hướng bằng 0 thì một trong hai vector phải là vector không.内積（ないせき）が0であれば、一方（いっぽう）のベクトルがゼロベクトルでなければならないと考（かんが）えること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Hai vector khác vector không vẫn có tích vô hướng bằng 0 nếu chúng vuông góc.2つの非（ひ）ゼロベクトルであっても、互（たが）いに垂直（すいちょく）であれば内積（ないせき）は0になります。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Tích vô hướng của hai vector trong tọa độ bằng a_1 b_1 + a_2 b_2.成分（せいぶん）表示（ひょうじ）における内積（ないせき）はa_1 b_1 + a_2 b_2で計算（けいさん）されます。
  • Hai vector vuông góc khi và chỉ khi a_1 b_1 + a_2 b_2 = 0.2つのベクトルが垂直（すいちょく）であるための必要（ひつよう）十（じゅう）分（ふん）条件（じょうけん）はa_1 b_1 + a_2 b_2 = 0です。
  • Hai vector song song khi tích vô hướng bằng cộng hoặc trừ tích độ dài hai vector.2つのベクトルが平行（へいこう）であるための必要（ひつよう）十（じゅう）分（ふん）条件（じょうけん）は内積（ないせき）が大（おお）きさの積（せき）のプラスマイナスに等（ひと）しいことです。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2

Công thức tính tích vô hướng của hai vector theo tọa độ trong mặt phẳng.

平面（へいめん）における2つのベクトルの成分（せいぶん）による内積（ないせき）の計算（けいさん）公式（こうしき）です。

\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0

Điều kiện cần và đủ để hai vector khác vector không vuông góc với nhau là tích vô hướng bằng 0.

2つの非（ひ）ゼロベクトルが垂直（すいちょく）であるための必要（ひつよう）十（じゅう）分（ふん）条件（じょうけん）は内積（ないせき）が0となることです。

\vec{a} \perp \vec{b} \iff a_1 b_1 + a_2 b_2 = 0

Điều kiện vuông góc biểu diễn theo tọa độ của hai vector.

2つのベクトルの成分（せいぶん）を用（もち）いた垂直（すいちょく）条件（じょうけん）の表現（ひょうげん）です。

\vec{a} // \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = \pm |\vec{a}||\vec{b}|

Điều kiện cần và đủ để hai vector song song biểu diễn qua tích vô hướng và độ dài.

内積（ないせき）の値（あたい）と大（おお）きさの積（せき）による2つのベクトルの平行（へいこう）条件（じょうけん）です。

EJU 2026 · MATH.14.1

Bài học giúp bạn nắm vững các tính chất đại số của tích vô hướng và biểu diễn tích vô hướng qua tọa độ. Bạn sẽ áp dụng các công thức này để xét điều kiện vuông góc và song song giữa hai vector.

本課（ほんか）では、内積（ないせき）の代数（だいすう）的（てき）性質（せいしつ）と成分（せいぶん）による内積（ないせき）の表示（ひょうじ）をマスターします。これらの公式（こうしき）を用（もち）いて、2つのベクトルの垂直（すいちょく）条件（じょうけん）や平行（へいこう）条件（じょうけん）を判定（はんてい）する手法（しゅほう）を学（まな）びます。

内積（ないせき）の性質（せいしつ）と成分（せいぶん）表示（ひょうじ）
垂直条件平行条件内積の成分表示交換法則