Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学II・B · Toán II · B

Ứng dụng tích vô hướng vào hình học内積（ないせき）の図形（ずけい）への応用（おうよう）

Công thức公式

S = \frac{1}{2}\sqrt{|\vec{AB}|^2|\vec{AC}|^2 - (\vec{AB} \cdot \vec{AC})^2}
S = \frac{1}{2}|x_1 y_2 - x_2 y_1|
AB^2 + AC^2 = 2(AM^2 + BM^2)
\vec{AC} \cdot \vec{BD} = 0

Ví dụ例題

Cho tam giác ABC có hai vectơ AB = (3, 1) và AC = (1, 2). Tính diện tích S của tam giác ABC.

2つのベクトル AB = (3, 1) と AC = (1, 2) で表（あらわ）される三角形（さんかくけい） ABC の面積（めんせき） S を求（もと）めよ。

  1. Bước 1: Xác định tọa độ các thành phần: Ta có x1 = 3, y1 = 1 đối với vectơ AB và x2 = 1, y2 = 2 đối với vectơ AC.ステップ1：成分（せいぶん）の値（あたい）を特定（とくてい）する：ベクトルABに対（たい）して x1 = 3, y1 = 1、ベクトルACに対（たい）して x2 = 1, y2 = 2 となります。
  2. Bước 2: Áp dụng công thức diện tích theo tọa độ: Thay tọa độ vào công thức S = (1/2)|x1*y2 - x2*y1|, ta tính được S = (1/2)|3*2 - 1*1|.ステップ2：成分（せいぶん）による面積（めんせき）公式（こうしき）を適用（てきよう）する：公式（こうしき） S = (1/2)|x1*y2 - x2*y1| に代入（だいにゅう）すると、S = (1/2)|3*2 - 1*1| となります。
  3. Bước 3: Thực hiện phép tính: Ta có S = (1/2)|6 - 1| = (1/2)*5 = 5/2.ステップ3：計算（けいさん）を実行（じっこう）する：S = (1/2)|6 - 1| = (1/2)*5 = 5/2 と計算（けいさん）されます。
Vậy diện tích tam giác ABC là S = 5/2.したがって、三角形（さんかくけい） ABC の面積（めんせき）は S = 5/2 です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Cho hai vectơ AB = (4, 2) và AC = (2, 4). Tính diện tích tam giác ABC.2つのベクトル AB = (4, 2) と AC = (2, 4) によってつくられる三角形（さんかくけい） ABC の面積（めんせき）を求（もと）めよ。

2. Cho tam giác ABC có AB = 5, AC = 5 và đường trung tuyến AM = 4. Tính độ dài cạnh BC.三角形（さんかくけい） ABC において AB = 5, AC = 5, 中線（ちゅうせん） AM = 4 であるとき、辺（へん） BC の長（なが）さを求（もと）めよ。

3. Cho hai vectơ AC = (x, 3) và BD = (2, -4). Tìm giá trị của x để AC và BD vuông góc với nhau.2つのベクトル AC = (x, 3) と BD = (2, -4) が直交（ちょっこう）するとき、x の値（あたい）を求（もと）めよ。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.14.1. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 2 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.14.1。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）2区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Nắm vững công thức tính diện tích tam giác bằng tích vô hướng và tọa độ.内積（ないせき）および成分（せいぶん）を用（もち）いた三角形（さんかくけい）の面積（めんせき）公式（こうしき）を習得（しゅうとく）する。
  2. Hiểu và áp dụng điều kiện vuông góc giữa hai đường thẳng hoặc hai vectơ.2つのベクトルや直線（ちょくせん）が直交（ちょっこう）する条件（じょうけん）を理解（りかい）し応用（おうよう）する。
  3. Vận dụng định lý đường trung tuyến để tính độ dài các cạnh và trung tuyến.中線（ちゅうせん）定理（ていり）を用（もち）いて辺（へん）や中線（ちゅうせん）の長（なが）さを計算（けいさん）できるようにする。
Trực giác · イメージ

Chuyển đổi quan hệ góc và khoảng cách sang phép tính đại số角度（かくど）と距離（きょり）の関係（かんけい）を代数（だいすう）計算（けいさん）に変換（へんかん）する

Tích vô hướng kết hợp cả độ dài và góc giữa hai vectơ thành một số thực duy nhất. Nhờ đó, các tính chất hình học như tính vuông góc hay diện tích được chuyển thành các phép tính số học đơn giản.

内積（ないせき）は2つのベクトルの長（なが）さとなす角（かく）を1つの実数（じっすう）に統合（とうごう）します。これにより、垂直（すいちょく）条件（じょうけん）や面積（めんせき）などの図形（ずけい）的（てき）性質（せいしつ）を簡単（かんたん）な数値（すうち）計算（けいさん）に置き換（おきか）えることができます。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 三角形（さんかくけい）の面積（めんせき）Diện tích tam giác

    Diện tích tam giác tạo bởi hai vectơ được tính qua độ dài và tích vô hướng của chúng.

    2つのベクトルで形成（けいせい）される三角形（さんかくけい）の面積（めんせき）は、その大（おお）きさと内積（ないせき）を用（もち）いて計算（けいさん）されます。

  • 中線（ちゅうせん）定理（ていり）Định lý đường trung tuyến

    Mối liên hệ giữa độ dài hai cạnh của tam giác và đường trung tuyến ứng với cạnh thứ ba.

    三角形（さんかくけい）の2辺（へん）の長（なが）さと、第（だい）3辺（へん）への中線（ちゅうせん）の長（なが）さとの間（あいだ）の関係（かんけい）式（しき）です。

  • 直交（ちょっこう）条件（じょうけん）Điều kiện vuông góc

    Hai vectơ khác vectơ 0 vuông góc với nhau khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng 0.

    2つの非（ひ）ゼロベクトルが直交（ちょっこう）するための必要（ひつよう）十（じゅう）分（ふん）条件（じょうけん）は、それらの内積（ないせき）が0になることです。

  • 外心（がいしん）Tâm đường tròn ngoại tiếp

    Giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác, cách đều ba đỉnh của tam giác.

    三角形（さんかくけい）の3辺（へん）の垂直（すいちょく）二（に）等（とう）分線（ぶんせん）の交点（こうてん）であり、3頂点（ちょうてん）からの距離（きょり）が等（ひと）しくなります。

  • 重心（じゅうしん）Trọng tâm

    Giao điểm của ba đường trung tuyến trong tam giác, chia mỗi trung tuyến theo tỉ lệ 2:1.

    三角形（さんかくけい）の3本（ほん）の中線（ちゅうせん）の交点（こうてん）であり、各（かく）中線（ちゅうせん）を2:1の比（ひ）に内分（ないぶん）します。

  • 垂心（すいしん）Trực tâm

    Giao điểm của ba đường cao trong tam giác, thỏa mãn các điều kiện vuông góc vectơ.

    三角形（さんかくけい）の3つの頂点（ちょうてん）からの垂線（すいせん）の交点（こうてん）であり、ベクトルの直交（ちょっこう）条件（じょうけん）を満（み）たします。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：基準（きじゅん）となるベクトルを設定（せってい）する

    Bước 1: Xác định các vectơ đại diện

    Chọn điểm gốc và biểu diễn các điểm, cạnh của hình bằng các vectơ. Điều này giúp đưa bài toán hình học về bài toán đại số vectơ.

    始点（してん）を決定（けってい）し、図形（ずけい）の頂点（ちょうてん）や辺（へん）をベクトルで表（あらわ）します。これにより図形（ずけい）問題（もんだい）をベクトルの代数（だいすう）問題（もんだい）に変換（へんかん）します。

  2. 02
    ステップ2：大（おお）きさと内積（ないせき）を計算（けいさん）する

    Bước 2: Tính độ dài và tích vô hướng

    Tính độ dài các vectơ và tích vô hướng giữa chúng từ dữ kiện đề bài. Các giá trị này là cơ sở để tính diện tích hoặc kiểm tra độ vuông góc.

    与（あた）えられた条件（じょうけん）からベクトルの大（おお）きさと内積（ないせき）を求（もと）めます。これらの値（あたい）は面積（めんせき）計算（けいさん）や直交（ちょっこう）判定（はんてい）の基礎（きそ）となります。

  3. 03
    ステップ3：適切（てきせつ）な公式（こうしき）を適用（てきよう）する

    Bước 3: Áp dụng công thức phù hợp

    Sử dụng công thức diện tích tam giác hoặc điều kiện tích vô hướng bằng 0 tùy theo yêu cầu. Đảm bảo tính toán chính xác các phép căn thức và bình phương.

    目的（もくてき）の条件（じょうけん）に応（おう）じて三角形（さんかくけい）の面積（めんせき）公式（こうしき）や内積（ないせき）ゼロの直交（ちょっこう）条件（じょうけん）を適用（てきよう）します。計算（けいさん）を正確（せいかく）に行（おこな）います。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Quên dấu giá trị tuyệt đối hoặc căn bậc hai trong công thức diện tích tam giác.面積（めんせき）公式（こうしき）において絶対（ぜったい）値（ち）記号（きごう）や平方（へいほう）根（ね）を忘（わす）れてしまうこと。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Luôn nhớ diện tích là số không âm. Kiểm tra kỹ biểu thức dưới dấu căn hoặc giá trị tuyệt đối.面積（めんせき）は常（つね）に非（ひ）負（ふ）であることに注意（ちゅうい）し、根号（こんごう）内（ない）や絶対（ぜったい）値（ち）の計算（けいさん）を確実（かくじつ）に確認（かくにん）してください。

Nhầm lẫn giữa tích vô hướng bằng 0 với tích vô hướng bằng 1 khi hai vectơ vuông góc.ベクトルが直交（ちょっこう）するときに内積（ないせき）が1になると誤解（ごかい）すること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Điều kiện hai vectơ vuông góc luôn là tích vô hướng của chúng bằng 0.2つのベクトルが直交（ちょっこう）する条件（じょうけん）は常（つね）に内積（ないせき）が0になることです。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Diện tích tam giác có thể tính nhanh bằng tích vô hướng hoặc tọa độ hai vectơ chung gốc.三角形（さんかくけい）の面積（めんせき）は、始点（してん）を共有（きょうゆう）する2ベクトルの内積（ないせき）または成分（せいぶん）を用（もち）いて迅速（じんそく）に計算（けいさん）できます。
  • Hai vectơ vuông góc khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng 0.2つのベクトルが直交（ちょっこう）する条件（じょうけん）は、それらの内積（ないせき）が0になることです。
  • Định lý đường trung tuyến giúp liên hệ độ dài các cạnh và độ dài trung tuyến trong tam giác.中線（ちゅうせん）定理（ていり）は三角形（さんかくけい）の辺（へん）の長（なが）さと中線（ちゅうせん）の長（なが）さの関係（かんけい）を求（もと）める際（さい）に有効（ゆうこう）です。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

S = \frac{1}{2}\sqrt{|\vec{AB}|^2|\vec{AC}|^2 - (\vec{AB} \cdot \vec{AC})^2}

Công thức tính diện tích tam giác ABC qua độ dài và tích vô hướng của hai vectơ chung gốc AB và AC.

始点（してん）を共有（きょうゆう）する2つのベクトルABとACの大（おお）きさと内積（ないせき）を用（もち）いた三角形（さんかくけい）ABCの面積（めんせき）公式（こうしき）。

S = \frac{1}{2}|x_1 y_2 - x_2 y_1|

Công thức tính diện tích tam giác khi biết tọa độ hai vectơ AB = (x1, y1) và AC = (x2, y2).

2つのベクトルAB = (x1, y1)とAC = (x2, y2)の成分（せいぶん）表示（ひょうじ）に基（もと）づく三角形（さんかくけい）の面積（めんせき）公式（こうしき）。

AB^2 + AC^2 = 2(AM^2 + BM^2)

Định lý đường trung tuyến AM trong tam giác ABC với M là trung điểm của BC.

三角形（さんかくけい）ABCにおいて、辺（へん）BCの中点（ちゅうてん）をMとするときの中線（ちゅうせん）定理（ていり）の公式（こうしき）。

\vec{AC} \cdot \vec{BD} = 0

Điều kiện để hai đường chéo AC và BD của tứ giác vuông góc với nhau.

四角形（しかくけい）の2つの対角（たいかく）線（せん）ACとBDが直交（ちょっこう）するためのベクトル条件（じょうけん）。

EJU 2026 · MATH.14.1

Tích vô hướng của vectơ giúp tính diện tích tam giác và chứng minh các mối quan hệ vuông góc trong hình học. Bài học này hướng dẫn áp dụng tích vô hướng để giải quyết các bài toán hình học phẳng và không gian.

ベクトルの内積（ないせき）を利用（りよう）することで、三角形（さんかくけい）の面積（めんせき）の計算（けいさん）や図形（ずけい）の垂直（すいちょく）関係（かんけい）の証明（しょうめい）が可能（かのう）になります。本課（ほんか）では内積（ないせき）を図形（ずけい）問題（もんだい）に応用（おうよう）する手法（しゅほう）を学（まな）びます。

内積（ないせき）の図形（ずけい）への応用（おうよう）
三角形の面積中線定理直交条件外心