Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学II・B · Toán II · B

Biểu thức và chứng minh, phương trình và số phức式（しき）と証明（しょうめい）・方程（ほうてい）式（しき）と複素（ふくそ）数（すう）

Công thức公式

\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
D = b^2 - 4ac
\alpha + \beta = -\frac{b}{a}

Ví dụ例題

Cho phương trình \(x^{2} - 4 x + 5 = 0\). Tính biệt thức D, xác định loại nghiệm và tính tổng hai nghiệm \(\alpha + \beta\) của phương trình.

2次（じ）方程（ほうてい）式（しき） \(x^{2} - 4 x + 5 = 0\) について、判別（はんべつ）式（しき）Dを計算（けいさん）して解（かい）の種類（しゅるい）を判定（はんてい）し、2つの解（かい）の和（わ） \(\alpha + \beta\) を求（もと）めよ。

  1. Xác định các hệ số a = 1, b = -4, c = 5. Tính biệt thức \(D = b^{2} - 4 ac = (-4)^{2} - 4\cdot (1)\cdot (5) = 16 - 20 = -4\).係数（けいすう） a = 1, b = -4, c = 5 を特定（とくてい）する。判別（はんべつ）式（しき） \(D = b^{2} - 4 ac = (-4)^{2} - 4\cdot (1)\cdot (5) = 16 - 20 = -4\) を計算（けいさん）する。
  2. Vì D = -4 < 0 nên phương trình có hai nghiệm ảo (nghiệm phức không thực).D = -4 < 0 であるため、方程（ほうてい）式（しき）は異（こと）なる2つの虚数（きょすう）解（かい）を持（も）つ。
  3. Áp dụng công thức tổng hai nghiệm: \(\alpha + \beta = -b / a = -(-4) / 1 = 4\).解（かい）と係数（けいすう）の関係（かんけい）より、2つの解（かい）の和（わ） \(\alpha + \beta = -b / a = -(-4) / 1 = 4\) となる。
Phương trình có D = -4 < 0 nên có 2 nghiệm ảo, và tổng hai nghiệm \(\alpha + \beta = 4\).判別（はんべつ）式（しき） D = -4 < 0 より2つの虚数（きょすう）解（かい）を持（も）ち、2解（かい）の和（わ） \(\alpha + \beta\) は 4 である。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Cho a > 0. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a + 4/a là bao nhiêu?a > 0 のとき、式（しき） P = a + 4/a の最小（さいしょう）値（ち）を求（もと）めよ。

2. Giá trị của biệt thức D của phương trình \(x^{2} - 6 x + 9 = 0\) và loại nghiệm của nó là gì?2次（じ）方程（ほうてい）式（しき） \(x^{2} - 6 x + 9 = 0\) の判別（はんべつ）式（しき）Dの値（あたい）と解（かい）の種類（しゅるい）として正（ただ）しいものはどれか。

3. Cho phương trình \(2 x^{2} - 8 x + 5 = 0\) có hai nghiệm \(\alpha\) và \(\beta\). Tổng \(\alpha + \beta\) bằng bao nhiêu?2次（じ）方程（ほうてい）式（しき） \(2 x^{2} - 8 x + 5 = 0\) の2つの解（かい）を \(\alpha\), \(\beta\) とするとき、和（わ） \(\alpha + \beta\) の値（あたい）を求（もと）めよ。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.8.1 · MATH.8.2. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.8.1 · MATH.8.2。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Áp dụng mối quan hệ giữa trung bình cộng và trung bình nhân để chứng minh bất đẳng thức cho các số thực dương.正（せい）の実数（じっすう）に対（たい）して相加（そうか）平均（へいきん）と相乗（そうじょう）平均（へいきん）の大小（だいしょう）関係（かんけい）を適用（てきよう）し、不（ふ）等式（とうしき）を証明（しょうめい）できるようになる。
  2. Sử dụng biệt thức D để xét số nghiệm thực, nghiệm kép hoặc nghiệm ảo của phương trình bậc hai.判別（はんべつ）式（しき）Dを用（もち）いて、2次（じ）方程（ほうてい）式（しき）の実数（じっすう）解（かい）、重解（じゅうかい）、虚数（きょすう）解（かい）を判定（はんてい）できるようになる。
  3. Vận dụng công thức nghiệm và định lý Vi-ét (tổng hai nghiệm) để giải phương trình và tìm quan hệ giữa các nghiệm.解（かい）の公式（こうしき）および解（かい）と係数（けいすう）の関係（かんけい）（2解（かい）の和（わ））を利用（りよう）して、方程（ほうてい）式（しき）を解（と）き解（かい）の性質（せいしつ）を導出（どうしゅつ）できるようになる。
Trực giác · イメージ

Cân bằng giữa các số và bản chất nghiệm của phương trình数（すう）のバランスと方程（ほうてい）式（しき）の解（かい）の本質（ほんしつ）

Trung bình cộng luôn không nhỏ hơn trung bình nhân đối với các số dương, thể hiện tính cân bằng trong đại số. Tương tự, dấu của biệt thức D quyết định phương trình cắt, tiếp xúc hay không cắt trục thực trong tập số phức.

正（せい）の数（かず）において相加（そうか）平均（へいきん）は常（つね）に相乗（そうじょう）平均（へいきん）以上（いじょう）となり、代数（だいすう）的（てき）なバランスを示（しめ）します。同様（どうよう）に判別（はんべつ）式（しき）Dの符号（ふごう）は、方程（ほうてい）式（しき）が実数（じっすう）解（かい）（重解（じゅうかい）含（ふく）む）を持（も）つか虚数（きょすう）解（かい）を持（も）つかの本質（ほんしつ）を決定（けってい）します。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 相加（そうか）平均（へいきん）と相乗（そうじょう）平均（へいきん）の大小（だいしょう）関係（かんけい）Mối quan hệ giữa trung bình cộng và trung bình nhân

    Bất đẳng thức phát biểu rằng đối với các số thực dương, trung bình cộng luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng.

    正（せい）の実数（じっすう）に対（たい）して、相加（そうか）平均（へいきん）は常（つね）に相乗（そうじょう）平均（へいきん）以上（いじょう）であるという不（ふ）等式（とうしき）関係（かんけい）です。

  • 2次（じ）方程（ほうてい）式（しき）の解（かい）Nghiệm của phương trình bậc hai

    Các giá trị của ẩn x thỏa mãn phương trình bậc hai, có thể là số thực hoặc số phức.

    2次（じ）方程（ほうてい）式（しき）を満足（まんぞく）する未知（みち）数（すう）xの値（あたい）であり、実数（じっすう）または複素（ふくそ）数（すう）の範囲（はんい）で存在（そんざい）します。

  • 判別（はんべつ）式（しき）Biệt thức

    Biểu thức \(D = b^{2} - 4 ac\) dùng để xác định số lượng và bản chất các nghiệm của phương trình bậc hai.

    2次（じ）方程（ほうてい）式（しき）の解（かい）の個数（こすう）や種類（しゅるい）を判別（はんべつ）するための式（しき） \(D = b^{2} - 4 ac\) です。

  • 実数（じっすう）解（かい）Nghiệm thực

    Nghiệm của phương trình thuộc tập số thực, xảy ra khi biệt thức D lớn hơn hoặc bằng 0.

    実数（じっすう）の範囲（はんい）に存在（そんざい）する方程（ほうてい）式（しき）の解（かい）であり、判別（はんべつ）式（しき） D >= 0 のときに現（あらわ）れます。

  • 重解（じゅうかい）Nghiệm kép

    Trường hợp đặc biệt của nghiệm thực khi hai nghiệm của phương trình bậc hai trùng nhau, ứng với D = 0.

    2次（じ）方程（ほうてい）式（しき）の2つの解（かい）が一致（いっち）する特別（とくべつ）な実数（じっすう）解（かい）であり、判別（はんべつ）式（しき） D = 0 に対応（たいおう）します。

  • 虚数（きょすう）解（かい）Nghiệm ảo

    Nghiệm không phải số thực chứa đơn vị ảo i, xuất hiện khi biệt thức D nhỏ hơn 0.

    虚数（きょすう）単位（たんい）iを含（ふく）む実数（じっすう）でない解（かい）であり、判別（はんべつ）式（しき） D < 0 のときにペアで現（あらわ）れます。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：相加（そうか）・相乗（そうじょう）平均（へいきん）の適用（てきよう）前（まえ）に正（せい）の条件（じょうけん）を確認（かくにん）する

    Bước 1: Kiểm tra điều kiện số dương trước khi dùng trung bình cộng - trung bình nhân

    Xác định các số a, b trong biểu thức và đảm bảo a > 0, b > 0. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b.

    式中（しきちゅう）のa, bを特定（とくてい）し、a > 0 かつ b > 0 であることを確認（かくにん）します。等号（とうごう）成立（せいりつ）条件（じょうけん）は a = b です。

  2. 02
    ステップ2：2次（じ）方程（ほうてい）式（しき）の判別（はんべつ）式（しき）Dを計算（けいさん）する

    Bước 2: Tính biệt thức D của phương trình bậc hai

    Viết phương trình về dạng chuẩn \(ax^{2} + bx + c = 0\) và tính \(D = b^{2} - 4 ac\). Xác định dấu của D để phân loại loại nghiệm.

    方程（ほうてい）式（しき）を標準（ひょうじゅん）形（けい） \(ax^{2} + bx + c = 0\) に整理（せいり）し、\(D = b^{2} - 4 ac\) を計算（けいさん）します。Dの符号（ふごう）から解（かい）の種類（しゅるい）を判定（はんてい）します。

  3. 03
    ステップ3：Dの値（あたい）に基（もと）づいて解（かい）の種類（しゅるい）を分類（ぶんるい）する

    Bước 3: Phân loại nghiệm dựa trên giá trị của D

    Nếu D > 0 phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt; D = 0 có nghiệm kép; D < 0 có 2 nghiệm ảo. Tính nghiệm bằng công thức nghiệm.

    D > 0なら異（こと）なる2つの実数（じっすう）解（かい）、D = 0なら重解（じゅうかい）、D < 0なら異（こと）なる2つの虚数（きょすう）解（かい）となります。解（かい）の公式（こうしき）を用（もち）いて値（あたい）を求（もと）めます。

  4. 04
    ステップ4：解（かい）と係数（けいすう）の関係（かんけい）（和（わ））を利用（りよう）する

    Bước 4: Sử dụng quan hệ giữa các nghiệm (tổng hai nghiệm)

    Sử dụng công thức \(\alpha + \beta = -b / a\) để tính nhanh tổng hai nghiệm mà không cần giải chi tiết phương trình. Kết hợp kết quả để hoàn thành bài toán.

    解（かい）の公式（こうしき）で解（かい）を直接（ちょくせつ）求（もと）めずに、\(\alpha + \beta = -b / a\) を用（もち）いて2解（かい）の和（わ）を迅速（じんそく）に計算（けいさん）します。結果（けっか）を総合（そうごう）して問題（もんだい）を解決（かいけつ）します。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Sử dụng bất đẳng thức trung bình cộng - trung bình nhân khi các số a, b chưa chắc chắn dương.a, bが正（せい）である確証（かくしょう）がないまま相加（そうか）・相乗（そうじょう）平均（へいきん）の大小（だいしょう）関係（かんけい）を適用（てきよう）してしまう。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Luôn kiểm tra và nêu rõ điều kiện a > 0 và b > 0 trước khi áp dụng bất đẳng thức.不（ふ）等式（とうしき）を適用（てきよう）する前（まえ）に、必（かなら）ず a > 0 かつ b > 0 の前提（ぜんてい）条件（じょうけん）を確認（かくにん）・明記（めいき）します。

Kết luận phương trình vô nghiệm khi D < 0 thay vì kết luận có nghiệm ảo trên tập số phức.D < 0 のときに「解（かい）なし」と結論（けつろん）づけてしまい、複素（ふくそ）数（すう）範囲（はんい）での虚数（きょすう）解（かい）を無視（むし）する。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Trong chương trình số phức, khi D < 0 phương trình có 2 nghiệm ảo phân biệt chứa đơn vị ảo i.複素（ふくそ）数（すう）の範囲（はんい）では、D < 0 のときは虚数（きょすう）単位（たんい）iを含（ふく）む2つの虚数（きょすう）解（かい）が存在（そんざい）すると結論（けつろん）づけます。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân \((a + b) / 2 \ge \sqrt{ab}\) chỉ áp dụng cho các số thực dương a, b > 0.相加（そうか）平均（へいきん）と相乗（そうじょう）平均（へいきん）の大小（だいしょう）関係（かんけい） \((a + b) / 2 \ge \sqrt{ab}\) は、正（せい）の実数（じっすう） a, b > 0 の場合（ばあい）にのみ適用（てきよう）できる。
  • Biệt thức \(D = b^{2} - 4 ac\) quyết định loại nghiệm: D > 0 (2 nghiệm thực), D = 0 (nghiệm kép), D < 0 (2 nghiệm ảo).判別（はんべつ）式（しき） \(D = b^{2} - 4 ac\) により解（かい）を判定（はんてい）する：D > 0（異（こと）なる2実数（じっすう）解（かい））、D = 0（重解（じゅうかい））、D < 0（異（こと）なる2虚数（きょすう）解（かい））。
  • Công thức tổng hai nghiệm \(\alpha + \beta = -b / a\) giúp tính nhanh mối liên hệ giữa các nghiệm từ các hệ số.解（かい）と係数（けいすう）の関係（かんけい） \(\alpha + \beta = -b / a\) を使（つか）うことで、方程（ほうてい）式（しき）を解（と）かずに解（かい）の和（わ）を直接（ちょくせつ）計算（けいさん）できる。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}

Bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân cho hai số thực dương a và b.

2つの正（せい）の実数（じっすう）a, bに対（たい）する相加（そうか）平均（へいきん）と相乗（そうじょう）平均（へいきん）の大小（だいしょう）関係（かんけい）の公式（こうしき）です。

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Công thức nghiệm tổng quát của phương trình bậc hai \(ax^{2} + bx + c = 0\) với a khác 0.

a ≠ 0 である2次（じ）方程（ほうてい）式（しき） \(ax^{2} + bx + c = 0\) の解（かい）の公式（こうしき）です。

D = b^2 - 4ac

Công thức biệt thức D dùng để xét số nghiệm và loại nghiệm của phương trình bậc hai.

2次（じ）方程（ほうてい）式（しき）の解（かい）の種類（しゅるい）（実数（じっすう）解（かい）・重解（じゅうかい）・虚数（きょすう）解（かい））を判別（はんべつ）する判別（はんべつ）式（しき）Dの公式（こうしき）です。

\alpha + \beta = -\frac{b}{a}

Công thức tổng hai nghiệm \(\alpha\) và \(\beta\) của phương trình bậc hai theo các hệ số a và b.

2次（じ）方程（ほうてい）式（しき）の2つの解（かい）\(\alpha\), \(\beta\)の和（わ）と係数（けいすう）a, bの関係（かんけい）式（しき）です。

EJU 2026 · MATH.8.1 · MATH.8.2

Bài học cung cấp các công cụ đại số quan trọng gồm bất đẳng thức trung bình cộng - trung bình nhân và các tính chất nghiệm của phương trình bậc hai. Bạn sẽ nắm vững cách chứng minh bất đẳng thức cũng như phân loại và tính toán nghiệm trên tập số phức.

本課（ほんか）では、相加（そうか）平均（へいきん）・相乗（そうじょう）平均（へいきん）の大小（だいしょう）関係（かんけい）および2次（じ）方程（ほうてい）式（しき）の解（かい）の性質（せいしつ）という重要（じゅうよう）な代数（だいすう）ツールを学（まな）びます。不（ふ）等式（とうしき）の証明（しょうめい）手法（しゅほう）に加（くわ）え、複素（ふくそ）数（すう）範囲（はんい）での解（かい）の判別（はんべつ）や計算（けいさん）をマスターします。

式（しき）と証明（しょうめい）・方程（ほうてい）式（しき）と複素（ふくそ）数（すう）
相加平均と相乗平均の大小関係2次方程式の解判別式実数解