Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学II・B · Toán II · B

Tỉ số điểm chia trong tam giác三角形（さんかくけい）における分点（ぶんてん）比（ひ）

Công thức公式

\frac{AP}{PB} \cdot \frac{BR}{RC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1
\frac{AE}{EB} \cdot \frac{BF}{FC} \cdot \frac{CD}{DA} = 1

Ví dụ例題

Cho tam giác ABC. Trên các cạnh AB, BC, CA lấy các điểm D, E, F sao cho AD/DB = 2/1, BE/EC = 3/2. Biết các đoạn thẳng AE, BF, CD đồng quy tại điểm O. Tính tỉ số CF/FA.

三角形（さんかくけい）ABCにおいて、辺（へん）AB, BC, CA上（うえ）にそれぞれ点（てん）D, E, Fがあり、AD/DB = 2/1, BE/EC = 3/2 である。線分（せんぶん）AE, BF, CDが1点（てん）Oで交（まじ）わるとき、比（ひ） CF/FA を求（もと）めよ。

  1. Do các đoạn thẳng AE, BF, CD đồng quy tại O, áp dụng định lý Ceva cho tam giác ABC ta có: (AD/DB) * (BE/EC) * (CF/FA) = 1.線分（せんぶん）AE, BF, CDが1点（てん）で交（まじ）わるため、三角形（さんかくけい）ABCにチェバの定理（ていり）を適用（てきよう）すると (AD/DB) * (BE/EC) * (CF/FA) = 1 が成り立（なりた）つ。
  2. Thay các tỉ số đã biết AD/DB = 2/1 và BE/EC = 3/2 vào công thức: (2/1) * (3/2) * (CF/FA) = 1.既知（きち）の比（ひ） AD/DB = 2/1 および BE/EC = 3/2 を代入（だいにゅう）すると (2/1) * (3/2) * (CF/FA) = 1 となる。
  3. Rút gọn hệ số ta được 3 * (CF/FA) = 1, suy ra CF/FA = 1/3.係数（けいすう）を整理（せいり）すると 3 * (CF/FA) = 1 となり、CF/FA = 1/3 を得（う）る。
Tỉ số CF/FA bằng 1/3.求（もと）める比（ひ） CF/FA は 1/3 である。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Cho tam giác ABC. Trên các cạnh AB, BC, CA lấy các điểm D, E, F sao cho AD/DB = 1/2, BE/EC = 4/1. Biết AE, BF, CD đồng quy. Tính tỉ số CF/FA.三角形（さんかくけい）ABCの辺（へん）AB, BC, CA上（うえ）に点（てん）D, E, Fがあり、AD/DB = 1/2, BE/EC = 4/1 である。AE, BF, CDが1点（てん）で交（まじ）わるとき、CF/FAの値（あたい）を求（もと）めよ。

2. Cho tam giác ABC và đường thẳng d cắt các cạnh AB, AC và đường kéo dài của BC lần lượt tại R, Q, P. Biết AR/RB = 3/1 và CQ/QA = 1/2. Tính tỉ số BP/PC.三角形（さんかくけい）ABCにおいて、直線（ちょくせん）dが辺（へん）AB, ACおよび辺（へん）BCの延長（えんちょう）線（せん）とそれぞれ点（てん）R, Q, Pで交（まじ）わっている。AR/RB = 3/1, CQ/QA = 1/2 のとき、BP/PC の値（あたい）を求（もと）めよ。

3. Cho tam giác ABC. Điểm D trên AB sao cho AD/DB = 3/2, điểm E trên BC sao cho BE/EC = 1/3. Nếu các đoạn AE, BF, CD đồng quy tại O với F trên AC, tỉ số AF/FC bằng bao nhiêu?三角形（さんかくけい）ABCにおいて、辺（へん）AB上（うえ）の点（てん）Dが AD/DB = 3/2、辺（へん）BC上（うえ）の点（てん）Eが BE/EC = 1/3 を満（み）たす。AE, BF, CDが点（てん）Oで交（まじ）わるとき、AF/FCの値（あたい）を求（もと）めよ。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.7.1. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.7.1。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Hiểu và áp dụng định lý Menelaus để tính tỉ số các đoạn thẳng khi có đường thẳng cắt ba cạnh tam giác.直線（ちょくせん）が三角形（さんかくけい）の3辺（へん）と交（まじ）わる場合（ばあい）にメネラウスの定理（ていり）を適用（てきよう）して線分（せんぶん）比（ひ）を計算（けいさん）できるようになる。
  2. Hiểu và áp dụng định lý Ceva để xác định tỉ số điểm chia khi ba đường thẳng đồng quy.3直線（ちょくせん）が1点（てん）で交（まじ）わる場合（ばあい）にチェバの定理（ていり）を適用（てきよう）して分点（ぶんてん）比（ひ）を決定（けってい）できるようになる。
  3. Sử dụng tỉ số điểm chia để xác định điều kiện thẳng hàng của ba điểm.分点（ぶんてん）比（ひ）を用（もち）いて3点（てん）が同一（どういつ）直線（ちょくせん）上（じょう）にある共（きょう）線（せん）条件（じょうけん）を判定（はんてい）できるようになる。
Trực giác · イメージ

Sự cân bằng tỉ số khi di chuyển xung quanh các đỉnh tam giác三角形（さんかくけい）の頂点（ちょうてん）を巡（めぐ）る比（ひ）のバランス

Hãy hình dung bạn đi một vòng quanh các đỉnh của tam giác theo các điểm chia trên cạnh. Tích các tỉ số độ dài đoạn thẳng tạo thành một chu trình khép kín luôn bằng 1, giúp liên kết độ dài các đoạn thẳng với nhau.

三角形（さんかくけい）の頂点（ちょうてん）を各辺（かくへん）の分点（ぶんてん）を経由（けいゆ）して一（いち）周（しゅう）する移動（いどう）をイメージしてください。連続（れんぞく）する線分（せんぶん）比（ひ）の積（せき）が1になるという関係（かんけい）性（せい）は、複雑（ふくざつ）な線分（せんぶん）比（ひ）を一意（いちい）に結（むす）びつける役割（やくわり）を果（は）たします。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 共（きょう）線（せん）条件（じょうけん）Điều kiện thẳng hàng

    Điều kiện để ba điểm cùng nằm trên một đường thẳng. Trong tam giác, điều kiện này thường được xác định dựa trên tỉ số chia điểm hoặc định lý Menelaus.

    3点（てん）が同一（どういつ）直線（ちょくせん）上（じょう）にあるための条件（じょうけん）です。三角形（さんかくけい）においては分点（ぶんてん）比（ひ）やメネラウスの定理（ていり）を用（もち）いて判定（はんてい）されます。

  • メネラウスの定理（ていり）Định lý Menelaus

    Định lý liên hệ tỉ số các đoạn thẳng tạo bởi một đường thẳng cắt ba cạnh hoặc đường kéo dài các cạnh của tam giác.

    直線（ちょくせん）が三角形（さんかくけい）の3辺（へん）またはその延長（えんちょう）線（せん）と交（まじ）わるときに成立（せいりつ）する線分（せんぶん）比（ひ）の定理（ていり）です。

  • チェバの定理（ていり）Định lý Ceva

    Định lý về mối quan hệ tỉ số đoạn thẳng khi ba đoạn thẳng nối từ ba đỉnh đến các điểm trên cạnh đối diện đồng quy tại một điểm.

    三角形（さんかくけい）の各（かく）頂点（ちょうてん）から対辺（たいへん）におろした3線分（せんぶん）が1点（てん）で交（まじ）わるときに成立（せいりつ）する線分（せんぶん）比（ひ）の定理（ていり）です。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：三角形（さんかくけい）と分点（ぶんてん）の配置（はいち）を確認（かくにん）する

    Bước 1: Xác định cấu hình tam giác và điểm chia

    Vẽ sơ đồ tam giác và xác định rõ các điểm chia nằm trên các cạnh hoặc đường kéo dài. Kiểm tra xem bài toán dạng đường thẳng cắt các cạnh hay dạng ba đường thẳng đồng quy.

    三角形（さんかくけい）を描（えが）き、各辺（かくへん）または延長（えんちょう）線（せん）上（じょう）の分点（ぶんてん）を明確（めいかく）に特定（とくてい）します。直線（ちょくせん）が辺（へん）を横切（よこぎ）る配置（はいち）か、3直線（ちょくせん）が1点（てん）で交（まじ）わる配置（はいち）かを見極（みきわ）めます。

  2. 02
    ステップ2：頂点（ちょうてん）の順序（じゅんじょ）に従（したが）って比（ひ）の式（しき）を立（りっ）式（しき）する

    Bước 2: Lập biểu thức tỉ số theo đúng thứ tự đỉnh

    Viết tích các tỉ số đoạn thẳng đi vòng theo một chiều quanh các đỉnh của tam giác. Đảm bảo mỗi tỉ số nối tiếp điểm xuất phát và điểm kết thúc của đoạn kế tiếp.

    三角形（さんかくけい）の頂点（ちょうてん）を順（じゅん）に一（いち）周（しゅう）するように線分（せんぶん）比（ひ）の積（せき）を書き出（かきだ）します。各（かく）比（ひ）が前（まえ）の分点（ぶんてん）から次（つぎ）の頂点（ちょうてん）へと連続（れんぞく）していることを確認（かくにん）します。

  3. 03
    ステップ3：比（ひ）の積（せき）を1と置（お）いて数値（すうち）を代入（だいにゅう）する

    Bước 3: Gán tích tỉ số bằng 1 và thay số

    Áp dụng công thức tương ứng đặt tích các tỉ số bằng 1. Thay các giá trị tỉ số đã biết để giải ra tỉ số cần tìm.

    配置（はいち）に応（おう）じてメネラウスまたはチェバの定理（ていり）を適用（てきよう）し、積（せき）を1と置（お）きます。既知（きち）の比（ひ）を代入（だいにゅう）して未知（みち）の線分（せんぶん）比（ひ）を計算（けいさん）します。

  4. 04
    ステップ4：共（きょう）線（せん）条件（じょうけん）の確認（かくにん）と結論（けつろん）の導出（どうしゅつ）

    Bước 4: Kiểm tra điều kiện thẳng hàng hoặc kết luận tỉ số

    Nếu tích tỉ số bằng 1 thì ba điểm tương ứng thẳng hàng. Kiểm tra lại kết quả tính toán xem có phù hợp với hình học hay không.

    比（ひ）の積（せき）が1を満（み）たすことを用（もち）いて3点（てん）の共（きょう）線（せん）性（せい）を判定（はんてい）します。得（え）られた結果（けっか）が幾何（きか）学（がく）的（てき）に妥当（だとう）であるか最終（さいしゅう）確認（かくにん）します。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Viết sai thứ tự các đỉnh và điểm chia khi lập tỉ số Ceva hoặc Menelaus.チェバやメネラウスの定理（ていり）の立（りっ）式（しき）で、頂点（ちょうてん）と分点（ぶんてん）の順序（じゅんじょ）を誤（あやま）って記述（きじゅつ）してしまう。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Luôn viết tỉ số theo nguyên tắc đi từ đỉnh đến điểm chia rồi từ điểm chia đến đỉnh tiếp theo.「頂点（ちょうてん）→分点（ぶんてん）→頂点（ちょうてん）」の順序（じゅんじょ）を守（まも）り、一（いち）方向（ほうこう）に連続（れんぞく）して巡（めぐ）るように比（ひ）を書き出（かきだ）します。

Nhầm lẫn giữa định lý Ceva (ba đường đồng quy) và định lý Menelaus (đường thẳng cắt cạnh).チェバの定理（ていり）（3直線（ちょくせん）の共（きょう）点（てん））とメネラウスの定理（ていり）（直線（ちょくせん）の切断（せつだん））の適用（てきよう）場面（ばめん）を混同（こんどう）する。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Kiểm tra cấu hình hình học: dùng Ceva khi có 3 đường nối từ 3 đỉnh cắt nhau tại 1 điểm, dùng Menelaus khi có 1 đường cắt 3 cạnh.図形（ずけい）の配置（はいち）を確認（かくにん）し、頂点（ちょうてん）からの3線分（せんぶん）が1点（てん）で交（まじ）わる場合（ばあい）はチェバ、1直線（ちょくせん）が辺（へん）を横切（よこぎ）る場合（ばあい）はメネラウスを選択（せんたく）します。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Định lý Menelaus dùng cho đường thẳng cắt ba cạnh hoặc đường kéo dài các cạnh của tam giác.メネラウスの定理（ていり）は、1つの直線（ちょくせん）が三角形（さんかくけい）の3辺（へん）またはその延長（えんちょう）線（せん）と交（まじ）わる配置（はいち）に適用（てきよう）する。
  • Định lý Ceva áp dụng khi có ba đường thẳng nối từ ba đỉnh đến cạnh đối diện đồng quy.チェバの定理（ていり）は、各（かく）頂点（ちょうてん）からの3線分（せんぶん）が1点（てん）で交（まじ）わる共（きょう）点（てん）配置（はいち）に適用（てきよう）する。
  • Nhớ quy tắc đi vòng quanh đỉnh theo thứ tự nối tiếp Đỉnh -> Điểm chia -> Đỉnh để tránh viết nhầm tỉ số.「頂点（ちょうてん）→分点（ぶんてん）→頂点（ちょうてん）」の順（じゅん）で一（いち）周（しゅう）する規則（きそく）を守（まも）ることで、比（ひ）の立（りっ）式（しき）ミスを防（ふせ）ぐことができる。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

\frac{AP}{PB} \cdot \frac{BR}{RC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1

Theo đúng ký hiệu của công thức này, P, Q, R lần lượt nằm trên các đường thẳng AB, AC, BC và thẳng hàng; với quy ước tỉ số độ dài không hướng, \(AP/PB\cdot BR/RC\cdot CQ/QA=1\). Ở mỗi câu phải đọc lại điểm nào nằm trên cạnh nào rồi đổi tên các tỉ số tương ứng, không thay đáp án chỉ vì ký hiệu điểm khác.

本（ほん）公式（こうしき）の記号（きごう）では、P, Q, R がそれぞれ直線（ちょくせん） AB, AC, BC 上（うえ）にあり、3点（てん）が同一（どういつ）直線（ちょくせん）上（じょう）にあるとき、符号（ふごう）なしの長（なが）さの比（ひ）で \(AP/PB\cdot BR/RC\cdot CQ/QA=1\) が成り立（なりた）つ。問題（もんだい）ごとに分点（ぶんてん）の文字（もじ）が置（お）かれた辺（へん）を確認（かくにん）して比（ひ）を書き替（かきか）える。

\frac{AE}{EB} \cdot \frac{BF}{FC} \cdot \frac{CD}{DA} = 1

Công thức tỉ số Ceva khi các đoạn thẳng AF, BD, CE nối từ các đỉnh A, B, C đến các cạnh đối diện đồng quy tại một điểm.

三角形（さんかくけい）ABCの各（かく）頂点（ちょうてん）からの線分（せんぶん）AF, BD, CEが1点（てん）で交（まじ）わるときのチェバの定理（ていり）の公式（こうしき）です。

EJU 2026 · MATH.7.1

Bài học giúp bạn nắm vững cách xác định tỉ số đoạn thẳng và vị trí điểm chia trong tam giác thông qua các định lý tỉ số. Bạn sẽ vận dụng linh hoạt định lý Menelaus và Ceva để giải quyết bài toán tỉ số và điều kiện thẳng hàng.

本課（ほんか）では、三角形（さんかくけい）における分点（ぶんてん）比（ひ）や線分（せんぶん）比（ひ）を決定（けってい）する方法（ほうほう）を学（まな）びます。メネラウスの定理（ていり）とチェバの定理（ていり）を活用（かつよう）して、比（ひ）の計算（けいさん）や共（きょう）線（せん）条件（じょうけん）の証明（しょうめい）問題（もんだい）を解決（かいけつ）します。

三角形（さんかくけい）における分点（ぶんてん）比（ひ）
共線条件メネラウスの定理チェバの定理