Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学II・B · Toán II · B

Chứng minh bất đẳng thức Phần 3不（ふ）等式（とうしき）の証明（しょうめい） 第（だい）3部（ぶ）

Công thức公式

(a^2+b^2)(x^2+y^2) \geqq (ax+by)^2
(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2) \geqq (ax+by+cz)^2
|-A|=|A|
|A| \geqq A

Ví dụ例題

Cho \(a^{2} + b^{2} = 5\) và \(x^{2} + y^{2} = 20\). Tìm giá trị lớn nhất của ax + by.

\(a^{2} + b^{2} = 5\) かつ \(x^{2} + y^{2} = 20\) のとき、ax + by の最大（さいだい）値（ち）を求（もと）めよ。

  1. Áp dụng Cauchy-Schwarz 2 biến ta có \((ax + by)^{2} \le (a^{2} + b^{2}) (x^{2} + y^{2}) = 100\).2変数（へんすう）コーシー・シュワルツを適用（てきよう）：\((ax + by)^{2} \le (a^{2} + b^{2}) (x^{2} + y^{2}) = 100\)。
  2. Lấy căn bậc hai hai vế ta được |ax + by| <= 10, suy ra -10 <= ax + by <= 10.両辺（りょうへん）の平方（へいほう）根（ね）をとると |ax + by| <= 10 となり、-10 <= ax + by <= 10 が得（え）られます。
  3. Vậy giá trị lớn nhất của ax + by là 10.したがって ax + by の最大（さいだい）値（ち）は 10 です。
Giá trị lớn nhất cần tìm là 10.求（もと）める最大（さいだい）値（ち）は 10 です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Cho \(a^{2} + b^{2} = 1\) và \(x^{2} + y^{2} = 4\). Giá trị lớn nhất của \((ax + by)^{2}\) là bao nhiêu?\(a^{2} + b^{2} = 1\) かつ \(x^{2} + y^{2} = 4\) のとき、\((ax + by)^{2}\) の最大（さいだい）値（ち）はいくらか。

2. Tính giá trị của |-5| dựa trên công thức |-A| = |A|.公式（こうしき） |-A| = |A| に基（もと）づき、|-5| の値（あたい）を求（もと）めよ。

3. Với A = -3, so sánh |A| và A.A = -3 のとき、|A| と A を比較（ひかく）せよ。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.8.1. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.8.1。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Hiểu cấu trúc bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng 2 biến và 3 biến.2変数（へんすう）および3変数（へんすう）のコーシー・シュワルツの不（ふ）等式（とうしき）の構造（こうぞう）を理解（りかい）する。
  2. Nắm vững tính chất |-A| = |A| và |A| >= A để đánh giá giá trị tuyệt đối.絶対（ぜったい）値（ち）を評価（ひょうか）するための |-A| = |A| および |A| >= A の性質（せいしつ）を習得（しゅうとく）する。
Trực giác · イメージ

Đánh giá tích thông qua tổng bình phương và giá trị tuyệt đối平方（へいほう）和（わ）と絶対（ぜったい）値（ち）を通（つう）じた積（せき）の評価（ひょうか）

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz liên kết tích các đại số với tổng bình phương của chúng. Dấu giá trị tuyệt đối đại diện cho khoảng cách nên giá trị của một số luôn không nhỏ hơn chính nó và không đổi khi đổi dấu.

コーシー・シュワルツの不（ふ）等式（とうしき）は代数（だいすう）積（せき）を平方（へいほう）和（わ）に関連（かんれん）付（つ）けます。絶対（ぜったい）値（ち）は距離（きょり）を表（あらわ）すため、数値（すうち）の値（あたい）は常（つね）に自身（じしん）以上（いじょう）であり符号（ふごう）を変（か）えても一定（いってい）です。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 相乗（そうじょう）平均（へいきん）trung bình nhân

    Căn bậc hai của tích hai số thực không âm \(\sqrt{ab}\).

    2つの非（ひ）負（ふ）実数（じっすう）の積（せき）の平方（へいほう）根（ね） \(\sqrt{ab}\) です。

  • 相加（そうか）平均（へいきん）と相乗（そうじょう）平均（へいきん）の大小（だいしょう）関係（かんけい）bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân

    Mối quan hệ giữa trung bình cộng và trung bình nhân của các số không âm.

    非（ひ）負（ふ）の数（かず）における相加（そうか）平均（へいきん）と相乗（そうじょう）平均（へいきん）の大小（だいしょう）関係（かんけい）です。

  • コーシー・シュワルツの不（ふ）等式（とうしき）bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

    Bất đẳng thức đánh giá bình phương của tích vô hướng bằng tích tổng các bình phương.

    内積（ないせき）の平方（へいほう）を各（かく）平方（へいほう）和（わ）の積（せき）で評価（ひょうか）する不（ふ）等式（とうしき）です。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1: 2変数（へんすう）コーシー・シュワルツの適用（てきよう）

    Bước 1: Áp dụng Cauchy-Schwarz 2 biến

    Sử dụng công thức \((a^{2} + b^{2}) (x^{2} + y^{2}) \ge (ax + by)^{2}\) để tìm giá trị lớn nhất hoặc chứng minh bất đẳng thức.

    公式（こうしき） \((a^{2} + b^{2}) (x^{2} + y^{2}) \ge (ax + by)^{2}\) を使用（しよう）して最大（さいだい）値（ち）を求（もと）めるか不（ふ）等式（とうしき）を証明（しょうめい）します。

  2. 02
    ステップ2: 3変数（へんすう）コーシー・シュワルツへの拡張（かくちょう）

    Bước 2: Mở rộng Cauchy-Schwarz 3 biến

    Tương tự với 3 bộ số: \((a^{2} + b^{2} + c^{2}) (x^{2} + y^{2} + z^{2}) \ge (ax + by + cz)^{2}\). Dấu bằng xảy ra khi a/x = b/y = c/z.

    3組（くみ）の数（かず）に対（たい）して同様（どうよう）に成立（せいりつ）します：\((a^{2} + b^{2} + c^{2}) (x^{2} + y^{2} + z^{2}) \ge (ax + by + cz)^{2}\)。等号（とうごう）は a/x = b/y = c/z のとき成立（せいりつ）します。

  3. 03
    ステップ3: 絶対（ぜったい）値（ち）による評価（ひょうか）

    Bước 3: Đánh giá bằng giá trị tuyệt đối

    Sử dụng |-A| = |A| và |A| >= A để loại bỏ hoặc đánh giá dấu giá trị tuyệt đối trong các biểu thức.

    式中（しきちゅう）の絶対（ぜったい）値（ち）記号（きごう）を除去（じょきょ）または評価（ひょうか）するために |-A| = |A| および |A| >= A を利用（りよう）します。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Viết sai chiều bất đẳng thức Cauchy-Schwarz thành \((a^{2} + b^{2}) (x^{2} + y^{2}) \le (ax + by)^{2}\).コーシー・シュワルツの不（ふ）等式（とうしき）の向（む）きを誤（あやま）って \((a^{2} + b^{2}) (x^{2} + y^{2}) \le (ax + by)^{2}\) と書（か）くこと。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Chiều đúng luôn là tích tổng các bình phương LỚN HƠN HOẶC BẰNG bình phương của tổng các tích: \((a^{2} + b^{2}) (x^{2} + y^{2}) \ge (ax + by)^{2}\).正（ただ）しい向（む）きは常（つね）に平方（へいほう）和（わ）の積（せき）が積（せき）の和（わ）の平方（へいほう）「以上（いじょう）」です：\((a^{2} + b^{2}) (x^{2} + y^{2}) \ge (ax + by)^{2}\)。

Cho rằng |A| > A với mọi A mà quên trường hợp A >= 0 thì |A| = A.すべてのAについて |A| > A であると誤解（ごかい）し、A >= 0 のとき |A| = A となる場合（ばあい）を忘（わす）れること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Bất đẳng thức đúng phải có dấu bằng: |A| >= A. Khi A >= 0 thì |A| = A.正（ただ）しい不（ふ）等式（とうしき）は等号（とうごう）を含（ふく）みます：|A| >= A。A >= 0 のとき |A| = A です。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Cauchy-Schwarz đánh giá bình phương tích bằng tích tổng các bình phương.コーシー・シュワルツは積（せき）の平方（へいほう）を平方（へいほう）和（わ）の積（せき）で評価（ひょうか）します。
  • Giá trị tuyệt đối của hai số đối nhau luôn bằng nhau |-A| = |A|.互（たが）いに反対（はんたい）の符号（ふごう）の数（かず）の絶対（ぜったい）値（ち）は常（つね）に等（ひと）しい |-A| = |A|。
  • Giá trị tuyệt đối của một biểu thức không bao giờ nhỏ hơn chính nó |A| >= A.式（しき）の絶対（ぜったい）値（ち）が元（もと）の式（しき）より小（ちい）さくなることはありません |A| >= A。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

(a^2+b^2)(x^2+y^2) \geqq (ax+by)^2

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho 2 cặp số thực: tích của tổng các bình phương luôn không nhỏ hơn bình phương của tổng các tích tương ứng.

2組（くみ）の実数（じっすう）に対（たい）するコーシー・シュワルツの不（ふ）等式（とうしき）：平方（へいほう）和（わ）の積（せき）は常（つね）に対応（たいおう）する積（せき）の和（わ）の平方（へいほう）以上（いじょう）です。

(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2) \geqq (ax+by+cz)^2

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng 3 biến: tổng bình phương 3 số nhân tổng bình phương 3 số khác lớn hơn hoặc bằng bình phương tích hỗn hợp.

3変数（へんすう）形（けい）のコーシー・シュワルツの不（ふ）等式（とうしき）：3数（すう）の平方（へいほう）和（わ）と他（ほか）の3数（すう）の平方（へいほう）和（わ）の積（せき）は、混成（こんせい）積（せき）の平方（へいほう）以上（いじょう）です。

|-A|=|A|

Giá trị tuyệt đối của một số bằng giá trị tuyệt đối của số đối của nó.

ある数（かず）の絶対（ぜったい）値（ち）は、その数（かず）と符号（ふごう）が反対（はんたい）の数（かず）の絶対（ぜったい）値（ち）と等（ひと）しくなります。

|A| \geqq A

Giá trị tuyệt đối của biểu thức A luôn lớn hơn hoặc bằng chính biểu thức A đó.

式（しき）Aの絶対（ぜったい）値（ち）は、常（つね）に元（もと）の式（しき）A以上（いじょう）となります。

EJU 2026 · MATH.8.1

Bài học giới thiệu bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong mặt phẳng và không gian cùng với các tính chất cơ bản của giá trị tuyệt đối. Đây là các công thức quan trọng để tìm cực trị và chứng minh bất đẳng thức.

この課（か）では平面（へいめん）および空間（くうかん）におけるコーシー・シュワルツの不（ふ）等式（とうしき）と絶対（ぜったい）値（ち）の基本（きほん）性質（せいしつ）を導入（どうにゅう）します。これらは極値（きょくち）問題（もんだい）や不等（ふとう）式（しき）証明（しょうめい）に不可欠（ふかけつ）な公式（こうしき）です。

不（ふ）等式（とうしき）の証明（しょうめい） 第（だい）3部（ぶ）
相乗平均相加平均と相乗平均の大小関係コーシー・シュワルツの不等式