Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学II・B · Toán II · B

Tích phân xác định và tính chất定（てい）積分（せきぶん）とその性質（せいしつ）

Công thức公式

\int_{a}^{b} f(x)dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b)-F(a)
\int_{a}^{b} k f(x)dx = k \int_{a}^{b} f(x)dx
\int_{a}^{b} \{f(x) \pm g(x)\}dx = \int_{a}^{b} f(x)dx \pm \int_{a}^{b} g(x)dx
\int_{a}^{a} f(x)dx = 0

Ví dụ例題

Tính giá trị của tích phân xác định \(\int_{1}^{2}\) (3x^2 + 2x) dx.

定（てい）積分（せきぶん） \(\int_{1}^{2}\) (3x^2 + 2x) dx の値（あたい）を求（もと）めなさい。

  1. Tách tích phân thành hai phần \(\int_{1}^{2}\) 3x^2 dx + \(\int_{1}^{2}\) 2x dx bằng tính chất cộng.定（てい）積分（せきぶん）の性質（せいしつ）を用（もち）いて \(\int_{1}^{2}\) 3x^2 dx + \(\int_{1}^{2}\) 2x dx に分割（ぶんかつ）します。
  2. Tìm nguyên hàm của biểu thức \(3 x^{2} + 2 x\) là \(x^{3} + x^{2}\).\(3 x^{2} + 2 x\) の原子（げんし）関数（かんすう） \(x^{3} + x^{2}\) を求（もと）めます。
  3. Thay cận trên b = 2 và cận dưới a = 1 vào nguyên hàm: \((2^{3} + 2^{2}) - (1^{3} + 1^{2}) = 12 - 2 = 10\).上端（じょうたん） 2 と下端（したば） 1 を代入（だいにゅう）して \((2^{3} + 2^{2}) - (1^{3} + 1^{2}) = 12 - 2 = 10\) を計算（けいさん）します。
Giá trị của tích phân xác định đã cho bằng 10.与（あた）えられた定（てい）積分（せきぶん）の値（あたい）は 10 です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Tính giá trị của tích phân xác định \(\int_{0}^{3}\) 2x dx.定（てい）積分（せきぶん） \(\int_{0}^{3}\) 2x dx の値（あたい）を求（もと）めなさい。

2. Tính giá trị của tích phân xác định \(\int_{2}^{2}\) (5x^3 - 4x + 1) dx.定（てい）積分（せきぶん） \(\int_{2}^{2}\) (5x^3 - 4x + 1) dx の値（あたい）を求（もと）めなさい。

3. Cho tích phân \(\int_{1}^{3}\) f(x)dx = 4. Tính giá trị của tích phân \(\int_{1}^{3}\) 3f(x)dx.\(\int_{1}^{3}\) f(x)dx = 4 であるとき、定（てい）積分（せきぶん） \(\int_{1}^{3}\) 3f(x)dx の値（あたい）を求（もと）めなさい。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.20.1. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.20.1。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Hiểu rõ khái niệm cận trên, cận dưới và định nghĩa của tích phân xác định.定（てい）積分（せきぶん）の定義（ていぎ）および上端（じょうたん）、下端（かたん）の意味（いみ）を正確（せいかく）に理解（りかい）する。
  2. Vận dụng các tính chất cơ bản để tách, gộp và tính toán tích phân một cách hiệu quả.定（てい）積分（せきぶん）の基本（きほん）性質（せいしつ）を活用（かつよう）して、計算（けいさん）を効率（こうりつ）的（てき）に行（おこな）う方法（ほうほう）を身（み）につける。
Trực giác · イメージ

Trực giác về tích phân xác định và tính chất定（てい）積分（せきぶん）とその性質（せいしつ）の直感（ちょっかん）的（てき）理解（りかい）

Tích phân xác định là tổng tích lũy của hàm số từ điểm bắt đầu cận dưới đến điểm kết thúc cận trên. Các tính chất như tách tổng hay đưa hệ số ra ngoài giúp biến đổi biểu thức phức tạp thành các phần đơn giản hơn.

定（てい）積分（せきぶん）は、下端（かたん）から上端（じょうたん）までの関数（かんすう）の変化（へんか）の積（つ）み重（かさ）なりを表（あらわ）す値（あたい）です。和（わ）の分割（ぶんかつ）や定数（ていすう）倍（ばい）の外出（がいしゅつ）しといった性質（せいしつ）を使（つか）うことで、複雑（ふくざつ）な式（しき）を簡単（かんたん）に計算（けいさん）できます。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 定（てい）積分（せきぶん）tích phân xác định

    Tích phân xác định là giá trị số nhận được bằng cách lấy nguyên hàm tại cận trên trừ đi nguyên hàm tại cận dưới. Giá trị này phản ánh tổng tích lũy của hàm số trên một khoảng xác định.

    定（てい）積分（せきぶん）とは、原子（げんし）関数（かんすう）に上端（じょうたん）と下端（したば）を代入（だいにゅう）した値（あたい）の差（さ）として定義（ていぎ）される数値（すうち）です。指定（してい）された区間（くかん）における関数（かんすう）の累積（るいせき）値（ち）を表（あらわ）します。

  • 下端（かたん）cận dưới

    Cận dưới là điểm bắt đầu của khoảng lấy tích phân, thường được ghi ở phía dưới ký hiệu tích phân. Cận dưới đóng vai trò là giá trị khởi đầu khi tính hiệu số F(b) - F(a).

    下端（かたん）とは、積分（せきぶん）区間（くかん）の開始（かいし）点（てん）であり、積分（せきぶん）記号（きごう）の下部（かぶ）に表記（ひょうき）される値（あたい）のことです。F(b) - F(a) の計算（けいさん）において引（ひ）く側（がわ）の起点（きてん）となります。

  • 上端（じょうたん）cận trên

    Cận trên là điểm kết thúc của khoảng lấy tích phân, được ghi ở phía trên ký hiệu tích phân. Giá trị này được thế vào nguyên hàm trước khi trừ đi giá trị tại cận dưới.

    上端（じょうたん）とは、積分（せきぶん）区間（くかん）の終了（しゅうりょう）点（てん）であり、積分（せきぶん）記号（きごう）の上部（じょうぶ）に表記（ひょうき）される値（あたい）のことです。原子（げんし）関数（かんすう）に最初（さいしょ）に代入（だいにゅう）される値（あたい）となります。

  • 定（てい）積分（せきぶん）の性質（せいしつ）tính chất của tích phân xác định

    Tính chất của tích phân xác định bao gồm các quy tắc tuyến tính như nhân với hằng số và cộng trừ hai hàm số. Nhờ các tính chất này, việc tính toán tích phân trở nên linh hoạt và đơn giản hơn.

    定（てい）積分（せきぶん）の性質（せいしつ）には、定数（ていすう）倍（ばい）のくくり出（だ）しや関数（かんすう）の和（わ）・差（さ）の分割（ぶんかつ）といった線形（せんけい）性（せい）の法則（ほうそく）が含（ふく）まれます。これらにより複雑（ふくざつ）な定（てい）積分（せきぶん）を簡潔（かんけつ）に計算（けいさん）できます。

  • 偶数（ぐうすう）số chẵn

    Số chẵn là các số nguyên chia hết cho 2. Trong hàm số mũ như \(x^{2}\), số chẵn tạo ra hàm số đối xứng qua trục tung.

    偶数（ぐうすう）は2で割り切（わりき）れる整数（せいすう）です。\(x^{2}\) などのべき乗（じょう）関数（かんすう）において、指数（しすう）が偶数（ぐうすう）の場合（ばあい）はy軸（じく）対称（たいしょう）な性質（せいしつ）を持（も）ちます。

  • 奇数（きすう）số lẻ

    Số lẻ là các số nguyên không chia hết cho 2. Trong hàm số mũ như \(x^{1}\) hoặc \(x^{3}\), số lẻ tạo ra hàm số đối xứng qua gốc tọa độ.

    奇数（きすう）は2で割り切（わりき）れない整数（せいすう）です。x や \(x^{3}\) などのべき乗（じょう）関数（かんすう）において、指数（しすう）が奇数（きすう）の場合（ばあい）は原点（げんてん）対称（たいしょう）な性質（せいしつ）を持（も）ちます。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：関数（かんすう）の原子（げんし）関数（かんすう）を求（もと）める

    Bước 1: Tìm nguyên hàm của hàm số

    Xử lý từng phần tử trong biểu thức để tìm hàm nguyên hàm F(x). Việc xác định đúng nguyên hàm là bước quyết định để tính chính xác kết quả.

    被（ひ）積分（せきぶん）関数（かんすう）の各項（かくこう）に対（たい）して原子（げんし）関数（かんすう） F(x) を求（もと）めます。正（ただ）しい原子（げんし）関数（かんすう）を見（み）つけることが正確（せいかく）な計算（けいさん）の鍵（かぎ）となります。

  2. 02
    ステップ2：定（てい）積分（せきぶん）の性質（せいしつ）を適用（てきよう）する

    Bước 2: Áp dụng các tính chất biến đổi

    Đưa các hệ số hằng số k ra ngoài và tách tích phân thành tổng các tích phân nhỏ hơn. Bước này giúp rút gọn và tránh sai sót trong phép tính.

    定数（ていすう） k を外（そと）に繰り出（くりだ）し、和（わ）や差（さ）の形（かたち）に積分（せきぶん）を分割（ぶんかつ）します。この操作（そうさ）により計算（けいさん）が大幅（おおはば）に単純（たんじゅん）化（か）されます。

  3. 03
    ステップ3：上端（じょうたん）と下端（したば）を代入（だいにゅう）して F(b) - F(a) を計算（けいさん）する

    Bước 3: Thay cận và tính hiệu F(b) - F(a)

    Thế cận trên b vào nguyên hàm rồi trừ đi giá trị thu được khi thế cận dưới a. Thực hiện phép trừ cẩn thận để ra kết quả số cuối cùng.

    原子（げんし）関数（かんすう）に上端（じょうたん） b を代入（だいにゅう）した値（あたい）から下端（したば） a を代入（だいにゅう）した値（あたい）を引（ひ）きます。符号（ふごう）に注意（ちゅうい）して最終（さいしゅう）的（てき）な数値（すうち）を算出（さんしゅつ）します。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Lấy F(a) - F(b) thay vì F(b) - F(a) khi tính tích phân xác định.定（てい）積分（せきぶん）を計算（けいさん）する際（さい）、F(b) - F(a) ではなく F(a) - F(b) と計算（けいさん）してしまう。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Luôn luôn lấy giá trị của nguyên hàm tại cận trên b trừ đi giá trị tại cận dưới a.常（つね）に上端（じょうたん） b を代入（だいにゅう）した値（あたい）から下端（したば） a を代入（だいにゅう）した値（あたい）を引（ひ）くように注意（ちゅうい）してください。

Đưa biến x ra ngoài dấu tích phân giống như một hằng số.変数（へんすう） x を定数（ていすう）の探（たん）ように積分（せきぶん）記号（きごう）の外（そと）に繰り出（くりだ）してしまう。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Chỉ có hằng số k độc lập với biến x mới được đưa ra ngoài dấu tích phân.積分（せきぶん）記号（きごう）の外（そと）に繰り出（くりだ）せるのは、変数（へんすう） x に依存（いぞん）しない定数（ていすう） k のみです。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Tích phân xác định được tính bằng hiệu F(b) - F(a) giữa nguyên hàm tại cận trên và cận dưới.定（てい）積分（せきぶん）は、上端（じょうたん）と下端（したば）における原子（げんし）関数（かんすう）の差（さ） F(b) - F(a) として計算（けいさん）されます。
  • Các tính chất như đưa hằng số k ra ngoài và tách tích phân theo phép cộng trừ giúp biến đổi linh hoạt.定数（ていすう）倍（ばい）の外出（がいしゅつ）しや和（わ）・差（さ）の分割（ぶんかつ）といった定（てい）積分（せきぶん）の性質（せいしつ）により、計算（けいさん）を柔軟（じゅうなん）に行（おこな）えます。
  • Tích phân xác định có cận trên bằng cận dưới luôn cho kết quả bằng 0.上端（じょうたん）と下端（したば）が一致（いっち）する定（てい）積分（せきぶん）の値（あたい）は常（つね）に 0 となります。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

\int_{a}^{b} f(x)dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b)-F(a)

Đây là định nghĩa cơ bản của tích phân xác định thông qua nguyên hàm F(x). Kết quả là hiệu số giữa F(b) tại cận trên và F(a) tại cận dưới.

原子（げんし）関数（かんすう） F(x) を用（もち）いた定（てい）積分（せきぶん）の基本（きほん）定義（ていぎ）です。上端（じょうたん） b における値（あたい） F(b) から下端（かたん） a における値（あたい） F(a) を差し引（さしひ）きます。

\int_{a}^{b} k f(x)dx = k \int_{a}^{b} f(x)dx

Hằng số k có thể được đưa ra ngoài dấu tích phân xác định. Tính chất này giúp đơn giản hóa biểu thức bị tích phân trước khi thế cận.

定数（ていすう） k は定（てい）積分（せきぶん）の記号（きごう）の外（そと）に繰り出（くりだ）すことができます。代入（だいにゅう）計算（けいさん）の前（まえ）に式（しき）を単純（たんじゅん）化（か）するのに役立（やくだ）ちます。

\int_{a}^{b} \{f(x) \pm g(x)\}dx = \int_{a}^{b} f(x)dx \pm \int_{a}^{b} g(x)dx

Tích phân xác định của một tổng hoặc hiệu bằng tổng hoặc hiệu các tích phân thành phần. Điều này cho phép tính từng hàm số riêng biệt rồi lấy kết quả cộng trừ lại.

関数（かんすう）の和（わ）や差（さ）の定積（ていせき）分（ぶん）は、それぞれの定（てい）積分（せきぶん）の和（わ）や差（さ）に分割（ぶんかつ）できます。各項（かくこう）を個別（こべつ）に積分（せきぶん）して後（あと）から合算（がっさん）することが可能（かのう）です。

\int_{a}^{a} f(x)dx = 0

Khi cận trên và cận dưới bằng nhau, khoảng lấy tích phân có độ dài bằng 0 nên giá trị tích phân luôn bằng 0. Đây là một thuộc tính quan trọng giúp rút gọn phép tính nhanh chóng.

上端（じょうたん）と下端（したば）が一致（いっち）する場合（ばあい）、積分（せきぶん）区間（くかん）の幅（はば）が 0 となるため定（てい）積分（せきぶん）の値（あたい）は常（つね）に 0 です。計算（けいさん）を迅速（じんそく）に簡略（かんりゃく）化（か）する重要（じゅうよう）な性質（せいしつ）です。

EJU 2026 · MATH.20.1

Bài học này giúp bạn nắm vững định nghĩa và các tính chất cơ bản của tích phân xác định. Bạn sẽ biết cách tính giá trị tích phân dựa trên hiệu số của nguyên hàm tại hai cận.

このレッスンでは、定（てい）積分（せきぶん）の定義（ていぎ）と基本（きほん）的（てき）な性質（せいしつ）をマスターします。上端（じょうたん）と下端（したば）における原子（げんし）関数（かんすう）の差（さ）に基（もと）づいて定（てい）積分（せきぶん）の値（あたい）を計算（けいさん）する方法（ほうほう）を学（まな）びます。

定（てい）積分（せきぶん）とその性質（せいしつ）
定積分下端上端定積分の性質