Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学II・B · Toán II · B

Cực trị và đồ thị của hàm số Phần 1関数（かんすう）の極値（きょくち）とグラフ 第（だい）1部（ぶ）

Công thức公式

f'(a) = 0
x = -\frac{b}{3a}
y = a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)
y = a(x-\alpha)^2(x-\gamma)

Ví dụ例題

Cho hàm số \(f(x) = (x + 1)^{2} (x - 2)\). Hãy tìm các điểm cực trị và giá trị cực trị tương ứng của hàm số.

関数（かんすう） \(f(x) = (x + 1)^{2} (x - 2)\) の極値（きょくち）をとる点（てん）および対応（たいおう）する極値（きょくち）を求（もと）めなさい。

  1. Khai triển hàm số ta được \(f(x) = x^{3} - 3 x - 2\). Tính đạo hàm ta được f'\((x) = 3 x^{2} - 3 = 3 (x + 1) (x - 1)\).関数（かんすう）を展開（てんかい）すると \(f(x) = x^{3} - 3 x - 2\) となります。導（どう）関数（かんすう）を計算（けいさん）すると f'\((x) = 3 x^{2} - 3 = 3 (x + 1) (x - 1)\) です。
  2. Cho f'(x) = 0 ta tìm được hai nghiệm x = -1 và x = 1.f'(x) = 0 とおくと、2つの解（かい） x = -1 および x = 1 が得（え）られます。
  3. Xét dấu f'(x): khi x đi qua x = -1, f'(x) đổi dấu từ dương sang âm nên tại x = -1 hàm số đạt cực đại với giá trị cực đại f(-1) = 0. Khi x đi qua x = 1, f'(x) đổi dấu từ âm sang dương nên tại x = 1 hàm số đạt cực tiểu với giá trị cực tiểu f(1) = -4.f'(x) の符号（ふごう）を調（しら）べる：x = -1 を通過（つうか）する際（さい） f'(x) は正（せい）から負（ふ）に変（か）わるため x = -1 で極大（きょくだい）となり極大（きょくだい）値（ち） f(-1) = 0 です。x = 1 を通過（つうか）する際（さい） f'(x) は負（ふ）から正（せい）に変（か）わるため x = 1 で極小（きょくしょう）となり極小（きょくしょう）値（ち） f(1) = -4 です。
Hàm số đạt cực đại tại x = -1 với giá trị cực đại bằng 0 và đạt cực tiểu tại x = 1 với giá trị cực tiểu bằng -4.関数（かんすう）は x = -1 で極大（きょくだい）値（ち） 0 をとり、x = 1 で極小（きょくしょう）値（ち） -4 をとります。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Cho hàm số \(f(x) = x^{3} - 3 x^{2}\). Điểm cực đại của hàm số là gì?関数（かんすう） \(f(x) = x^{3} - 3 x^{2}\) の極大（きょくだい）をとる x の値（あたい）はどれか。

2. Hàm số \(f(x) = x^{3} - 12 x + 5\) đạt giá trị cực tiểu bằng bao nhiêu?関数（かんすう） \(f(x) = x^{3} - 12 x + 5\) の極小（きょくしょう）値（ち）はいくらか。

3. Hàm số \(y = (x - 1)^{2} (x - 4)\) tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ x bằng bao nhiêu?関数（かんすう） \(y = (x - 1)^{2} (x - 4)\) が x 軸（じく）に接（せっ）する点（てん）の x 座標（ざひょう）はいくらか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.19.2. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.19.2。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Hiểu rõ khái niệm cực đại, cực tiểu và giá trị cực trị của hàm số.関数（かんすう）の極大（きょくだい）・極小（きょくしょう）および極値（きょくち）の概念（がいねん）を理解（りかい）する。
  2. Biết cách tìm điều kiện f'(a) = 0 và xác định điểm cực trị.条件（じょうけん） f'(a) = 0 を用（もち）いて極値（きょくち）をとる点（てん）を特定（とくてい）する方法（ほうほう）を学（まな）ぶ。
  3. Nắm vững các dạng công thức phân tích của hàm số bậc ba để vẽ đồ thị.3次（じ）関数（かんすう）の因数（いんすう）分解（ぶんかい）形（けい）を理解（りかい）しグラフ作成（さくせい）に応用（おうよう）する。
Trực giác · イメージ

Sự thay đổi chiều biến thiên tại điểm cực trị極値（きょくち）における増減（ぞうげん）の変化（へんか）

Hãy hình dung đồ thị hàm số như một dãy núi với các đỉnh và thung lũng. Đỉnh núi tương ứng với cực đại nơi đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm, còn thung lũng tương ứng với cực tiểu nơi đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương.

関数（かんすう）のグラフを山（やま）の頂（いただき）と谷（たに）に例（たと）えてみましょう。頂（いただき）は導（どう）関数（かんすう）が正（せい）から負（ふ）に変（か）わる極大（きょくだい）に対応（たいおう）し、谷（たに）は導（どう）関数（かんすう）が負（ふ）から正（せい）に変（か）わる極小（きょくしょう）に対応（たいおう）します。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 極大（きょくだい）Cực đại

    Điểm mà tại đó hàm số chuyển từ tăng sang giảm khi x đi qua điểm đó.

    関数（かんすう）が増加（ぞうか）から減少（げんしょう）に転（てん）じる点（てん）のことです。

  • 極大（きょくだい）値（ち）Giá trị cực đại

    Giá trị của hàm số tại điểm cực đại.

    極大（きょくだい）点（てん）における関数（かんすう）の値（あたい）のことです。

  • 極小（きょくしょう）Cực tiểu

    Điểm mà tại đó hàm số chuyển từ giảm sang tăng khi x đi qua điểm đó.

    関数（かんすう）が減少（げんしょう）から増加（ぞうか）に転（てん）じる点（てん）のことです。

  • 極小（きょくしょう）値（ち）Giá trị cực tiểu

    Giá trị của hàm số tại điểm cực tiểu.

    極（ごく）小点（しょうてん）における関数（かんすう）の値（あたい）のことです。

  • 極値（きょくち）Cực trị

    Tên gọi chung cho giá trị cực đại và giá trị cực tiểu.

    極大（きょくだい）値（ち）と極小（きょくしょう）値（ち）の総称（そうしょう）です。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：導（どう）関数（かんすう）を計算（けいさん）し f'(x) = 0 の解（かい）を求（もと）める

    Bước 1: Tính đạo hàm và tìm nghiệm f'(x) = 0

    Tính đạo hàm f'(x) của hàm số và giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm nghi ngờ là cực trị. Đây là điều kiện cần f'(a) = 0 để hàm số có cực trị tại x = a.

    関数（かんすう）の導（どう）関数（かんすう） f'(x) を計算（けいさん）し、f'(x) = 0 の解（かい）を求（もと）めて極値（きょくち）の候補（こうほ）を特定（とくてい）します。これは x = a で極値（きょくち）をとるための必要（ひつよう）条件（じょうけん） f'(a) = 0 に基（もと）づきます。

  2. 02
    ステップ2：増減（ぞうげん）表（ひょう）を作成（さくせい）し f'(x) の符号（ふごう）を調（しら）べる

    Bước 2: Lập bảng biến thiên xét dấu f'(x)

    Xét dấu của f'(x) khi x qua các nghiệm để xác định chiều biến thiên của hàm số. Nếu f'(x) đổi dấu từ dương sang âm thì đạt cực đại, từ âm sang dương thì đạt cực tiểu.

    解（かい）の前後（ぜんご）で f'(x) の符号（ふごう）の変化（へんか）を調（しら）べて関数（かんすう）の増減（ぞうげん）を確認（かくにん）します。正（せい）から負（お）へ変化（へんか）すれば極大（きょくだい）、負（ふ）から正（せい）へ変化（へんか）すれば極小（きょくしょう）となります。

  3. 03
    ステップ3：極値（きょくち） f(a) を計算（けいさん）する

    Bước 3: Tính giá trị cực trị f(a)

    Thay giá trị hoành độ cực trị a vào hàm số ban đầu f(x) để tính giá trị cực đại f(a) hoặc giá trị cực tiểu f(a). Cần phân biệt rõ giữa điểm cực trị a và giá trị cực trị f(a).

    極値（きょくち）をとる x の値（あたい） a を元（もと）の関数（かんすう） f(x) に代入（だいにゅう）して極大（きょくだい）値（ち）または極小（きょくしょう）値（ち） f(a) を求（もと）めます。極値（きょくち）をとる点（てん） a と極値（きょくち） f(a) を明確（めいかく）に区別（くべつ）することが重要（じゅうよう）です。

  4. 04
    ステップ4：因数（いんすう）分解（ぶんかい）形（けい）を用（もち）いてグラフを描画（びょうが）する

    Bước 4: Biểu diễn đồ thị theo dạng phân tích

    Sử dụng các dạng phân tích như \(y = a (x - \alpha) (x - \beta) (x - \gamma)\) hoặc \(y = a (x - \alpha)^{2} (x - \gamma)\) để vẽ đồ thị hàm số bậc ba chính xác. Dạng có bình phương thể hiện điểm tiếp xúc với trục hoành.

    \(y = a (x - \alpha) (x - \beta) (x - \gamma)\) や \(y = a (x - \alpha)^{2} (x - \gamma)\) などの因数（いんすう）分解（ぶんかい）形（けい）を利用（りよう）して3次（じ）関数（かんすう）のグラフを正確（せいかく）に描（えが）きます。2乗（のり）の項（こう）は x 軸（じく）との接点（せってん）を表（あらわ）します。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Nhầm lẫn giữa điểm cực trị (giá trị x) và giá trị cực trị (giá trị y).極値（きょくち）をとる点（てん）（xの値（あたい））と極値（きょくち）（yの値（あたい））を混同（こんどう）すること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Điểm cực trị chỉ hoành độ x tại đó đạo hàm đổi dấu, còn giá trị cực trị là tung độ f(x) tương ứng tại điểm đó. Khi đề bài hỏi giá trị cực đại hay giá trị cực tiểu, kết quả phải là giá trị của f(x).極値（きょくち）をとる点（てん）は導（どう）関数（かんすう）の符号（ふごう）が変（か）わる x 座標（ざひょう）であり、極値（きょくち）は対応（たいおう）する y 座標（ざひょう） f(x) です。問題（もんだい）で極大（きょくだい）値（ち）や極小（きょくしょう）値（ち）を問（と）われた場合（ばあい）は f(x) の値（あたい）を答（こた）える必要（ひつよう）があります。

Cho rằng mọi điểm có f'(a) = 0 đều là điểm cực trị.f'(a) = 0 となるすべての点（てん）が極値（きょくち）をとる点（てん）であると勘違（かんちが）いすること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Điều kiện f'(a) = 0 chỉ là điều kiện cần, chưa đủ để x = a là điểm cực trị. Đạo hàm f'(x) phải thực sự đổi dấu khi x đi qua điểm a thì hàm số mới đạt cực trị tại đó.f'(a) = 0 は必要（ひつよう）条件（じょうけん）にすぎず、極値（きょくち）をとるための十（じゅう）分（ふん）条件（じょうけん）ではありません。x = a の前後（ぜんご）で f'(x) の符号（ふごう）が実際（じっさい）に変化（へんか）して初（はじ）めて極値（きょくち）となります。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Điều kiện cần để x = a là điểm cực trị của hàm số f(x) là f'(a) = 0 và f'(x) phải đổi dấu khi qua a.x = a が関数（かんすう） f(x) の極値（きょくち）をとる点（てん）であるための必要（ひつよう）条件（じょうけん）は f'(a) = 0 であり、x = a の前後（ぜんご）で f'(x) の符号（ふごう）が変化（へんか）することです。
  • Cần phân biệt rõ điểm cực trị (hoành độ x) và giá trị cực trị (tung độ y = f(x)).極値（きょくち）をとる点（てん）（x 座標（ざひょう））と極値（きょくち）（y 座標（ざひょう） y = f(x)）を明確（めいかく）に区別（くべつ）して理解（りかい）することが大切（たいせつ）です。
  • Đồ thị hàm số bậc ba dạng \(y = a (x - \alpha)^{2} (x - \gamma)\) có đặc điểm tiếp xúc với trục hoành tại \(x = \alpha\).\(y = a (x - \alpha)^{2} (x - \gamma)\) の形（かたち）の3次（じ）関数（かんすう）グラフは \(x = \alpha\) で x 軸（じく）に接（せっ）する特徴（とくちょう）があります。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

f'(a) = 0

Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị tại x = a là đạo hàm f'(a) bằng 0.

関数（かんすう）が x = a で極値（きょくち）をとるための必要（ひつよう）条件（じょうけん）は f'(a) = 0 です。

x = -\frac{b}{3a}

Hoành độ điểm uốn của đồ thị hàm số bậc ba \(y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d\).

3次（じ）関数（かんすう） \(y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d\) の変曲（へんきょく）点（てん）の x 座標（ざひょう）です。

y = a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)

Dạng phân tích của hàm số bậc ba có 3 nghiệm phân biệt.

異（こと）なる3つの実数（じっすう）解（かい）をもつ3次（じ）関数（かんすう）の因数（いんすう）分解（ぶんかい）形（けい）です。

y = a(x-\alpha)^2(x-\gamma)

Dạng phân tích của hàm số bậc ba tiếp xúc với trục hoành tại \(x = \alpha\) và cắt tại \(x = \gamma\).

\(x = \alpha\) で x 軸（じく）に接（せっ）し \(x = \gamma\) で交（まじ）わる3次（じ）関数（かんすう）の因数（いんすう）分解（ぶんかい）形（けい）です。

EJU 2026 · MATH.19.2

Bài học này giúp bạn nắm vững khái niệm cực trị và các dạng biểu diễn đồ thị của hàm số bậc ba. Qua đó, bạn có thể xác định chính xác điểm cực đại, cực tiểu và lập bảng biến thiên nhanh chóng.

本課（ほんか）では極値（きょくち）の概念（がいねん）と3次（じ）関数（かんすう）のグラフの表（あらわ）し方（かた）を習得（しゅうとく）します。これにより、極大（きょくだい）・極小（きょくしょう）を正確（せいかく）に求（もと）め、増減（ぞうげん）表（ひょう）を迅速（じんそく）に作成（さくせい）できるようになります。

関数（かんすう）の極値（きょくち）とグラフ 第（だい）1部（ぶ）
極大極大値極小極小値