Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学II・B · Toán II · B

Dạng lượng giác của số phức複素（ふくそ）数（すう）の極（ごく）形式（けいしき）

Công thức公式

a+bi = r(\cos\theta + i\sin\theta)
r = \sqrt{a^2+b^2}
(\cos\alpha + i\sin\alpha)(\cos\beta + i\sin\beta) = \cos(\alpha+\beta) + i\sin(\alpha+\beta)
(\cos\alpha + i\sin\alpha)^n = \cos n\alpha + i\sin n\alpha

Ví dụ例題

Cho số phức $z = 1 + i$. Hãy tính giá trị tuyệt đối $r$, argument $\theta$, chuyển $z$ sang dạng lượng giác và tính $z^4$.

複素（ふくそ）数（すう） $z = 1 + i$ について、絶対（ぜったい）値（ち） $r$、偏角（へんかく） $\theta$ を求（もと）め、$z$ を極（ごく）形式（けいしき）に変換（へんかん）して $z^4$ を計算（けいさん）しなさい。

  1. Tính giá trị tuyệt đối: $r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.絶対（ぜったい）値（ち）を計算（けいさん）します：$r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$。
  2. Xác định argument: vì $\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ và $\sin\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$, ta chọn $\theta = \frac{\pi}{4}$. Do đó $z = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right)$.偏角（へんかく）を特定（とくてい）します：$\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ かつ $\sin\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ より、$\theta = \frac{\pi}{4}$ となります。したがって $z = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right)$ です。
  3. Áp dụng định lý De Moivre tính $z^4$: $z^4 = (\sqrt{2})^4 \left(\cos\left(4 \cdot \frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(4 \cdot \frac{\pi}{4}\right)\right) = 4(\cos\pi + i\sin\pi) = 4(-1 + 0i) = -4$.ド・モアブルの定理（ていり）を適用（てきよう）して $z^4$ を計算（けいさん）します：$z^4 = (\sqrt{2})^4 \left(\cos\left(4 \cdot \frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(4 \cdot \frac{\pi}{4}\right)\right) = 4(\cos\pi + i\sin\pi) = 4(-1 + 0i) = -4$。
Vậy dạng lượng giác của $z$ là $\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right)$ và $z^4 = -4$.したがって、$z$ の極（ごく）形式（けいしき）は $\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right)$ であり、$z^4 = -4$ となります。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Cho số phức $z = \sqrt{3} + i$. Giá trị tuyệt đối $r$ và argument $\theta$ ($0 \le \theta < 2\pi$) của $z$ là bao nhiêu?複素（ふくそ）数（すう） $z = \sqrt{3} + i$ の絶対（ぜったい）値（ち） $r$ および偏角（へんかく） $\theta$ ($0 \le \theta < 2\pi$) はいくらですか。

2. Cho $z_1 = 2\left(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}\right)$ và $z_2 = 3\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right)$. Tích $z_1 z_2$ bằng bao nhiêu?$z_1 = 2\left(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}\right)$ と $z_2 = 3\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right)$ のとき、積（せき） $z_1 z_2$ はいくらですか。

3. Sử dụng định lý De Moivre, tính giá trị của $\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right)^6$.ド・モアブルの定理（ていり）を用（もち）いて、$\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right)^6$ の値（あたい）を求（もと）めなさい。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.15.1 · MATH.15.2. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.15.1 · MATH.15.2。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Biểu diễn số phức $a+bi$ dưới dạng lượng giác $r(\cos\theta + i\sin\theta)$.複素（ふくそ）数（すう） $a+bi$ を極（ごく）形式（けいしき） $r(\cos\theta + i\sin\theta)$ で表（あらわ）すこと。
  2. Tính tích của hai số phức dạng lượng giác bằng cách cộng các argument.極（ごく）形式（けいしき）の2つの複素（ふくそ）数（すう）の積（せき）を、偏角（へんかく）の和（わ）として計算（けいさん）すること。
  3. Áp dụng Định lý De Moivre để tính lũy thừa số phức.ド・モアブルの定理（ていり）を適用（てきよう）して複素（ふくそ）数（すう）の累乗（るいじょう）を計算（けいさん）すること。
Trực giác · イメージ

Nhìn số phức dưới dạng khoảng cách và góc quay距離（きょり）と回転（かいてん）角（かく）による複素（ふくそ）数（すう）の視覚（しかく）化（か）

Thay vì dùng tọa độ vuông góc $a+bi$, ta xem số phức là điểm cách gốc tọa độ khoảng $r$ và hợp với trục thực góc $\theta$. Khi nhân hai số phức, ta nhân độ dài $r$ và cộng góc $\theta$.

直交（ちょっこう）座標（ざひょう） $a+bi$ の代（か）わりに、原点（げんてん）からの距離（きょり） $r$ と実（じつ）軸（じく）からの角度（かくど） $\theta$ で複素（ふくそ）数（すう）を捉（とら）えます。複素（ふくそ）数（すう）の積（せき）は、距離（きょり） $r$ の積（せき）と角度（かくど） $\theta$ の和（わ）に対応（たいおう）します。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 複素（ふくそ）数（すう）の極（ごく）形式（けいしき）Dạng lượng giác của số phức

    Cách biểu diễn số phức qua giá trị tuyệt đối $r$ và argument $\theta$. Dạng này có biểu thức là $a+bi = r(\cos\theta + i\sin\theta)$.

    複素（ふくそ）数（すう）を絶対（ぜったい）値（ち） $r$ と偏角（へんかく） $\theta$ を用（もち）いて表（あらわ）す形式（けいしき）です。この形式（けいしき）は $a+bi = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ と記述（きじゅつ）されます。

  • ド・モアブルの定理（ていり）Định lý De Moivre

    Định lý khẳng định rằng lũy thừa bậc $n$ của số phức dạng lượng giác có góc được nhân lên $n$ lần. Công thức là $(\cos\alpha + i\sin\alpha)^n = \cos n\alpha + i\sin n\alpha$.

    極（ごく）形式（けいしき）の複素（ふくそ）数（すう）の $n$ 乗（のり）において、偏角（へんかく）が $n$ 倍（ばい）になることを示（しめ）す定理（ていり）です。公式（こうしき）は $(\cos\alpha + i\sin\alpha)^n = \cos n\alpha + i\sin n\alpha$ です。

  • 絶対（ぜったい）値（ち）Giá trị tuyệt đối

    Khoảng cách từ điểm biểu diễn số phức $a+bi$ đến gốc tọa độ. Giá trị này được tính bởi $r = \sqrt{a^2+b^2}$.

    複素（ふくそ）数（すう） $a+bi$ を表（あらわ）す点（てん）から原点（げんてん）までの距離（きょり）です。この値（あたい）は $r = \sqrt{a^2+b^2}$ で計算（けいさん）されます。

  • 偏角（へんかく）Argument

    Góc quay $\theta$ tạo bởi tia nối điểm biểu diễn số phức với gốc tọa độ và trục thực dương. Góc này xác định hướng của số phức trên mặt phẳng số phức.

    複素（ふくそ）数（すう）を表（あらわ）す点（てん）と原点（げんてん）を結（むす）ぶ線分（せんぶん）が、正（せい）の実（じつ）軸（じく）となす角（かく） $\theta$ です。この角（かく）は複素（ふくそ）平面（へいめん）上（じょう）での方向（ほうこう）を決定（けってい）します。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：絶対（ぜったい）値（ち） $r$ を計算（けいさん）する

    Bước 1: Tính giá trị tuyệt đối $r$

    Sử dụng công thức $r = \sqrt{a^2+b^2}$ để tìm khoảng cách từ gốc tọa độ đến số phức $a+bi$. Đây là bán kính $r$ dương.

    公式（こうしき） $r = \sqrt{a^2+b^2}$ を用（もち）いて、原点（げんてん）から複素（ふくそ）数（すう） $a+bi$ までの距離（きょり）を求（もと）めます。これは正（せい）の半径（はんけい） $r$ となります。

  2. 02
    ステップ2：偏角（へんかく） $\theta$ を特定（とくてい）する

    Bước 2: Xác định argument $\theta$

    Tìm góc $\theta$ sao cho $\cos\theta = \frac{a}{r}$ và $\sin\theta = \frac{b}{r}$. Viết số phức thành $r(\cos\theta + i\sin\theta)$.

    $\cos\theta = \frac{a}{r}$ かつ $\sin\theta = \frac{b}{r}$ を満（み）たす角（かく） $\theta$ を求（もと）めます。複素（ふくそ）数（すう）を $r(\cos\theta + i\sin\theta)$ の形（かたち）に書き表（かきあらわ）します。

  3. 03
    ステップ3：複素（ふくそ）数（すう）の乗法（じょうほう）を行（おこな）う

    Bước 3: Thực hiện phép nhân số phức

    Nhân hai số phức dạng lượng giác bằng cách nhân hai giá trị tuyệt đối và cộng hai argument theo công thức $(\cos\alpha + i\sin\alpha)(\cos\beta + i\sin\beta) = \cos(\alpha+\beta) + i\sin(\alpha+\beta)$.

    公式（こうしき） $(\cos\alpha + i\sin\alpha)(\cos\beta + i\sin\beta) = \cos(\alpha+\beta) + i\sin(\alpha+\beta)$ に従（したが）い、絶対（ぜったい）値（ち）を掛け合（かけあ）わせ、偏角（へんかく）を足し合（たしあ）わせます。

  4. 04
    ステップ4：ド・モアブルの定理（ていり）で累乗（るいじょう）を計算（けいさん）する

    Bước 4: Khử lũy thừa bằng định lý De Moivre

    Khi tính lũy thừa bậc $n$, áp dụng công thức $(\cos\alpha + i\sin\alpha)^n = \cos n\alpha + i\sin n\alpha$. Ta nhân góc $\alpha$ với $n$ và nâng $r$ lên bậc $n$.

    $n$ 乗（のり）を計算（けいさん）する際（さい）、公式（こうしき） $(\cos\alpha + i\sin\alpha)^n = \cos n\alpha + i\sin n\alpha$ を適用（てきよう）します。角度（かくど） $\alpha$ を $n$ 倍（ばい）し、絶対（ぜったい）値（ち） $r$ を $n$ 乗（の）します。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Nhầm lẫn cộng hai giá trị tuyệt đối $r_1 + r_2$ khi nhân hai số phức thay vì nhân $r_1 \cdot r_2$.複素（ふくそ）数（すう）の積（せき）の計算（けいさん）において、絶対（ぜったい）値（ち）を掛（か）けるのではなく $r_1 + r_2$ のように足し合（たしあ）わせてしまう誤（あやま）り。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Phép nhân số phức yêu cầu nhân hai giá trị tuyệt đối $r_1 \cdot r_2$ và cộng hai argument $\alpha + \beta$.複素（ふくそ）数（すう）の積（せき）では、絶対（ぜったい）値（ち）は掛け合（かけあ）わせ $r_1 \cdot r_2$、偏角（へんかく）は足し合（たしあ）わせる $\alpha + \beta$ 必要（ひつよう）があります。

Quên nâng giá trị tuyệt đối $r$ lên lũy thừa $n$ khi áp dụng định lý De Moivre cho $(r(\cos\theta + i\sin\theta))^n$.$(r(\cos\theta + i\sin\theta))^n$ にド・モアブルの定理（ていり）を適用（てきよう）する際（さい）、絶対（ぜったい）値（ち） $r$ を $n$ 乗（の）し忘（わす）れる誤（あやま）り。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Định lý De Moivre cho biến đổi $(\cos\theta + i\sin\theta)^n$, nên với số phức đầy đủ ta phải tính $r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta)$.ド・モアブルの定理（ていり）は $(\cos\theta + i\sin\theta)^n$ に対（たい）するものであり、全（ぜん）式（しき）では $r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta)$ と計算（けいさん）します。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Dạng lượng giác $r(\cos\theta + i\sin\theta)$ biểu diễn số phức qua độ dài $r = \sqrt{a^2+b^2}$ và góc $\theta$.極（ごく）形式（けいしき） $r(\cos\theta + i\sin\theta)$ は、長（なが）さ $r = \sqrt{a^2+b^2}$ と角度（かくど） $\theta$ で複素（ふくそ）数（すう）を表（あらわ）します。
  • Khi nhân hai số phức dạng lượng giác, ta nhân các giá trị tuyệt đối và cộng các argument.極（ごく）形式（けいしき）の複素（ふくそ）数（すう）の積（せき）では、絶対（ぜったい）値（ち）を掛け合（かけあ）わせ、偏角（へんかく）を足し合（たしあ）わせます。
  • Định lý De Moivre $(\cos\alpha + i\sin\alpha)^n = \cos n\alpha + i\sin n\alpha$ giúp tính lũy thừa bằng cách nhân góc với $n$.ド・モアブルの定理（ていり） $(\cos\alpha + i\sin\alpha)^n = \cos n\alpha + i\sin n\alpha$ により、偏角（へんかく）を $n$ 倍（ばい）して累乗（るいじょう）を計算（けいさん）できます。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

a+bi = r(\cos\theta + i\sin\theta)

Công thức biểu diễn số phức $a+bi$ dưới dạng lượng giác. Trong đó $r$ là giá trị tuyệt đối và $\theta$ là argument.

複素（ふくそ）数（すう） $a+bi$ を極（ごく）形式（けいしき）で表（あらわ）す公式（こうしき）です。ここで $r$ は絶対（ぜったい）値（ち）、$\theta$ は偏角（へんかく）を表（あらわ）します。

r = \sqrt{a^2+b^2}

Công thức tính giá trị tuyệt đối $r$ của số phức $a+bi$. Đây chính là khoảng cách từ điểm biểu diễn đến gốc tọa độ.

複素（ふくそ）数（すう） $a+bi$ の絶対（ぜったい）値（ち） $r$ を求（もと）める公式（こうしき）です。これは表（あらわ）される点（てん）から原点（げんてん）までの距離（きょり）に相当（そうとう）します。

(\cos\alpha + i\sin\alpha)(\cos\beta + i\sin\beta) = \cos(\alpha+\beta) + i\sin(\alpha+\beta)

Công thức nhân hai số phức có giá trị tuyệt đối bằng 1. Kết quả có argument bằng tổng hai argument ban đầu.

絶対（ぜったい）値（ち）が1である2つの複素（ふくそ）数（すう）の積（せき）の公式（こうしき）です。積（せき）の偏角（へんかく）は元（もと）の2つの偏角（へんかく）の和（わ）になります。

(\cos\alpha + i\sin\alpha)^n = \cos n\alpha + i\sin n\alpha

Định lý De Moivre dùng để tính lũy thừa bậc $n$ của số phức. Phép nâng lũy thừa chuyển thành phép nhân góc $\alpha$ với $n$.

複素（ふくそ）数（すう）の $n$ 乗（のり）を計算（けいさん）するためのド・モアブルの定理（ていり）です。累乗（るいじょう）の計算（けいさん）が偏角（へんかく） $\alpha$ を $n$ 倍（ばい）する操作（そうさ）に変換（へんかん）されます。

EJU 2026 · MATH.15.1 · MATH.15.2

Dạng lượng giác giúp biểu diễn số phức qua khoảng cách tới gốc tọa độ và góc quay trên mặt phẳng số phức. Phương pháp này đơn giản hóa phép nhân và phép nâng lên lũy thừa số phức.

極（ごく）形式（けいしき）は、複素（ふくそ）数（すう）を原点（げんてん）からの距離（きょり）と回転（かいてん）角（かく）によって表（あらわ）す方法（ほうほう）です。この形式（けいしき）を使（つか）うことで、複素（ふくそ）数（すう）の乗法（じょうほう）や累乗（るいじょう）の計算（けいさん）が非常（ひじょう）に簡単（かんたん）になります。

複素（ふくそ）数（すう）の極（ごく）形式（けいしき）
複素数の極形式ド・モアブルの定理絶対値偏角