Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学II・B · Toán II · B

Ứng dụng phương trình mặt phẳng平面（へいめん）の方程（ほうてい）式（しき）の利用（りよう）

Công thức公式

ax + by + cz + d = 0
\vec{n} = (a, b, c)
\vec{PH} // \vec{n} \implies \vec{PH} = k\vec{n}
r = \frac{|a x_0 + b y_0 + c z_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}

Ví dụ例題

Cho điểm P(1, 2, 3) và mặt phẳng \((\alpha)\): 2x - y + 2z - 1 = 0. Tính khoảng cách r từ P đến mặt phẳng \((\alpha)\).

点（てん） P(1, 2, 3) と平面（へいめん） \((\alpha)\): 2x - y + 2z - 1 = 0 が与（あた）えられています。点（てん） P から平面（へいめん） \((\alpha)\) までの距離（きょり） r を求（もと）めなさい。

  1. Xác định các hệ số của mặt phẳng: a = 2, b = -1, c = 2, d = -1 và tọa độ điểm P(\(x_{0}\), \(y_{0}\), \(z_{0}\)) = (1, 2, 3).平面（へいめん）の係数（けいすう） a = 2, b = -1, c = 2, d = -1 および点（てん） P の座標（ざひょう） (\(x_{0}\), \(y_{0}\), \(z_{0}\)) = (1, 2, 3) を確認（かくにん）します。
  2. Tính tử số: \(|ax_0+by_0+cz_0+d|\) = |2(1) + (-1)(2) + 2(3) - 1| = |2 - 2 + 6 - 1| = |5| = 5.分子（ぶんし）を計算（けいさん）します：\(|ax_0+by_0+cz_0+d|\) = |2(1) + (-1)(2) + 2(3) - 1| = |2 - 2 + 6 - 1| = |5| = 5。
  3. Tính mẫu số: \(\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} = \sqrt{2^{2} + (-1)^{2} + 2^{2}} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3\).分母（ぶんぼ）を計算（けいさん）します：\(\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} = \sqrt{2^{2} + (-1)^{2} + 2^{2}} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3\)。
  4. Thay vào công thức khoảng cách ta được r = 5 / 3.距離（きょり）の公式（こうしき）に代入（だいにゅう）すると、r = 5 / 3 となります。
Vậy khoảng cách từ điểm P đến mặt phẳng \((\alpha)\) là r = 5/3.したがって、点（てん） P から平面（へいめん） \((\alpha)\) までの距離（きょり）は r = 5/3 です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Vectơ pháp tuyến vec{n} của mặt phẳng có phương trình 3x - 2y + z - 5 = 0 là vectơ nào sau đây?平面（へいめん） 3x - 2y + z - 5 = 0 の法線（ほうせん）ベクトル \(\vec{n}\) として正（ただ）しいものはどれか。

2. Khoảng cách r từ gốc tọa độ O(0, 0, 0) đến mặt phẳng x + 2y - 2z + 6 = 0 bằng bao nhiêu?原点（げんてん） O(0, 0, 0) から平面（へいめん） x + 2y - 2z + 6 = 0 までの距離（きょり） r はいくらか。

3. Cho điểm P(0, 1, 2) và mặt phẳng \((\alpha)\): x + z - 1 = 0. Tọa độ chân đường vuông góc H kẻ từ P đến \((\alpha)\) thỏa mãn điều kiện vectơ nào?点（てん） P(0, 1, 2) と平面（へいめん） \((\alpha)\): x + z - 1 = 0 について、点（てん） P から平面（へいめん） \((\alpha)\) に下（お）ろした垂線（すいせん）の足（あし） H が満（み）たすベクトル条件（じょうけん）はどれか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.14.3. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 2 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.14.3。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）2区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Xác định được vectơ pháp tuyến vec{n} = (a, b, c) từ phương trình mặt phẳng ax + by + cz + d = 0.平面（へいめん） ax + by + cz + d = 0 から法線（ほうせん）ベクトル \(\vec{n}\) = (a, b, c) を特定（とくてい）できるようにする。
  2. Tìm được tọa độ chân đường vuông góc H kẻ từ điểm P đến mặt phẳng bằng cách dùng vec{PH} = k vec{n}.\(\vec{PH}\) = k \(\vec{n}\) を用（もち）いて、点（てん） P から平面（へいめん）に下（お）ろした垂線（すいせん）の足（あし） H の座標（ざひょう）を求（もと）められるようにする。
  3. Áp dụng chính xác công thức khoảng cách r = \(|ax_0+by_0+cz_0+d|\) / \(\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}\) để tính khoảng cách.点（てん）と平面（へいめん）の距離（きょり）の公式（こうしき） r = \(|ax_0+by_0+cz_0+d|\) / \(\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}\) を正（ただ）しく適用（てきよう）して距離（きょり）を計算（けいさん）できるようにする。
Trực giác · イメージ

Trực giác về đường vuông góc và khoảng cách đến mặt phẳng垂線（すいせん）と平面（へいめん）までの距離（きょり）の直感（ちょっかん）的（てき）理解（りかい）

Khoảng cách từ một điểm P đến mặt phẳng là độ dài ngắn nhất từ P đến mặt phẳng đó, chính là độ dài đoạn vuông góc PH. Vectơ PH luôn song song với vectơ pháp tuyến vec{n} của mặt phẳng.

点（てん） P から平面（へいめん）までの距離（きょり）とは、P から平面（へいめん）へ引（ひ）いた最短（さいたん）の長（なが）さであり、垂線（すいせん） PH の長（なが）さそのものです。ベクトル PH は常（つね）に平面（へいめん）の法線（ほうせん）ベクトル \(\vec{n}\) と平行（へいこう）になります。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 法線（ほうせん）ベクトルVectơ pháp tuyến

    Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ax + by + cz + d = 0 là vec{n} = (a, b, c). Vectơ này chỉ hướng vuông góc với mặt phẳng.

    平面（へいめん） ax + by + cz + d = 0 の法線（ほうせん）ベクトルは \(\vec{n}\) = (a, b, c) です。このベクトルは平面（へいめん）に垂直（すいちょく）な方向（ほうこう）を示（しめ）します。

  • 垂線（すいせん）の足（あし）Chân đường vuông góc

    Chân đường vuông góc H là giao điểm của đường thẳng đi qua P vuông góc với mặt phẳng và chính mặt phẳng đó. Điểm H thuộc mặt phẳng và vec{PH} song song với vec{n}.

    垂線（すいせん）の足（あし） H は、点（てん） P を通（とお）り平面（へいめん）に垂直（すいちょく）な直線（ちょくせん）と平面（へいめん）との交点（こうてん）です。点（てん） H は平面（へいめん）上（じょう）にあり、\(\vec{PH}\) は \(\vec{n}\) に平行（へいこう）となります。

  • 点（てん）と平面（へいめん）の距離（きょり）の公式（こうしき）Công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

    Công thức khoảng cách cho phép tính độ dài vuông góc từ điểm (\(x_{0}\), \(y_{0}\), \(z_{0}\)) đến mặt phẳng ax + by + cz + d = 0. Giá trị thu được luôn là một số không âm.

    点（てん）と平面（へいめん）の距離（きょり）の公式（こうしき）により、点（てん） (\(x_{0}\), \(y_{0}\), \(z_{0}\)) から平面（へいめん） ax + by + cz + d = 0 までの垂直（すいちょく）な距離（きょり）を計算（けいさん）できます。得（え）られる値（ね）は常（つね）に非（ひ）負（ふ）の実数（じっすう）です。

  • 法線（ほうせん）ベクトルVéc-tơ pháp tuyến

    Véc-tơ pháp tuyến vuông góc với mọi véc-tơ nằm trong mặt phẳng. Các hệ số a, b, c của phương trình tổng quát chính là các tọa độ của véc-tơ này.

    法線（ほうせん）ベクトルは平面（へいめん）上（じょう）のすべてのベクトルと直交（ちょっこう）します。一般（いっぱん）形（けい）の方方（ほうぼう）程（ほど）式（しき）の係数（けいすう） a, b, c がこのベクトルの成分（せいぶん）となります。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1: 平面（へいめん）の方方（ほうぼう）程（ほど）式（しき）からの法線（ほうせん）ベクトルの抽出（ちゅうしゅつ）

    Bước 1: Trích xuất vectơ pháp tuyến từ phương trình mặt phẳng

    Từ phương trình tổng quát ax + by + cz + d = 0, ta xác định ngay vectơ pháp tuyến là vec{n} = (a, b, c). Đây là bước nền tảng để giải các bài toán khoảng cách và vuông góc.

    一般（いっぱん）形（けい） ax + by + cz + d = 0 から、法線（ほうせん）ベクトル \(\vec{n}\) = (a, b, c) を直（ただ）ちに読み取（よみと）ります。これは距離（きょり）や垂直（すいちょく）条件（じょうけん）を扱（あつか）う基礎（きそ）となります。

  2. 02
    ステップ2: 垂線（すいせん）の足（あし） H の座標（ざひょう）表現（ひょうげん）の設定（せってい）

    Bước 2: Thiết lập biểu thức tọa độ của chân đường vuông góc H

    Vì PH vuông góc với mặt phẳng nên vec{PH} // vec{n}, nghĩa là vec{PH} = k vec{n}. Từ đó ta biểu diễn tọa độ của H theo tham số k và tọa độ điểm P.

    PH が平面（へいめん）に垂直（すいちょく）であるため \(\vec{PH}\) // \(\vec{n}\)、すなわち \(\vec{PH}\) = k \(\vec{n}\) と表（あらわ）せます。これにより H の座標（ざひょう）をパラメータ k と P の座標（ざひょう）で表現（ひょうげん）します。

  3. 03
    ステップ3: 平面（へいめん）の方方（ほうぼう）程（ほど）式（しき）への代入（だいにゅう）による k と H の決定（けってい）

    Bước 3: Thay H vào phương trình mặt phẳng để tìm k và tọa độ H

    Vì H thuộc mặt phẳng ax + by + cz + d = 0, ta thay tọa độ H vào phương trình để giải ra k. Sau khi tìm được k, ta suy ra tọa độ chính xác của chân đường vuông góc H.

    H は平面（へいめん） ax + by + cz + d = 0 上（うえ）にあるため、H の座標（ざひょう）を代入（だいにゅう）して k を解（と）きます。k が求（もと）まれば、垂線（すいせん）の足（あし） H の正確（せいかく）な座標（ざひょう）が得（え）られます。

  4. 04
    ステップ4: 点（てん）と平面（へいめん）の距離（きょり）の公式（こうしき）の適用（てきよう）

    Bước 4: Áp dụng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

    Khoảng cách r từ P(\(x_{0}\), \(y_{0}\), \(z_{0}\)) đến mặt phẳng được tính trực tiếp bằng r = \(|ax_0+by_0+cz_0+d|\) / \(\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}\). Công thức này giúp tính nhanh độ dài PH mà không cần tìm H.

    点（てん） P(\(x_{0}\), \(y_{0}\), \(z_{0}\)) から平面（へいめん）までの距離（きょり） r は、r = \(|ax_0+by_0+cz_0+d|\) / \(\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}\) で直接（ちょくせつ）計算（けいさん）できます。H を求（もと）めずに距離（きょり） PH を素早（すばや）く得（え）られます。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Quên dấu giá trị tuyệt đối ở tử số trong công thức tính khoảng cách.距離（きょり）の公式（こうしき）の分子（ぶんし）において、絶対（ぜったい）値（ち）記号（きごう）を忘（わす）れて計算（けいさん）してしまうこと。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Khoảng cách luôn là một số không âm, vì vậy phải lấy giá trị tuyệt đối \(|ax_0+by_0+cz_0+d|\) ở tử số.距離（きょり）は常（つね）に非（ひ）負（ふ）であるため、分子（ぶんし）の \(|ax_0+by_0+cz_0+d|\) には必（かなら）ず絶対（ぜったい）値（ち）をつけなければなりません。

Bao gồm hệ số tự do d vào biểu thức căn bậc hai ở mẫu số của công thức khoảng cách.距離（きょり）の公式（こうしき）の分母（ぶんぼ）の平方（へいほう）根（こん）内（ない）に、定数（ていすう）項（こう） d を含（ふく）めてしまうこと。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Mẫu số chỉ chứa độ dài của vectơ pháp tuyến \(\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}\), tuyệt đối không đưa hệ số d vào trong căn.分母（ぶんぼ）は法線（ほうせん）ベクトルの長（なが）さ \(\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}\) のみを含（ふく）み、定数（ていすう）項（こう） d を根号（こんごう）内（ない）に入（い）れてはいけません。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Phương trình mặt phẳng ax + by + cz + d = 0 cho ta vectơ pháp tuyến vec{n} = (a, b, c).平面（へいめん） ax + by + cz + d = 0 から法線（ほうせん）ベクトル \(\vec{n}\) = (a, b, c) が得（え）られます。
  • Chân đường vuông góc H từ điểm P đến mặt phẳng được xác định nhờ vec{PH} = k vec{n} và H thuộc mặt phẳng.点（てん） P から平面（へいめん）への垂線（すいせん）の足（あし） H は \(\vec{PH}\) = k \(\vec{n}\) かつ H が平面（へいめん）上（じょう）にあることから決定（けってい）されます。
  • Khoảng cách từ điểm (\(x_{0}\), \(y_{0}\), \(z_{0}\)) đến mặt phẳng ax + by + cz + d = 0 là r = \(|ax_0+by_0+cz_0+d|\) / \(\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}\).点（てん） (\(x_{0}\), \(y_{0}\), \(z_{0}\)) から平面（へいめん） ax + by + cz + d = 0 までの距離（きょり）は r = \(|ax_0+by_0+cz_0+d|\) / \(\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}\) です。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

ax + by + cz + d = 0

Phương trình tổng quát của mặt phẳng trong không gian Oxyz, trong đó a, b, c không đồng thời bằng 0.

座標（ざひょう）空間（くうかん） Oxyz における平面（へいめん）の一般（いっぱん）形（けい）の方方（ほうぼう）程（ほど）式（しき）。ここで a, b, c は同時（どうじ）に 0 にはなりません。

\vec{n} = (a, b, c)

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ax + by + cz + d = 0, có các tọa độ là hệ số của x, y, z.

平面（へいめん） ax + by + cz + d = 0 の法線（ほうせん）ベクトル。x, y, z の係数（けいすう）がその成分（せいぶん）となります。

\vec{PH} // \vec{n} \implies \vec{PH} = k\vec{n}

Điều kiện đoạn PH vuông góc với mặt phẳng. Vectơ PH cùng phương với vectơ pháp tuyến vec{n} nên biểu diễn được qua hệ số k.

線分（せんぶん） PH が平面（へいめん）に垂直（すいちょく）である条件（じょうけん）。ベクトル PH は法線（ほうせん）ベクトル \(\vec{n}\) と平行（へいこう）であるため、係数（けいすう） k を用（もち）いて表（あらわ）されます。

r = \frac{|a x_0 + b y_0 + c z_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}

Công thức tính khoảng cách r từ điểm (\(x_{0}\), \(y_{0}\), \(z_{0}\)) đến mặt phẳng ax + by + cz + d = 0.

点（てん） (\(x_{0}\), \(y_{0}\), \(z_{0}\)) から平面（へいめん） ax + by + cz + d = 0 までの距離（きょり） r を求（もと）める公式（こうしき）です。

EJU 2026 · MATH.14.3

Bài học này hướng dẫn ứng dụng phương trình mặt phẳng để tìm chân đường vuông góc và tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng. Bạn sẽ làm chủ công thức tính khoảng cách và cách dùng vectơ pháp tuyến để giải bài toán không gian.

本課（ほんか）では、平面（へいめん）の方方（ほうぼう）程（ほど）式（しき）を利用（りよう）して垂線（すいせん）の足（あし）を求（もと）め、点（てん）と平面（へいめん）の距離（きょり）を計算（けいさん）する方法（ほうほう）を学（まな）びます。法線（ほうせん）ベクトルを用（もち）いた空間（くうかん）図形（ずけい）問題（もんだい）の解法（かいほう）と距離（きょり）の公式（こうしき）をマスターします。

平面（へいめん）の方程（ほうてい）式（しき）の利用（りよう）
法線ベクトル垂線の足点と平面の距離の公式法線ベクトル