Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学II・B · Toán II · B

Dãy số Phần 2数列（すうれつ） 第（だい）2部（ぶ）

Công thức公式

\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}
\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
\sum_{k=1}^n k^3 = \left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}^2
\sum_{k=1}^n (a_k \pm b_k) = \sum_{k=1}^n a_k \pm \sum_{k=1}^n b_k

Ví dụ例題

Tính tổng S = sum_{k=1}^4 (2k + 1) bằng cách áp dụng tính chất của Sigma và công thức cơ bản.

Sigmaの性質（せいしつ）と基本（きほん）公式（こうしき）を適用（てきよう）して、和（わ）S = Σ_{k=1}^4 (2k + 1)の値（あたい）を求（もと）めなさい。

  1. Tách tổng theo tính chất Sigma: S = 2 sum_{k=1}^4 k + sum_{k=1}^4 1.Sigmaの性質（せいしつ）を用（もち）いて和（わ）を分解（ぶんかい）します：S = 2 Σ_{k=1}^4 k + Σ_{k=1}^4 1。
  2. Thay sum_{k=1}^4 k = 4 x 5 / 2 = 10 và sum_{k=1}^4 1 = 4. Ta được S = 2 x 10 + 4 = 24.Σ_{k=1}^4 k = 4 × 5 / 2 = 10 および Σ_{k=1}^4 1 = 4を代入（だいにゅう）すると、S = 2 × 10 + 4 = 24が得（え）られます。
Vậy giá trị của tổng S là 24.したがって、和（わ）Sの値（あたい）は24です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Tính giá trị của tổng sum_{k=1}^3 k^2.和（わ） Σ_{k=1}^3 k^2 の値（あたい）を求（もと）めなさい。

2. Tính giá trị của tổng sum_{k=1}^3 k^3.和（わ） Σ_{k=1}^3 k^3 の値（あたい）を求（もと）めなさい。

3. Cho tổng S = sum_{k=1}^3 (k + 2). Giá trị của S là bao nhiêu?和（わ） S = Σ_{k=1}^3 (k + 2) の値（あたい）を求（もと）めなさい。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.12.1. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.12.1。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Hiểu ý nghĩa ký hiệu \(\Sigma\) và áp dụng thành thạo các công thức tính tổng cơ bản của k, \(k^{2}\), \(k^{3}\).和（わ）の記号（きごう）\(\Sigma\)の意味（いみ）を理解（りかい）し、k、\(k^{2}\)、\(k^{3}\)の基本（きほん）和（わ）公式（こうしき）を正確（せいかく）に適用（てきよう）する。
  2. Vận dụng các tính chất của \(\Sigma\) để tách và tính tổng các biểu thức đa thức.\(\Sigma\)の線形（せんけい）性（せい）を利用（りよう）して多項（たこう）式（しき）を分解（ぶんかい）し、和（わ）を計算（けいさん）する。
  3. Sử dụng dãy số hiệu để tìm số hạng tổng quát của dãy số ban đầu khi n >= 2.n ≧ 2における階差（かいさ）数列（すうれつ）の公式（こうしき）を用（もち）いて、元（もと）の数列（すうれつ）の一般（いっぱん）項（こう）を求（もと）める。
Trực giác · イメージ

Hiểu bản chất tính tổng bằng ký hiệu \(\Sigma\) và mối liên hệ với dãy số hiệu\(\Sigma\)記号（きごう）による和（わ）の計算（けいさん）と階差（かいさ）数列（すうれつ）の相互（そうご）関係（かんけい）の本質（ほんしつ）を理解（りかい）する

Ký hiệu \(\Sigma\) thu gọn việc cộng nhiều số hạng theo quy luật, trong khi dãy số hiệu phản ánh tốc độ chênh lệch giữa các số hạng kề nhau. Việc cộng dồn dãy số hiệu từ k=1 đến n-1 sẽ giúp khôi phục số hạng tổng quát của dãy ban đầu.

\(\Sigma\)記号（きごう）は規則（きそく）的（てき）な多数（たすう）の項（こう）の和（わ）を簡潔（かんけつ）に表現（ひょうげん）し、階差（かいさ）数列（すうれつ）は隣り合（となりあ）う項（こう）間（かん）の変化（へんか）量（りょう）を表（あらわ）します。階差（かいさ）数列（すうれつ）の第（だい）1項（こう）から第（だい）n-1項（こう）までを加え合（くわえあ）わせることで、元（もと）の数列（すうれつ）の一般（いっぱん）項（こう）を復元（ふくげん）できます。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 公比（こうひ）Công tỷ

    Tỷ số không đổi giữa hai số hạng liên tiếp trong cấp số nhân, ký hiệu là r. Công tỷ quyết định tốc độ tăng trưởng hoặc suy giảm của dãy số.

    等比（とうひ）数列（すうれつ）において隣り合（となりあ）う2項（こう）の間（あいだ）の一定（いってい）の比（ひ）であり、rで表（あらわ）されます。公比（こうひ）は数列（すうれつ）の増減（ぞうげん）や変化（へんか）の割合（わりあい）を決定（けってい）します。

  • 和（わ）の記号（きごう） ΣKý hiệu tổng Sigma

    Ký hiệu toán học chữ cái Greek \(\Sigma\) viết hoa dùng để biểu diễn tổng của các số hạng \(a_{k}\) từ chỉ số k = 1 đến n.

    数列（すうれつ）の第（だい）1項（こう）から第（だい）n項（こう）までの和（わ）を簡潔（かんけつ）に表記（ひょうき）するために用（もち）いられるギリシャ文字（もじ）の記号（きごう）です。

  • Σの性質（せいしつ）Tính chất của Sigma

    Các quy tắc tuyến tính như tách tổng của hai dãy số hoặc đưa hằng số nhân ra ngoài dấu \(\Sigma\). Nhờ đó ta có thể chia nhỏ biểu thức phức tạp để tính toán.

    2つの数列（すうれつ）の和（わ）の分解（ぶんかい）や、定数（ていすう）倍（ばい）を記号（きごう）の外（そと）へ括（くく）り出（だ）すことができる線形（せんけい）性（せい）の性質（せいしつ）です。これにより複雑（ふくざつ）な式（しき）を単純（たんじゅん）な基本（きほん）和（わ）に分解（ぶんかい）して計算（けいさん）できます。

  • 階差（かいさ）数列（すうれつ）Dãy số hiệu

    Dãy \(b_{n}\) được tạo ra từ hiệu của hai số hạng liên tiếp \(b_{n} = a_{n + 1} - a_{n}\) của dãy số \(a_{n}\). Khi n >= 2, số hạng \(a_{n}\) bằng \(a_{1}\) cộng tổng các \(b_{k}\) từ k=1 đến n-1.

    元（もと）の数列（すうれつ）\(a_{n}\)の隣り合（となりあ）う項（こう）の差（さ）\(b_{n} = a_{n + 1} - a_{n}\)によって作（つく）られる数列（すうれつ）です。n ≧ 2のとき、\(a_{n}\)は初項（しょこう）\(a_{1}\)に階差（かいさ）数列（すうれつ）の第（だい）1項（こう）から第（だい）n-1項（こう）までの和（わ）を加（くわ）えることで求（もと）められます。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    基本（きほん）\(\Sigma\)和（わ）公式（こうしき）の習得（しゅうとく）

    Nắm vững công thức tổng \(\Sigma\) cơ bản

    Ghi nhớ ba công thức tổng lũy thừa của k từ 1 đến n cho k, \(k^{2}\) và \(k^{3}\). Các công thức này là nền tảng để tính tổng đa thức.

    1からnまでのk、\(k^{2}\)、\(k^{3}\)の和（わ）の公式（こうしき）を正確（せいかく）に暗記（あんき）します。これらは多項（たこう）式（しき）の和（わ）を計算（けいさん）するための基礎（きそ）となります。

  2. 02
    \(\Sigma\)の線形（せんけい）性（せい）の活用（かつよう）

    Sử dụng tính chất tuyến tính của \(\Sigma\)

    Tách biểu thức tổng thành các tổng thành phần bằng công thức tổng hiệu và đưa hệ số ra ngoài. Sau đó thế các công thức \(\Sigma\) cơ bản vào để rút gọn.

    和（わ）と差（さ）の公式（こうしき）を用（もち）いて式（しき）を個別（こべつ）の\(\Sigma\)に分解（ぶんかい）し、係数（けいすう）を外（そと）に括（くく）り出（だ）します。その後（あと）、基本（きほん）的（てき）な\(\Sigma\)公式（こうしき）を代入（だいにゅう）して整理（せいり）します。

  3. 03
    元（もと）数列（すうれつ）からの階差（かいさ）数列（すうれつ）の特定（とくてい）

    Xác định dãy số hiệu từ dãy ban đầu

    Tính hiệu \(b_{n} = a_{n + 1} - a_{n}\) giữa các số hạng liên tiếp của dãy \(a_{n}\). Xây dựng công thức tổng quát cho dãy số hiệu \(b_{n}\).

    数列（すうれつ）\(a_{n}\)の隣り合（となりあ）う項（こう）の差（さ）\(b_{n} = a_{n + 1} - a_{n}\)を計算（けいさん）します。階差（かいさ）数列（すうれつ）\(b_{n}\)の一般（いっぱん）項（こう）の式（しき）を構成（こうせい）します。

  4. 04
    階差（かいさ）数列（すうれつ）を用（もち）いた元（もと）数列（すうれつ）の復元（ふくげん）

    Khôi phục dãy ban đầu từ dãy số hiệu

    Với n >= 2, dùng công thức a_n = a_1 + sum_{k=1}^{n-1} b_k. Sau khi tính xong, thử kiểm tra lại giá trị với n = 1.

    n ≧ 2において、公式（こうしき）a_n = a_1 + Σ_{k=1}^{n-1} b_kを適用（てきよう）します。計算（けいさん）完了（かんりょう）後（ご）、n = 1での成立（せいりつ）を必（かなら）ず確認（かくにん）します。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Quên đổi chỉ số trên của \(\Sigma\) từ n thành n-1 khi tính \(a_{n}\) từ dãy số hiệu.階差（かいさ）数列（すうれつ）から\(a_{n}\)を求（もと）める際（さい）、\(\Sigma\)の上端（じょうたん）のインデックスをnからn-1にし忘（わす）れること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Công thức dãy số hiệu tính tổng \(b_{k}\) từ k=1 đến n-1, không phải đến n.階差（かいさ）数列（すうれつ）の公式（こうしき）では、\(b_{k}\)の和（わ）をk=1からn-1まで計算（けいさん）することに注意（ちゅうい）します。

Bỏ qua bước kiểm tra điều kiện n = 1 sau khi tìm ra công thức \(a_{n}\) bằng dãy số hiệu.階差（かいさ）数列（すうれつ）を用（もち）いて\(a_{n}\)の公式（こうしき）を求（もと）めた後（あと）、n = 1での成立（せいりつ）確認（かくにん）を省略（しょうりゃく）してしまうこと。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Công thức tìm từ dãy số hiệu chỉ suy ra với n >= 2, nên bắt buộc phải thử lại xem n = 1 có đúng không.階差（かいさ）数列（すうれつ）による導出（どうしゅつ）はn ≧ 2に基（もと）づくため、n = 1のときも成立（せいりつ）するか確認（かくにん）が必要（ひつよう）です。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Ký hiệu \(\Sigma\) cho phép viết gọn tổng dãy số và sử dụng các công thức chuẩn cho k, \(k^{2}\), \(k^{3}\).\(\Sigma\)記号（きごう）により数列（すうれつ）の和（わ）を簡潔（かんけつ）に表現（ひょうげん）でき、k、\(k^{2}\)、\(k^{3}\)の標準（ひょうじゅん）和（わ）公式（こうしき）を利用（りよう）できます。
  • Tính chất tuyến tính sum(a_k +/- b_k) = sum a_k +/- sum b_k giúp tách và đơn giản hóa tổng đa thức.線形（せんけい）性（せい）Σ(\(a_{k}\) ± \(b_{k}\)) = Σ\(a_{k}\) ± Σ\(b_{k}\)を利用（りよう）することで、多項（たこう）式（しき）の和（わ）を分解（ぶんかい）・単純（たんじゅん）化（か）できます。
  • Dãy số hiệu giúp tìm số hạng tổng quát a_n khi n >= 2 qua công thức a_n = a_1 + sum_{k=1}^{n-1} b_k.階差（かいさ）数列（すうれつ）を用（もち）いることで、n ≧ 2における一般（いっぱん）項（こう）a_nを公式（こうしき）a_n = a_1 + Σ_{k=1}^{n-1} b_kから求（もと）められます。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}

Công thức tính tổng của n số nguyên dương đầu tiên từ 1 đến n.

1からnまでの自然（しぜん）数（すう）の和（わ）を求（もと）める基本（きほん）的（てき）な公式（こうしき）です。

\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

Công thức tính tổng bình phương của n số nguyên dương đầu tiên.

1からnまでの自然（しぜん）数（すう）の2乗（のり）の和（わ）を計算（けいさん）する公式（こうしき）です。

\sum_{k=1}^n k^3 = \left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}^2

Công thức tính tổng lập phương của n số nguyên dương đầu tiên.

1からnまでの自然（しぜん）数（すう）の3乗（のり）の和（わ）を求（もと）める公式（こうしき）です。

\sum_{k=1}^n (a_k \pm b_k) = \sum_{k=1}^n a_k \pm \sum_{k=1}^n b_k

Tính chất phân tách tổng hoặc hiệu của hai dãy số dưới dấu \(\Sigma\).

\(\Sigma\)記号（きごう）における2つの数列（すうれつ）の和（わ）および差（さ）の分解（ぶんかい）を表（あらわ）す線形（せんけい）性（せい）の公式（こうしき）です。

EJU 2026 · MATH.12.1

Bài học hướng dẫn cách sử dụng ký hiệu tổng \(\Sigma\), các tính chất cơ bản và kỹ thuật tìm số hạng dãy gốc từ dãy số hiệu. Nắm vững kiến thức này giúp giải quyết các bài toán dãy số phức tạp trong kỳ thi EJU.

本課（ほんか）では、和（わ）の記号（きごう）\(\Sigma\)の使（つか）い方（かた）、その基本（きほん）性質（せいしつ）、および階差（かいさ）数列（すうれつ）を用（もち）いて元（もと）数列（すうれつ）の一般（いっぱん）項（こう）を求（もと）める手法（しゅほう）を解説（かいせつ）します。これらの知識（ちしき）を習得（しゅうとく）することで、EJUの応用（おうよう）的（てき）な数列（すうれつ）問題（もんだい）に対応（たいおう）できるようになります。

数列（すうれつ） 第（だい）2部（ぶ）
公比和の記号 ΣΣの性質階差数列