Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学II・B · Toán II · B

Dãy số truy hồi 3 số hạng liên tiếp và phương trình đặc trưng Phần 1隣接（りんせつ）3項（こう）間（かん）の漸化（ぜんか）式（しき）と特性（とくせい）方程（ほうてい）式（しき） 第（だい）1部（ぶ）

Công thức公式

A + B = a_1, A\alpha + B\beta = a_2
A = \frac{a_2 - \beta a_1}{\alpha - \beta}
B = \frac{a_2 - \alpha a_1}{\beta - \alpha}
a_n = (A + Bn)\alpha^{n-1}

Ví dụ例題

Cho dãy số có hai nghiệm đặc trưng \(\alpha = 3\) và \(\beta = 1\), biết số hạng \(a_{1} = 3\) và \(a_{2} = 7\). Hãy tính giá trị của hai hệ số A và B.

2つの特性（とくせい）解（かい）\(\alpha = 3\)、\(\beta = 1\)を持（も）ち、初項（しょこう）\(a_{1} = 3\)、第（だい）2項（こう）\(a_{2} = 7\)である数列（すうれつ）において、係数（けいすう）AおよびBの値（あたい）を求（もと）めなさい。

  1. Áp dụng công thức tính A: \(A = (a_{2} - \beta\cdot a_{1}) / (\alpha - \beta) = (7 - 1\cdot 3) / (3 - 1) = 4 / 2 = 2\).Aを求（もと）める公式（こうしき）を適用（てきよう）します：\(A = (a_{2} - \beta\cdot a_{1}) / (\alpha - \beta) = (7 - 1\cdot 3) / (3 - 1) = 4 / 2 = 2\)。
  2. Áp dụng công thức tính B: \(B = (a_{2} - \alpha\cdot a_{1}) / (\beta - \alpha) = (7 - 3\cdot 3) / (1 - 3) = -2 / (-2) = 1\).Bを求（もと）める公式（こうしき）を適用（てきよう）します：\(B = (a_{2} - \alpha\cdot a_{1}) / (\beta - \alpha) = (7 - 3\cdot 3) / (1 - 3) = -2 / (-2) = 1\)。
  3. Kiểm tra lại bằng hệ phương trình: \(A + B = 2 + 1 = 3 = a_{1}\) và \(A\cdot \alpha + B\cdot \beta = 2\cdot 3 + 1\cdot 1 = 7 = a_{2}\).連立（れんりつ）方程（ほうてい）式（しき）で再（さい）確認（かくにん）します：\(A + B = 2 + 1 = 3 = a_{1}\)、および\(A\cdot \alpha + B\cdot \beta = 2\cdot 3 + 1\cdot 1 = 7 = a_{2}\)。
Vậy giá trị của hai hệ số lần lượt là A = 2 và B = 1.したがって、2つの係数（けいすう）の値（あたい）はそれぞれA = 2、B = 1となります。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Cho \(\alpha = 2\), \(\beta = 1\), \(a_{1} = 4\) và \(a_{2} = 7\). Giá trị của hệ số A bằng bao nhiêu?\(\alpha = 2\)、\(\beta = 1\)、\(a_{1} = 4\)、\(a_{2} = 7\)のとき、係数（けいすう）Aの値（あたい）はいくらですか。

2. Cho \(\alpha = 5\), \(\beta = 2\), \(a_{1} = 3\) và \(a_{2} = 9\). Giá trị của hệ số B bằng bao nhiêu?\(\alpha = 5\)、\(\beta = 2\)、\(a_{1} = 3\)、\(a_{2} = 9\)のとき、係数（けいすう）Bの値（あたい）はいくらですか。

3. Cho dãy số có nghiệm kép \(\alpha = 2\) với công thức \(a_{n} = n\cdot \alpha^{n - 1}\). Giá trị của \(a_{3}\) là bao nhiêu?重解（じゅうかい）\(\alpha = 2\)を持（も）ち、公式（こうしき）\(a_{n} = n\cdot \alpha^{n - 1}\)で表（あらわ）される数列（すうれつ）において、\(a_{3}\)の値（あたい）はいくらですか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.12.2. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.12.2。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Hiểu cách thiết lập hệ phương trình để tìm hệ số A và B từ các số hạng ban đầu.初項（しょこう）と第（だい）2項（こう）から係数（けいすう）AとBを求（もと）めて連立（れんりつ）方程（ほうてい）式（しき）を立（た）てる方法（ほうほう）を理解（りかい）する。
  2. Vận dụng công thức nghiệm đặc trưng phân biệt và nghiệm kép để tìm số hạng của dãy.異（こと）なる特性（とくせい）解（かい）および重解（じゅうかい）の公式（こうしき）を適用（てきよう）して数列（すうれつ）の項（こう）を計算（けいさん）する。
Trực giác · イメージ

Tư duy chuyển đổi hệ số trong dãy truy hồi漸化（ぜんか）式（しき）における係数（けいすう）決定（けってい）の直感（ちょっかん）

Khi biết các nghiệm đặc trưng, mối liên hệ giữa các số hạng ban đầu và hệ số A, B giúp ta xác định chính xác quy luật của dãy số. Việc giải hệ phương trình tuyến tính hai ẩn là chìa khóa để hoàn tất biểu thức tổng quát.

特性（とくせい）解（かい）が分（わ）かっているとき、初項（しょこう）や第（だい）2項（こう）との関係（かんけい）から係数（けいすう）AとBを特定（とくてい）することで数列（すうれつ）の規則（きそく）性（せい）が明確（めいかく）になります。2元（もと）一（いち）次（じ）連立（れんりつ）方程（ほうてい）式（しき）を解（と）くことが一般（いっぱん）項（こう）決定（けってい）の鍵（かぎ）となります。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 特性（とくせい）方程（ほうてい）式（しき）phương trình đặc trưng

    Phương trình bậc hai thu được từ các hệ số của dãy truy hồi 3 số hạng liên tiếp. Nghiệm của phương trình này quyết định dạng số hạng tổng quát.

    隣接（りんせつ）3項（こう）間（かん）漸化（ぜんか）式（しき）の係数（けいすう）から導（みちび）かれる2次（じ）方程（ほうてい）式（しき）です。この方程（ほうてい）式（しき）の解（かい）が一般（いっぱん）項（こう）の形式（けいしき）を決定（けってい）します。

  • 特性（とくせい）解（かい）nghiệm đặc trưng

    Các nghiệm \(\alpha\) và \(\beta\) thu được khi giải phương trình đặc trưng. Chúng được dùng trực tiếp trong công thức tính hệ số và số hạng của dãy.

    特性（とくせい）方程（ほうてい）式（しき）を解（と）くことで得（え）られる解（かい）\(\alpha\)および\(\beta\)です。これらは係数（けいすう）や数列（すうれつ）の項（こう）を計算（けいさん）する公式（こうしき）に直接（ちょくせつ）使用（しよう）されます。

  • 重解（じゅうかい）nghiệm kép

    Trường hợp phương trình đặc trưng có hai nghiệm bằng nhau. Khi đó số hạng tổng quát của dãy có chứa nhân tử n.

    特性（とくせい）方程（ほうてい）式（しき）が等（ひと）しい2解（かい）を持（も）つ場合（ばあい）を指（さ）します。このとき数列（すうれつ）の一般（いっぱん）項（こう）にはnの因数（いんすう）が含（ふく）まれます。

  • 虚数（きょすう）解（かい）nghiệm ảo

    Trường hợp phương trình đặc trưng không có nghiệm thực mà có nghiệm phức. Các nghiệm này thể hiện tính chất đặc biệt của dãy số.

    特性（とくせい）方程（ほうてい）式（しき）が実数（じっすう）解（かい）を持（も）たず複素（ふくそ）数（すう）解（かい）を持（も）つ場合（ばあい）です。これらの解（かい）は数列（すうれつ）の特別（とくべつ）な性質（せいしつ）を表（あらわ）します。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：2つの特性（とくせい）解（かい）を特定（とくてい）する

    Bước 1: Xác định hai nghiệm đặc trưng

    Giải phương trình đặc trưng để tìm hai nghiệm \(\alpha\) và \(\beta\). Kiểm tra xem hai nghiệm này là phân biệt hay là nghiệm kép.

    特性（とくせい）方程（ほうてい）式（しき）を解（と）いて2つの解（かい）\(\alpha\)と\(\beta\)を求（もと）めます。それらの解（かい）が異（こと）なる実数（じっすう）解（かい）か重解（じゅうかい）かを確認（かくにん）します。

  2. 02
    ステップ2：AとBを求（もと）める連立（れんりつ）方程（ほうてい）式（しき）を立（た）てる

    Bước 2: Lập hệ phương trình tìm A và B

    Chỉ khi $\alpha\ne\beta$, dùng hệ $A+B=a_1$ và $A\alpha+B\beta=a_2$. Hệ này ứng với $a_n=A\alpha^{n-1}+B\beta^{n-1}$. Trường hợp nghiệm kép được xử lý riêng ở bước 4.

    $\alpha\ne\beta$ のときだけ、$a_n=A\alpha^{n-1}+B\beta^{n-1}$ に対応（たいおう）する連立（れんりつ）方程（ほうてい）式（しき） $A+B=a_1$、$A\alpha+B\beta=a_2$ を用（もち）いる。重解（じゅうかい）の場合（ばあい）はステップ4で別（べつ）に扱（あつか）う。

  3. 03
    ステップ3：AとBの具体（ぐたい）的（てき）な値（あたい）を計算（けいさん）する

    Bước 3: Tính giá trị cụ thể của A và B

    Với $\alpha\ne\beta$, giải hệ cho $A=(a_2-\beta a_1)/(\alpha-\beta)$ và $B=(a_2-\alpha a_1)/(\beta-\alpha)$. Hai mẫu đối dấu; thay lại vào hệ để kiểm tra, không dùng các phân thức này khi hai nghiệm trùng nhau.

    $\alpha\ne\beta$ なら $A=(a_2-\beta a_1)/(\alpha-\beta)$、$B=(a_2-\alpha a_1)/(\beta-\alpha)$。分母（ぶんぼ）の符号（ふごう）が逆（ぎゃく）であることに注意（ちゅうい）し、元（もと）の連立（れんりつ）方程（ほうてい）式（しき）で確認（かくにん）する。重解（じゅうかい）にはこの分数（ぶんすう）を使（つか）わない。

  4. 04
    ステップ4：重解（じゅうかい）の場合（ばあい）を処理（しょり）する

    Bước 4: Xử lý trường hợp nghiệm kép

    Nghiệm kép $\alpha\ne0$ cho dạng tổng quát $a_n=(A+Bn)\alpha^{n-1}$. Xác định A,B từ $A+B=a_1$ và $\alpha(A+2B)=a_2$. Dãy $n\alpha^{n-1}$ chỉ là trường hợp A=0,B=1; nếu $\alpha=0$ phải dùng trực tiếp truy hồi suy biến.

    重解（じゅうかい） $\alpha\ne0$ では一般（いっぱん）形（けい）は $a_n=(A+Bn)\alpha^{n-1}$。$A+B=a_1$、$\alpha(A+2B)=a_2$ から定数（ていすう）を決（き）める。$n\alpha^{n-1}$ は A=0,B=1 の特殊（とくしゅ）例（れい）にすぎず、$\alpha=0$ では退化（たいか）した漸化（ぜんか）式（しき）を直接（ちょくせつ）調（しら）べる。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Thay nhầm vị trí của \(\alpha\) và \(\beta\) trong mẫu số khi tính A và B dẫn đến sai dấu.AとBを計算（けいさん）する際（さい）、分母（ぶんぼ）の\(\alpha\)と\(\beta\)の位置（いち）を入れ替（いれか）えてしまい符号（ふごう）を誤（あやま）る。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Ghi nhớ mẫu số của A là \((\alpha - \beta)\), còn mẫu số của B là \((\beta - \alpha)\).Aの分母（ぶんぼ）は\((\alpha - \beta)\)であり、Bの分母（ぶんぼ）は\((\beta - \alpha)\)であることを覚（おぼ）えておきます。

Áp dụng sai công thức khi phương trình đặc trưng có nghiệm kép.特性（とくせい）方程（ほうてい）式（しき）が重解（じゅうかい）を持（も）つ場合（ばあい）に誤（あやま）った公式（こうしき）を適用（てきよう）してしまう。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Không mặc định $a_n=n\alpha^{n-1}$ cho mọi dãy có nghiệm kép. Với $\alpha\ne0$, phải dùng $a_n=(A+Bn)\alpha^{n-1}$ và tìm A,B từ hai số hạng đầu; trường hợp đặc biệt trên có $a_1=1,a_2=2\alpha$.重解（じゅうかい）があるだけで $a_n=n\alpha^{n-1}$ と決（き）めつけない。$\alpha\ne0$ なら $a_n=(A+Bn)\alpha^{n-1}$ として初（はじ）めの2項（こう）から A,B を決（き）める。上（うえ）の特殊（とくしゅ）例（れい）は $a_1=1,a_2=2\alpha$ に対応（たいおう）する。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Nghiệm đặc trưng \(\alpha\) và \(\beta\) được dùng để tính các hệ số A và B của dãy số.特性（とくせい）解（かい）\(\alpha\)と\(\beta\)は、数列（すうれつ）の係数（けいすう）AおよびBを計算（けいさん）するために使用（しよう）されます。
  • Hệ số A và B được tính thông qua công thức phân thức chứa các số hạng \(a_{1}\), \(a_{2}\) và hai nghiệm \(\alpha\), \(\beta\).係数（けいすう）AとBは、初項（しょこう）\(a_{1}\)、第（だい）2項（こう）\(a_{2}\)、および2つの解（かい）\(\alpha\)、\(\beta\)を含（ふく）む分数（ぶんすう）公式（こうしき）により計算（けいさん）されます。
  • Với nghiệm kép khác 0, dạng tổng quát là $a_n=(A+Bn)\alpha^{n-1}$; hai điều kiện đầu quyết định A,B.0でない重解（じゅうかい）の場合（ばあい）、一般（いっぱん）形（けい）は $a_n=(A+Bn)\alpha^{n-1}$ であり、初（はじ）めの2条件（じょうけん）が A,B を決（き）める。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

A + B = a_1, A\alpha + B\beta = a_2

Hệ phương trình cơ bản liên kết hai hệ số A, B với hai số hạng đầu tiên của dãy số.

2つの係数（けいすう）A、Bと数列（すうれつ）の最初（さいしょ）の2項（こう）を結（むす）びつける基本（きほん）連立（れんりつ）方程（ほうてい）式（しき）です。

A = \frac{a_2 - \beta a_1}{\alpha - \beta}

Công thức biểu diễn trực tiếp hệ số A theo các số hạng ban đầu và hai nghiệm đặc trưng phân biệt.

初項（しょこう）、第（だい）2項（こう）、および2つの異（こと）なる特性（とくせい）解（かい）を用（もち）いて係数（けいすう）Aを直接（ちょくせつ）表（あらわ）す公式（こうしき）です。

B = \frac{a_2 - \alpha a_1}{\beta - \alpha}

Công thức biểu diễn trực tiếp hệ số B theo các số hạng ban đầu và hai nghiệm đặc trưng phân biệt.

初項（しょこう）、第（だい）2項（こう）、および2つの異（こと）なる特性（とくせい）解（かい）を用（もち）いて係数（けいすう）Bを直接（ちょくせつ）表（あらわ）す公式（こうしき）です。

a_n = (A + Bn)\alpha^{n-1}

Khi phương trình đặc trưng có nghiệm kép \(\alpha\ne0\), số hạng tổng quát có dạng \(a_n=(A+Bn)\alpha^{n-1}\). Hai hằng số A, B được xác định từ hai giá trị đầu. Nếu \(\alpha=0\), công thức lũy thừa này suy biến; phải quay lại hệ truy hồi và xử lý trực tiếp các số hạng đầu.

特性（とくせい）方程（ほうてい）式（しき）が重解（じゅうかい） \(\alpha\ne0\) を持（も）つとき、一般（いっぱん）項（こう）は \(a_n=(A+Bn)\alpha^{n-1}\) の形（かたち）になる。定数（ていすう） A, B は初項（しょこう）と第（だい）2項（こう）から決定（けってい）する。\(\alpha=0\) の場合（ばあい）はこの形（かたち）が退化（たいか）するため、漸化（ぜんか）式（しき）に戻（もど）って初期（しょき）項（こう）から直接（ちょくせつ）処理（しょり）する。

EJU 2026 · MATH.12.2

Bài học này hướng dẫn xác định các hệ số của dãy số truy hồi 3 số hạng thông qua phương trình đặc trưng. Bạn sẽ học cách tìm các hệ số A và B khi biết hai nghiệm đặc trưng phân biệt hoặc xử lý trường hợp nghiệm kép.

この課（か）では、特性（とくせい）方程（ほうてい）式（しき）を用（もち）いて隣接（りんせつ）3項（こう）間（かん）漸化（ぜんか）式（しき）の係数（けいすう）を決定（けってい）する方法（ほうほう）を学（まな）びます。2つの異（こと）なる特性（とくせい）解（かい）が得（え）られた場合（ばあい）の係数（けいすう）AとBの求（もと）め方（かた）や、重解（じゅうかい）の場合（ばあい）の一般（いっぱん）項（こう）の扱（あつか）いを習得（しゅうとく）します。

隣接（りんせつ）3項（こう）間（かん）の漸化（ぜんか）式（しき）と特性（とくせい）方程（ほうてい）式（しき） 第（だい）1部（ぶ）
特性方程式特性解重解虚数解