Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学II・B · Toán II · B

Dãy số truy hồi 3 số hạng liên tiếp và phương trình đặc trưng Phần 2隣接（りんせつ）3項（こう）間（かん）の漸化（ぜんか）式（しき）と特性（とくせい）方程（ほうてい）式（しき） 第（だい）2部（ぶ）

Công thức公式

x^2 + x + 1 = 0
\alpha, \beta = \frac{-1 \pm \sqrt{3}i}{2}
\omega^3 = 1
a_n = A\omega^{n-1} + B\omega^{2(n-1)}

Ví dụ例題

Cho dãy số có dạng nghiệm tổng quát \(a_{n} = A\cdot \omega^{n - 1} + B\cdot \omega^{2 (n - 1)}\) với \(\omega^{3} = 1\). Cho A = 2 và B = 3, hãy tính giá trị số hạng \(a_{4}\).

一般（いっぱん）解（かい）\(a_{n} = A\cdot \omega^{n - 1} + B\cdot \omega^{2 (n - 1)}\)（ただし\(\omega^{3} = 1\)）を持（も）つ数列（すうれつ）において、A = 2、B = 3のとき、第（だい）4項（こう）\(a_{4}\)の値（あたい）を求（もと）めなさい。

  1. Thay n = 4 vào công thức ta có: \(a_{4} = 2\cdot \omega^{4 - 1} + 3\cdot \omega^{2 (4 - 1)} = 2\cdot \omega^{3} + 3\cdot \omega^{6}\).n = 4を公式（こうしき）に代入（だいにゅう）します：\(a_{4} = 2\cdot \omega^{4 - 1} + 3\cdot \omega^{2 (4 - 1)} = 2\cdot \omega^{3} + 3\cdot \omega^{6}\)。
  2. Sử dụng tính chất \(\omega^{3} = 1\), ta suy ra \(\omega^{6} = (\omega^{3})^{2} = 1^{2} = 1\).\(\omega^{3} = 1\)の性質（せいしつ）を用（もち）いると、\(\omega^{6} = (\omega^{3})^{2} = 1^{2} = 1\)となります。
  3. Thay các giá trị vào biểu thức: \(a_{4} = 2 (1) + 3 (1) = 2 + 3 = 5\).式（しき）に値（あたい）を代入（だいにゅう）します：\(a_{4} = 2 (1) + 3 (1) = 2 + 3 = 5\)。
Vậy số hạng \(a_{4}\) có giá trị bằng 5.したがって、第（だい）4項（こう）\(a_{4}\)の値（あたい）は5となります。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Nghiệm đặc trưng \(\alpha\), \(\beta\) của phương trình \(x^{2} + x + 1 = 0\) là biểu thức nào sau đây?方程（ほうてい）式（しき）\(x^{2} + x + 1 = 0\)の特性（とくせい）解（かい）\(\alpha\), \(\beta\)を表（あらわ）す式（しき）は次（つぎ）のうちどれですか。

2. Sử dụng tính chất \(\omega^{3} = 1\), giá trị của \(\omega^{7}\) bằng bao nhiêu?\(\omega^{3} = 1\)の性質（せいしつ）を利用（りよう）すると、\(\omega^{7}\)の値（あたい）はいくらになりますか。

3. Cho nghiệm tổng quát \(a_{n} = A\cdot \omega^{n - 1} + B\cdot \omega^{2 (n - 1)}\) với \(\omega^{3} = 1\). Khi A = 1 và B = 4, giá trị của \(a_{7}\) là bao nhiêu?一般（いっぱん）解（かい）\(a_{n} = A\cdot \omega^{n - 1} + B\cdot \omega^{2 (n - 1)}\)（ただし\(\omega^{3} = 1\)）において、A = 1、B = 4のとき、\(a_{7}\)の値（あたい）はいくらですか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.12.2. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.12.2。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Nắm vững công thức nghiệm ảo của phương trình \(x^{2} + x + 1 = 0\).方程（ほうてい）式（しき）\(x^{2} + x + 1 = 0\)の虚数（きょすう）解（かい）の公式（こうしき）を習得（しゅうとく）する。
  2. Vận dụng tính chất \(\omega^{3} = 1\) và tính tuần hoàn để tính số hạng của dãy.\(\omega^{3} = 1\)の性質（せいしつ）と周期（しゅうき）性（せい）を利用（りよう）して数列（すうれつ）の項（こう）を計算（けいさん）する。
Trực giác · イメージ

Tính tuần hoàn từ căn bậc ba phức của 11の虚数（きょすう）3乗（のり）根（ね）による周期（しゅうき）性（せい）

Khi nghiệm đặc trưng là nghiệm phức của phương trình \(x^{2} + x + 1 = 0\), các số lũy thừa của \(\omega\) lặp lại sau mỗi 3 bước. Điều này tạo ra tính tuần hoàn giúp việc tính toán các số hạng lớn trở nên cực kỳ đơn giản.

特性（とくせい）解（かい）が方程（ほうてい）式（しき）\(x^{2} + x + 1 = 0\)の虚数（きょすう）解（かい）であるとき、\(\omega\)の累乗（るいじょう）は3ステップごとに繰り返（くりかえ）されます。この周期（しゅうき）性（せい）により、大（おお）きな項（こう）の計算（けいさん）が非常（ひじょう）に簡単（かんたん）になります。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 一般（いっぱん）解（かい）nghiệm tổng quát

    Biểu thức tổng quát mô tả mọi số hạng của dãy số phụ thuộc vào chỉ số n và các hệ số A, B.

    インデックスnおよび係数（けいすう）A、Bに依存（いぞん）する、数列（すうれつ）のすべての項（こう）を表（あらわ）す一般（いっぱん）式（しき）です。

  • 1の虚数（きょすう）3乗（のり）根（ね）căn bậc ba phức của 1

    Nghiệm phức \(\omega\) của phương trình \(x^{2} + x + 1 = 0\), thỏa mãn lũy thừa bậc ba bằng 1.

    方程（ほうてい）式（しき）\(x^{2} + x + 1 = 0\)の虚数（きょすう）解（かい）\(\omega\)であり、3乗（のり）すると1になります。

  • 周期（しゅうき）性（せい）tính tuần hoàn

    Tính chất các giá trị của dãy số lặp lại theo một chu kỳ cố định do \(\omega^{3} = 1\).

    \(\omega^{3} = 1\)により、数列（すうれつ）の値（あたい）が一定（いってい）の周期（しゅうき）で繰り返（くりかえ）される性質（せいしつ）です。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：特性（とくせい）方程（ほうてい）式（しき）の解（かい）を求（もと）める

    Bước 1: Tìm nghiệm của phương trình đặc trưng

    Xét phương trình đặc trưng \(x^{2} + x + 1 = 0\). Phương trình này có hai nghiệm phức là \(\alpha\), \(\beta\) = (-1 +/- \(\sqrt{3} i\))/2.

    特性（とくせい）方程（ほうてい）式（しき）\(x^{2} + x + 1 = 0\)を考（かんが）えます。この方程（ほうてい）式（しき）は2つの虚数（きょすう）解（かい）\(\alpha\), \(\beta\) = (-1 +/- \(\sqrt{3} i\))/2を持（も）ちます。

  2. 02
    ステップ2：虚数（きょすう）3乗（のり）根（ね）の性質（せいしつ）を利用（りよう）する

    Bước 2: Sử dụng tính chất của căn bậc ba phức

    Đặt nghiệm là \(\omega\), ta có tính chất quan trọng \(\omega^{3} = 1\). Nhờ đó, \(\omega^{n}\) có thể rút gọn bằng cách lấy n chia cho 3.

    解（かい）を\(\omega\)と置（お）くと、重要（じゅうよう）性質（せいしつ）\(\omega^{3} = 1\)が得（え）られます。これにより、\(\omega^{n}\)はnを3で割（わ）ることで簡素（かんそ）化（か）できます。

  3. 03
    ステップ3：一般（いっぱん）解（かい）の式（しき）を立（た）てる

    Bước 3: Thiết lập biểu thức nghiệm tổng quát

    Số hạng tổng quát của dãy có dạng \(a_{n} = A\cdot \omega^{n - 1} + B\cdot \omega^{2 (n - 1)}\). Biểu thức này kết hợp cả hai nghiệm phức.

    数列（すうれつ）の一般（いっぱん）項（こう）は\(a_{n} = A\cdot \omega^{n - 1} + B\cdot \omega^{2 (n - 1)}\)の形（かたち）になります。この式（しき）は両方（りょうほう）の虚数（きょすう）解（かい）を組み合（くみあ）わせたものです。

  4. 04
    ステップ4：周期（しゅうき）性（せい）を用（もち）いて項（こう）を簡素（かんそ）化（か）する

    Bước 4: Rút gọn số hạng nhờ tính tuần hoàn

    Thay \(\omega^{3} = 1\) vào biểu thức để hạ bậc của \(\omega\). Kết quả thu được là một giá trị tuần hoàn theo chu kỳ 3.

    \(\omega\)の次数（じすう）を下（さ）げるために\(\omega^{3} = 1\)を式（しき）に代入（だいにゅう）します。得（え）られる結果（けっか）は周期（しゅうき）3で循環（じゅんかん）します。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Nhầm lẫn dấu trong công thức nghiệm phức của phương trình \(x^{2} + x + 1 = 0\) thành (+1 +/- \(\sqrt{3} i\))/2.方程（ほうてい）式（しき）\(x^{2} + x + 1 = 0\)の虚数（きょすう）解（かい）の符号（ふごう）を(+1 +/- \(\sqrt{3} i\))/2と誤（あやま）ってしまう。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Cần nhớ phần thực của nghiệm là -1/2, do đó nghiệm đúng là (-1 +/- \(\sqrt{3} i\))/2.解（かい）の実部（じつぶ）が-1/2であることを覚（おぼ）え、正（ただ）しい解（かい）(-1 +/- \(\sqrt{3} i\))/2を使用（しよう）します。

Quên hạ bậc lũy thừa của \(\omega\) khi tính các số hạng có chỉ số n lớn.インデックスnが大（おお）きい項（こう）を計算（けいさん）する際（さい）、\(\omega\)の次数（じすう）を下（さ）げ忘（わす）れてしまう。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Luôn áp dụng \(\omega^{3} = 1\) để rút gọn \(\omega^{k}\) về 1, \(\omega\) hoặc \(\omega^{2}\) trước khi tính toán.計算（けいさん）する前（まえ）に、常（つね）に\(\omega^{3} = 1\)を適用（てきよう）して\(\omega^{k}\)を1、\(\omega\)、または\(\omega^{2}\)に簡素（かんそ）化（か）します。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Phương trình đặc trưng \(x^{2} + x + 1 = 0\) có nghiệm phức \(\alpha\), \(\beta\) = (-1 ± \(\sqrt{3} i\))/2.特性（とくせい）方程（ほうてい）式（しき）\(x^{2} + x + 1 = 0\)は虚数（きょすう）解（かい）\(\alpha\), \(\beta\) = (-1 ± \(\sqrt{3} i\))/2を持（も）ちます。
  • Căn bậc ba phức của 1 thỏa mãn \(\omega^{3} = 1\), giúp đơn giản hóa số hạng tổng quát của dãy số.1の虚数（きょすう）3乗（のり）根（ね）は\(\omega^{3} = 1\)を満（み）たし、数列（すうれつ）の一般（いっぱん）項（こう）を簡素（かんそ）化（か）するのに役立（やくだ）ちます。
  • Dãy số có nghiệm phức mang tính tuần hoàn với chu kỳ 3 do các số lũy thừa của \(\omega\) gây ra.虚数（きょすう）解（かい）を持（も）つ数列（すうれつ）は、\(\omega\)の累乗（るいじょう）によって引き起（ひきお）こされる周期（しゅうき）3の周期（しゅうき）性（せい）を持（も）ちます。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

x^2 + x + 1 = 0

Phương trình đặc trưng cơ bản xuất hiện khi xét dãy số truy hồi có nghiệm phức.

虚数（きょすう）解（かい）を持（も）つ隣接（りんせつ）3項（こう）間（かん）漸化（ぜんか）式（しき）を検討（けんとう）する際（さい）に現（あらわ）れる基本（きほん）特性（とくせい）方程（ほうてい）式（しき）です。

\alpha, \beta = \frac{-1 \pm \sqrt{3}i}{2}

Công thức nghiệm phức của phương trình đặc trưng \(x^{2} + x + 1 = 0\).

特性（とくせい）方程（ほうてい）式（しき）\(x^{2} + x + 1 = 0\)の虚数（きょすう）解（かい）の公式（こうしき）です。

\omega^3 = 1

Đẳng thức thể hiện tính chất căn bậc ba của 1, giúp rút gọn các lũy thừa cao của \(\omega\).

1の3乗（のり）根（ね）の性質（せいしつ）を示（しめ）す等式（とうしき）であり、\(\omega\)の重（じゅう）乗（じょう）を簡素（かんそ）化（か）するのに役立（やくだ）ちます。

a_n = A\omega^{n-1} + B\omega^{2(n-1)}

Công thức nghiệm tổng quát của dãy số biểu diễn qua các lũy thừa của \(\omega\).

\(\omega\)の累乗（るいじょう）を用（もち）いて表（あらわ）される数列（すうれつ）の一般（いっぱん）解（かい）の公式（こうしき）です。

EJU 2026 · MATH.12.2

Bài học này tìm hiểu nghiệm tổng quát của dãy số truy hồi khi phương trình đặc trưng có nghiệm phức và tính tuần hoàn. Bạn sẽ vận dụng tính chất của căn bậc ba phức của 1 để đơn giản hóa biểu thức dãy số.

この課（か）では、特性（とくせい）方程（ほうてい）式（しき）が虚数（きょすう）解（かい）を持（も）つ場合（ばあい）における漸化（ぜんか）式（しき）の一般（いっぱん）解（かい）と周期（しゅうき）性（せい）を習得（しゅうとく）します。1の虚数（きょすう）3乗（のり）根（ね）の性質（せいしつ）を活用（かつよう）して、数列（すうれつ）の式（しき）を簡素（かんそ）化（か）する方法（ほうほう）を学（まな）びます。

隣接（りんせつ）3項（こう）間（かん）の漸化（ぜんか）式（しき）と特性（とくせい）方程（ほうてい）式（しき） 第（だい）2部（ぶ）
一般解1の虚数3乗根周期性