Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学II・B · Toán II · B

Điểm thuộc mặt phẳng trong không gian [2]空間（くうかん）内（ない）の平面（へいめん）上（じょう）の点（てん） [2]

Công thức公式

\vec{OS} = \frac{\vec{OP} + \vec{OQ} + \vec{OC}}{3}
\vec{OT} = k\vec{OS}
\vec{OA} \cdot \vec{BC} = 0 \iff \vec{a} \cdot (\vec{c} - \vec{b}) = 0
\vec{OC} \cdot \vec{AB} = 0

Ví dụ例題

Cho tam giác PQC với gốc O. Biết vec(OP) = vec(p), vec(OQ) = vec(q), vec(OC) = vec(c). Gọi S là trọng tâm tam giác PQC và T là điểm thỏa mãn vec(OT) = 3*vec(OS). Hãy biểu diễn vec(OT) theo vec(p), vec(q), vec(c).

原点（げんてん）Oと三角形（さんかくけい）PQCにおいて、vec(OP) = vec(p), vec(OQ) = vec(q), vec(OC) = vec(c)とする。三角形（さんかくけい）PQCの重心（じゅうしん）をSとし、点（てん）Tが vec(OT) = 3*vec(OS) を満（み）たすとき、vec(OT)を vec(p), vec(q), vec(c) を用（もち）いて表（あらわ）せ。

  1. Theo công thức trọng tâm, ta có vec(OS) = (vec(p) + vec(q) + vec(c)) / 3.重心（じゅうしん）の公式（こうしき）より、vec(OS) = (vec(p) + vec(q) + vec(c)) / 3 となります。
  2. Thay vec(OS) vào biểu thức vec(OT) = 3*vec(OS), ta được vec(OT) = 3 * [(vec(p) + vec(q) + vec(c)) / 3] = vec(p) + vec(q) + vec(c).vec(OT) = 3*vec(OS) に代入（だいにゅう）すると、vec(OT) = 3 * [(vec(p) + vec(q) + vec(c)) / 3] = vec(p) + vec(q) + vec(c) となります。
Vậy vec(OT) = vec(p) + vec(q) + vec(c).したがって、vec(OT) = vec(p) + vec(q) + vec(c) となります。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Cho tam giác PQC có vec(OP) = vec(p), vec(OQ) = vec(q), vec(OC) = vec(c). Nếu S là trọng tâm của tam giác PQC thì vec(OS) bằng biểu thức nào sau đây?三角形（さんかくけい）PQCにおいて、vec(OP) = vec(p), vec(OQ) = vec(q), vec(OC) = vec(c)とする。Sが三角形（さんかくけい）PQCの重心（じゅうしん）であるとき、vec(OS)を表（あらわ）す式（しき）はどれか。

2. Cho vec(OS) = (vec(p) + vec(q) + vec(c)) / 3. Nếu điểm T thỏa mãn vec(OT) = 6*vec(OS) thì vec(OT) bằng biểu thức nào?vec(OS) = (vec(p) + vec(q) + vec(c)) / 3 とする。点（てん）Tが vec(OT) = 6*vec(OS) を満（み）たすとき、vec(OT)を表（あらわ）す式（しき）はどれか。

3. Trong không gian, cho hai đoạn thẳng OA và BC. Mối quan hệ vec(OA) dot vec(BC) = 0 tương đương với điều nào sau đây?空間（くうかん）において、2つの線分（せんぶん）OAとBCがある。vec(OA)・vec(BC) = 0 であることは、次（つぎ）のうちどれと同値（どうち）か。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.14.3. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 3 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.14.3。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）3区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Biểu diễn vectơ vị trí của trọng tâm tam giác trong không gian.空間（くうかん）における三角形（さんかくけい）の重心（じゅうしん）の位置（いち）ベクトルを表現（ひょうげん）すること。
  2. Xử lý giao điểm và tính chất vuông góc của các đoạn thẳng trong tứ diện.四面体（しめんたい）における線分（せんぶん）の交点（こうてん）と垂直（すいちょく）の性質（せいしつ）を処理（しょり）すること。
Trực giác · イメージ

Nhìn hình học không gian qua mối quan hệ vectơベクトルの関係（かんけい）性（せい）で捉（とら）える空間（くうかん）図形（ずけい）

Trong tứ diện, vị trí của trọng tâm hay đường vuông góc được xác định qua tỉ lệ và tích vô hướng của các vectơ. Nhờ tính chất vuông góc có tích vô hướng bằng 0, ta có thể thiết lập phương trình để tìm vị trí các giao điểm.

四面体（しめんたい）において、重心（じゅうしん）や垂線（すいせん）の位置（いち）はベクトルの比率（ひりつ）や内積（ないせき）によって決定（けってい）されます。垂直（すいちょく）な関係（かんけい）の内積（ないせき）が0になる性質（せいしつ）を利用（りよう）して方程（ほうてい）式（しき）を立（た）て、交点（こうてん）などの位置（いち）を求（もと）めます。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 重心（じゅうしん）Trọng tâm

    Trọng tâm của tam giác được biểu diễn bằng trung bình cộng ba vectơ vị trí các đỉnh từ gốc O.

    三角形（さんかくけい）の重心（じゅうしん）は、原点（げんてん）Oからの各（かく）頂点（ちょうてん）の位置（いち）ベクトルの平均（へいきん）として表（あらわ）されます。

  • 交点（こうてん）Giao điểm

    Giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng là điểm duy nhất thuộc cả đường thẳng và mặt phẳng đó.

    直線（ちょくせん）と平面（へいめん）の交点（こうてん）は、その直線（ちょくせん）と平面（へいめん）の両方（りょうほう）に共有（きょうゆう）される唯一（ゆいいつ）の点（てん）です。

  • 四面体（しめんたい）Tứ diện

    Tứ diện là hình không gian gồm bốn đỉnh không cùng nằm trên một mặt phẳng.

    四面体（しめんたい）は、同一（どういつ）平面（へいめん）上（じょう）にない4つの頂点（ちょうてん）からなる空間（くうかん）図形（ずけい）です。

  • 垂直（すいちょく）Vuông góc

    Hai đường thẳng hoặc hai vectơ được gọi là vuông góc khi tích vô hướng của chúng bằng 0.

    2つの直線（ちょくせん）または2つのベクトルは、それらの内積（ないせき）が0のとき垂直（すいちょく）であると言（い）います。

  • 正（ただし）四面体（しめんたい）Tứ diện đều

    Tứ diện đều là tứ diện có tất cả sáu cạnh đều bằng nhau và các mặt là tam giác đều.

    正（ただし）四面体（しめんたい）は、6つの辺（へん）の長（なが）さがすべて等（ひと）しく、各面（かくめん）が正（せい）三角形（さんかくけい）である四面体（しめんたい）です。

  • 垂線（すいせん）Đường vuông góc

    Đường vuông góc là đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với một mặt phẳng hoặc đường thẳng khác.

    垂線（すいせん）とは、ある点（てん）を通（とお）り、他（ほか）の平面（へいめん）や直線（ちょくせん）に垂直（すいちょく）な直線（ちょくせん）のことです。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：重心（じゅうしん）ベクトルの表示（ひょうじ）

    Bước 1: Biểu diễn vectơ trọng tâm

    Xác định trọng tâm S của tam giác PQC thông qua công thức trung bình cộng ba vectơ vị trí. Công thức này giúp quy điểm S về các vectơ gốc.

    3つの位置（いち）ベクトルの平均（へいきん）公式（こうしき）を用（もち）いて、三角形（さんかくけい）PQCの重心（じゅうしん）Sを特定（とくてい）します。この公式（こうしき）により、点（てん）Sを基準（きじゅん）ベクトルで表（あらわ）すことができます。

  2. 02
    ステップ2：直線（ちょくせん）上（じょう）の点（てん）のパラメータ設定（せってい）

    Bước 2: Thiết lập tham số cho điểm trên đường thẳng

    Biểu diễn điểm T thuộc đường thẳng OS dưới dạng vec(OT) = k*vec(OS) với k là một hệ số thực. Điều này cho phép tìm vị trí điểm T dựa vào điều kiện hình học.

    実数（じっすう）kを用（もち）いて直線（ちょくせん）OS上（うえ）の点（てん）Tを vec(OT) = k*vec(OS) と表（あらわ）します。これにより、図形（ずけい）的（てき）条件（じょうけん）に基（もと）づいて点（てん）Tの位置（いち）を求（もと）めることが可能（かのう）になります。

  3. 03
    ステップ3：垂直（すいちょく）条件（じょうけん）の活用（かつよう）

    Bước 3: Vận dụng điều kiện vuông góc

    Sử dụng điều kiện tích vô hướng bằng 0 để thiết lập quan hệ giữa các cạnh hoặc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Ví dụ OA vuông góc BC tương đương với tích vô hướng của vec(OA) và vec(BC) bằng 0.

    内積（ないせき）が0になる垂直（すいちょく）条件（じょうけん）を利用（りよう）して、辺（へん）同士（どうし）または直線（ちょくせん）と平面（へいめん）の間（あいだ）の関係（かんけい）式（しき）を立（た）てます。例（たと）えばOAとBCが垂直（すいちょく）であることは、vec(OA)・vec(BC) = 0 と同値（どうち）です。

  4. 04
    ステップ4：方程（ほうてい）式（しき）を解（と）いて交点（こうてん）や長（なが）さを計算（けいさん）

    Bước 4: Giải hệ để tìm giao điểm hoặc độ dài

    Thay các biểu thức vectơ vào điều kiện vuông góc để giải tìm tham số k. Từ đó xác định chính xác tọa độ vectơ của giao điểm hoặc độ dài đoạn thẳng.

    内積（ないせき）の条件（じょうけん）にベクトル式（しき）を代入（だいにゅう）し、パラメータkについて解（と）きます。これにより交点（こうてん）の位置（いち）ベクトルや線分（せんぶん）の長（なが）さを正確（せいかく）に特定（とくてい）します。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Nhầm lẫn công thức trọng tâm tam giác chia cho 2 thay vì chia cho 3.三角形（さんかくけい）の重心（じゅうしん）公式（こうしき）で、3ではなく2で割（わ）ってしまう誤（あやま）り。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Trọng tâm của tam giác tạo bởi 3 đỉnh luôn tính bằng tổng 3 vectơ chia cho 3.3頂点（ちょうてん）からなる三角形（さんかくけい）の重心（じゅうしん）は、常（つね）に3つのベクトルの和（わ）を3で割（わ）って求（もと）めます。

Cho rằng tích vô hướng bằng 0 suy ra hai vectơ song song với nhau.内積（ないせき）が0であることから、2つのベクトルが平行（へいこう）であると誤認（ごにん）すること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Tích vô hướng của hai vectơ khác không bằng 0 chứng tỏ hai đường thẳng vuông góc với nhau.零（れい）ベクトルでない2つのベクトルの内積（ないせき）が0であることは、それらが垂直（すいちょく）であることを意味（いみ）します。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Trọng tâm tam giác PQC được biểu diễn qua ba vectơ vị trí bằng công thức vec(OS) = (vec(OP) + vec(OQ) + vec(OC)) / 3.三角形（さんかくけい）PQCの重心（じゅうしん）は、3つの位置（いち）ベクトルを用（もち）いて vec(OS) = (vec(OP) + vec(OQ) + vec(OC)) / 3 と表（あらわ）されます。
  • Một điểm T nằm trên đường OS được biểu diễn qua tham số k dưới dạng vec(OT) = k*vec(OS).直線（ちょくせん）OS上（うえ）の点（てん）Tは、パラメータkを用（もち）いて vec(OT) = k*vec(OS) と表（あらわ）されます。
  • Điều kiện hai đường thẳng OA và BC vuông góc là tích vô hướng vec(OA) dot vec(BC) = 0.2直線（ちょくせん）OAとBCが垂直（すいちょく）であるための条件（じょうけん）は、内積（ないせき） vec(OA)・vec(BC) = 0 です。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

\vec{OS} = \frac{\vec{OP} + \vec{OQ} + \vec{OC}}{3}

Công thức tính vectơ vị trí của trọng tâm S của tam giác PQC từ gốc O.

原点（げんてん）Oから見（み）た三角形（さんかくけい）PQCの重心（じゅうしん）Sの位置（いち）ベクトルを求（もと）める公式（こうしき）です。

\vec{OT} = k\vec{OS}

Biểu diễn vectơ vị trí của điểm T nằm trên đường thẳng OS với hệ số thực k.

実数（じっすう）kを用（もち）いて、直線（ちょくせん）OS上（うえ）の点（てん）Tの位置（いち）ベクトルを表（あらわ）した式（しき）です。

\vec{OA} \cdot \vec{BC} = 0 \iff \vec{a} \cdot (\vec{c} - \vec{b}) = 0

Điều kiện để hai đường thẳng OA và BC vuông góc với nhau thông qua tích vô hướng bằng 0.

内積（ないせき）が0になることによる、2直線（ちょくせん）OAとBCの垂直（すいちょく）条件（じょうけん）を表（あらわ）しています。

\vec{OC} \cdot \vec{AB} = 0

Điều kiện vuông góc giữa đoạn thẳng OC và đoạn thẳng AB.

線分（せんぶん）OCと線分（せんぶん）ABが垂直（すいちょく）であるための内積（ないせき）条件（じょうけん）です。

EJU 2026 · MATH.14.3

Bài học này giúp bạn xác định vị trí giao điểm và mối quan hệ vuông góc trong tứ diện bằng vectơ. Việc biểu diễn trọng tâm và đường vuông góc qua các vectơ cơ bản giúp giải quyết nhanh các bài toán hình học không gian.

本節（ほんせつ）では、ベクトルを用（もち）いて四面体（しめんたい）における交点（こうてん）や垂直（すいちょく）関係（かんけい）の位置（いち）を特定（とくてい）する方法（ほうほう）を学（まな）びます。重心（じゅうしん）や垂線（すいせん）を基本（きほん）ベクトルで表（あらわ）すことで、空間（くうかん）図形（ずけい）の問題（もんだい）を効率（こうりつ）的（てき）に解決（かいけつ）できます。

空間（くうかん）内（ない）の平面（へいめん）上（じょう）の点（てん） [2]
重心交点四面体垂直