Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学II・B · Toán II · B

Vectơ không gian và hình học空間（くうかん）ベクトルと図形（ずけい）

Công thức公式

\vec{AC} = t\vec{AB}
\vec{AP} = s\vec{AB} + t\vec{AC}
\vec{p} = s\vec{a} + t\vec{b} + u\vec{c}, \quad s + t + u = 1
\vec{AP} = k\vec{AB}

Ví dụ例題

Cho các điểm A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1) và D(1, 1, 1). Điểm P thuộc đường thẳng OD sao cho P nằm trên mặt phẳng ABC. Tìm k sao cho OP = k OD và xác định tọa độ điểm P.

点（てん）A(1, 0, 0)、B(0, 1, 0)、C(0, 0, 1)およびD(1, 1, 1)が与（あた）えられています。点（てん）Pが直線（ちょくせん）OD上（うえ）にあり、かつ平面（へいめん）ABC上（うえ）にあるとき、OP = k OD となるkの値（あたい）と点（てん）Pの座標（ざひょう）を求（もと）めなさい。

  1. Vì P thuộc đường thẳng OD nên OP = k OD = (k, k, k).点（てん）Pは直線（ちょくせん）OD上（うえ）にあるため、OP = k OD = (k, k, k) と表（あらわ）せます。
  2. Mặt khác, P thuộc mặt phẳng ABC nên p = s a + t b + u c với s + t + u = 1. Do a=(1,0,0), b=(0,1,0), c=(0,0,1) nên p = (s, t, u), suy ra s = k, t = k, u = k.また、点（てん）Pは平面（へいめん）ABC上（うえ）にあるため、s+t+u=1 を満（み）たす p = s a + t b + u c と表（あらわ）せ、(s, t, u) = (k, k, k) より s = k, t = k, u = k となります。
  3. Thay s = k, t = k, u = k vào điều kiện đồng phẳng k + k + k = 1 ta được 3k = 1 suy ra k = 1/3. Tọa độ điểm P là (1/3, 1/3, 1/3).共（きょう）面（めん）条件（じょうけん） k + k + k = 1 に代入（だいにゅう）すると 3k = 1 より k = 1/3 となります。したがって点（てん）Pの座標（ざひょう）は (1/3, 1/3, 1/3) です。
Giá trị tham số k là 1/3 và tọa độ giao điểm P là (1/3, 1/3, 1/3).パラメータkの値（あたい）は 1/3 であり、交点（こうてん）Pの座標（ざひょう）は (1/3, 1/3, 1/3) です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Trong không gian, cho A(1, 0, 2), B(2, 1, 3) và C(x, 2, 4). Tìm x để ba điểm A, B, C thẳng hàng.空間（くうかん）において、A(1, 0, 2)、B(2, 1, 3)およびC(x, 2, 4)が与（あた）えられています。3点（てん）A、B、Cが一（いち）直線（ちょくせん）上（じょう）にあるようなxの値（あたい）を求（もと）めなさい。

2. Cho ba điểm A, B, C và điểm P thỏa mãn p = (1/2)a + (1/3)b + uc. Giá trị của u để điểm P thuộc mặt phẳng ABC là bao nhiêu?3点（てん）A、B、Cおよび p = (1/2)a + (1/3)b + uc を満（み）たす点（てん）Pが与（あた）えられています。点（てん）Pが平面（へいめん）ABC上（うえ）にあるようなuの値（あたい）を求（もと）めなさい。

3. Trong không gian, cho AB = (1, 0, 1) và AC = (0, 1, 1). Điểm P thỏa mãn AP = 2 AB - AC. Tọa độ của vectơ AP là bao nhiêu?空間（くうかん）において、AB = (1, 0, 1) および AC = (0, 1, 1) が与（あた）えられています。AP = 2 AB - AC を満（み）たす点（てん）Pについて、ベクトルAPの座標（ざひょう）はいくらか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.14.3. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 3 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.14.3。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）3区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Hiểu và áp dụng điều kiện ba điểm thẳng hàng thông qua tỉ lệ vectơ.ベクトル比（ひ）を通（つう）じて3点（てん）が一（いち）直線（ちょくせん）上（じょう）にある条件（じょうけん）を理解（りかい）し適用（てきよう）する。
  2. Sử dụng biểu diễn tuyến tính và điều kiện tổng hệ số bằng 1 để xác định điểm thuộc mặt phẳng.線形（せんけい）表現（ひょうげん）と係数（けいすう）の和（わ）が1となる条件（じょうけん）を用（もち）いて、平面（へいめん）上（じょう）の点（てん）を決定（けってい）する。
  3. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng trong hình học không gian.空間（くうかん）幾何（きか）における直線（ちょくせん）と平面（へいめん）の交点（こうてん）の座標（ざひょう）を求（もと）める。
Trực giác · イメージ

Mặt phẳng và đường thẳng qua mối liên hệ vectơベクトルでつなぐ平面（へいめん）と直線（ちょくせん）

Một điểm nằm trên đường thẳng khi vectơ chỉ vị trí của nó gấp t lần vectơ chỉ phương của đường thẳng. Một điểm nằm trên mặt phẳng khi vị trí của nó có thể biểu diễn qua hệ số tổng bằng 1 với các điểm đỉnh của mặt phẳng.

点（てん）が直線（ちょくせん）上（じょう）にあるのは、その位置（いち）ベクトルが方向（ほうこう）ベクトルのt倍（ばい）で表（あらわ）されるときです。点（てん）が平面（へいめん）上（じょう）にあるのは、平面（へいめん）の頂点（ちょうてん）との位置（いち）ベクトルが和（な）が1となる係数（けいすう）で表現（ひょうげん）できるときです。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 一（いち）直線（ちょくせん）上（じょう）の3点（てん）Ba điểm thẳng hàng

    Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi vectơ AC biểu diễn bằng t lần vectơ AB với t là một số thực khác 0. Điều này thể hiện phương của hai vectơ trùng nhau.

    3点（てん）A、B、Cが一（いち）直線（ちょくせん）上（じょう）にあるための必要（ひつよう）十（じゅう）分（ふん）条件（じょうけん）は、ベクトルACが実数（じっすう）tを用（もち）いてt ABと表（あらわ）されることです。これは2つのベクトルの方向（ほうこう）が一致（いっち）することを示（しめ）します。

  • 同一（どういつ）平面（へいめん）上（じょう）にある点（てん）Các điểm thuộc cùng một mặt phẳng

    Tập hợp các điểm thuộc cùng một mặt phẳng được xác định khi vectơ vị trí của điểm đó phân tích được thành kết hợp tuyến tính của hai vectơ không cùng phương trên mặt phẳng.

    点（てん）が同一（どういつ）平面（へいめん）上（じょう）にある集合（しゅうごう）は、その点（てん）の位置（いち）ベクトルが平面（へいめん）上（じょう）の1次（つぎ）独立（どくりつ）な2つのベクトルの線形（せんけい）結合（けつごう）として分解（ぶんかい）できるときに決定（けってい）されます。

  • 共（きょう）面（めん）条件（じょうけん）Điều kiện đồng phẳng

    Điều kiện đồng phẳng quy định điểm P nằm trên mặt phẳng ABC khi vectơ p được biểu diễn qua ba vectơ vị trí a, b, c với tổng các hệ số s + t + u = 1.

    共（きょう）面（めん）条件（じょうけん）とは、点（てん）Pが平面（へいめん）ABC上（うえ）にあるとき、位置（いち）ベクトルpがa、b、cを用（もち）いて s+t+u=1 となる係数（けいすう）で表（あらわ）される条件（じょうけん）のことです。

  • 直線（ちょくせん）上（じょう）の点（てん）Điểm thuộc đường thẳng

    Điểm P thuộc đường thẳng AB khi vectơ AP bằng k lần vectơ AB với k là tham số thực. Thay đổi k cho ta vị trí tất cả các điểm trên đường thẳng.

    点（てん）Pが直線（ちょくせん）AB上（うえ）にあるとき、ベクトルAPは実数（じっすう）パラメーターkを用（もち）いて k AB と表（あらわ）されます。kの値（あたい）を変化（へんか）させることで直線（ちょくせん）上（じょう）の全（ぜん）点（てん）を表（あらわ）せます。

  • 平面（へいめん）上（じょう）の点（てん）Điểm thuộc mặt phẳng

    Điểm P thuộc mặt phẳng tạo bởi hai vectơ AB và AC khi vectơ AP biểu diễn dưới dạng s AB + t AC với s và t là các số thực.

    点（てん）PがベクトルABとACによって張（は）られる平面（へいめん）上（じょう）にあるとき、ベクトルAPは実数（じっすう）s、tを用（もち）いて s AB + t AC と表現（ひょうげん）されます。

  • 交点（こうてん）Giao điểm

    Giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng là điểm duy nhất vừa thỏa mãn phương trình đường thẳng vừa thỏa mãn điều kiện thuộc mặt phẳng.

    直線（ちょくせん）と平面（へいめん）の交点（こうてん）は、直線（ちょくせん）の方程（ほうてい）式（しき）と平面（へいめん）上（じょう）の条件（じょうけん）の双方（そうほう）を満（み）たす唯一（ゆいいつ）の点（てん）です。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：直線（ちょくせん）上（じょう）の点（てん）のパラメータ表現（ひょうげん）

    Bước 1: Biểu diễn điểm thuộc đường thẳng qua tham số

    Sử dụng công thức AP = k AB để biểu diễn vectơ vị trí của điểm P theo tham số k. Điều này giúp viết tọa độ của P dưới dạng hàm theo k.

    AP = k AB の公式（こうしき）を用（もち）いて点（てん）Pの位置（いち）ベクトルをパラメータkで表（あらわ）します。これにより点（てん）Pの座標（ざひょう）をkの関数（かんすう）として記述（きじゅつ）できます。

  2. 02
    ステップ2：平面（へいめん）上（じょう）の点（てん）の方程（ほうてい）式（しき）の設定（せってい）

    Bước 2: Thiết lập phương trình điểm thuộc mặt phẳng

    Biểu diễn vectơ AP theo hai vectơ không cùng phương s AB + t AC hoặc dùng điều kiện s + t + u = 1. Phương trình này xác định mối quan hệ ràng buộc trên mặt phẳng.

    ベクトルAPを s AB + t AC で表（あらわ）すか、s + t + u = 1 の条件（じょうけん）を使用（しよう）します。この方程（ほうてい）式（しき）は平面（へいめん）上（じょう）の拘束（こうそく）関係（かんけい）を決定（けってい）します。

  3. 03
    ステップ3：交点（こうてん）パラメータを求（もと）める連立（れんりつ）方程（ほうてい）式（しき）の樹立（じゅりつ）

    Bước 3: Lập hệ phương trình tìm tham số giao điểm

    Cân bằng các hệ số của các vectơ cơ sở để lập hệ phương trình cho các tham số. Giải hệ phương trình để tìm giá trị tham số tương ứng với giao điểm.

    基底（きてい）ベクトルの係数（けいすう）を比較（ひかく）してパラメータに関（かん）する連立（れんりつ）方程（ほうてい）式（しき）を立（た）てます。連立（れんりつ）方程（ほうてい）式（しき）を解（と）いて交点（こうてん）に対応（たいおう）するパラメータの値（あたい）を求（もと）めます。

  4. 04
    ステップ4：パラメータ代入（だいにゅう）による交点（こうてん）座標（ざひょう）の決定（けってい）

    Bước 4: Thay tham số để xác định tọa độ giao điểm

    Thay giá trị tham số vừa tìm được vào biểu thức biểu diễn điểm để thu được tọa độ giao điểm chính xác. Kiểm tra lại điều kiện đồng phẳng để bảo đảm kết quả.

    求（もと）めたパラメータの値（あたい）を点（てん）の表現（ひょうげん）式（しき）に代入（だいにゅう）し、正確（せいかく）な交点（こうてん）座標（ざひょう）を得（え）ます。共（きょう）面（めん）条件（じょうけん）を再（さい）確認（かくにん）して結果（けっか）を検証（けんしょう）します。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Nhầm lẫn điều kiện ba điểm thẳng hàng AC = t AB với hai vectơ không cùng phương.3点（てん）が一（いち）直線（ちょくせん）上（じょう）にある条件（じょうけん） AC = t AB を、平行（へいこう）でない2つのベクトルと混同（こんどう）すること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Ba điểm A, B, C thẳng hàng đòi hỏi hai vectơ AC và AB có cùng điểm gốc A và tỉ lệ với nhau qua một số thực t.3点（てん）A、B、Cが一（いち）直線（ちょくせん）上（じょう）にあるには、2つのベクトルACとABが共通（きょうつう）の始点（してん）Aを持（も）ち、実数（じっすう）tで比例（ひれい）関係（かんけい）にある必要（ひつよう）があります。

Sử dụng công thức p = s a + t b + u c để chứng minh P thuộc mặt phẳng ABC nhưng quên điều kiện s + t + u = 1.点（てん）Pが平面（へいめん）ABC上（うえ）にあることを示（しめ）す際（さい）、p = s a + t b + u c を使（つか）いながら 係数（けいすう）の和（わ） s+t+u=1 の条件（じょうけん）を忘（わす）れること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Điểm P chỉ nằm trên mặt phẳng ABC khi tổng ba hệ số s, t, u đúng bằng 1.点（てん）Pが平面（へいめん）ABC上（うえ）にあるのは、3つの係数（けいすう） s、t、u の和（わ）が正確（せいかく）に 1 になるときだけです。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi vectơ AC bằng t lần vectơ AB với t là số thực khác 0.3点（てん）A、B、Cが一（いち）直線（ちょくせん）上（じょう）にあるのは、ベクトルACが実数（じっすう）tを用（もち）いてt ABと表（あらわ）されるときです。
  • Điều kiện để điểm P thuộc mặt phẳng ABC là vectơ vị trí của P được biểu diễn thành kết hợp tuyến tính của vị trí ba điểm A, B, C với tổng các hệ số bằng 1.点（てん）Pが平面（へいめん）ABC上（うえ）にある条件（じょうけん）は、Pの位置（いち）ベクトルがA、B、Cの位置（いち）ベクトルの線形（せんけい）結合（けつごう）として表（あらわ）され、係数（けいすう）の和（わ）が1になることです。
  • Giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng được xác định bằng cách kết hợp tham số đường thẳng với điều kiện thuộc mặt phẳng để giải hệ phương trình.直線（ちょくせん）と平面（へいめん）の交点（こうてん）は、直線（ちょくせん）のパラメータ表現（ひょうげん）と平面（へいめん）の所属（しょぞく）条件（じょうけん）を組み合（くみあ）わせて連立（れんりつ）方程（ほうてい）式（しき）を解（と）くことで決定（けってい）されます。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

\vec{AC} = t\vec{AB}

Biểu thức điều kiện ba điểm A, B, C thẳng hàng trong không gian với t là số thực. Phương trình cho biết vectơ AC cùng phương với vectơ AB.

実数（じっすう）tを用（もち）いた空間（くうかん）における3点（てん）A、B、Cが一（いち）直線（ちょくせん）上（じょう）にあるための条件（じょうけん）式（しき）。ベクトルACがベクトルABと平行（へいこう）であることを示（しめ）します。

\vec{AP} = s\vec{AB} + t\vec{AC}

Biểu diễn vectơ AP thuộc mặt phẳng ABC qua hai vectơ chung gốc AB và AC với các hệ số thực s và t.

実数（じっすう）係数（けいすう）s、tを用（もち）いて、共通（きょうつう）の始点（してん）を持（も）つABとACにより平面（へいめん）ABC上（うえ）のベクトルAPを表（あらわ）す公式（こうしき）。

\vec{p} = s\vec{a} + t\vec{b} + u\vec{c}, \quad s + t + u = 1

Điều kiện đồng phẳng của điểm P với ba điểm A, B, C có vectơ vị trí lần lượt là a, b, c khi tổng các hệ số s + t + u bằng 1.

位置（いち）ベクトルa、b、cを持（も）つ3点（てん）A、B、Cに対（たい）して点（てん）Pが同（どう）平面（へいめん）上（じょう）にある共（きょう）面（めん）条件（じょうけん）。係数（けいすう）の和（わ） s + t + u が 1 となります。

\vec{AP} = k\vec{AB}

Biểu diễn điểm P nằm trên đường thẳng AB thông qua vectơ AP bằng k lần vectơ AB với k là tham số.

パラメータkを用（もち）いて、ベクトルAPがベクトルABのk倍（ばい）であることを示（しめ）す直線（ちょくせん）AB上（うえ）の点（てん）の表現（ひょうげん）公式（こうしき）。

EJU 2026 · MATH.14.3

Xác định điểm thuộc đường thẳng và điểm thuộc mặt phẳng là các bài toán hình học vectơ quan trọng trong không gian. Sử dụng biểu diễn vectơ và điều kiện đồng phẳng giúp tìm giao điểm và vị trí tương đối một cách chính xác.

直線（ちょくせん）上（じょう）の点（てん）や平面（へいめん）上（じょう）の点（てん）の決定（けってい）は、空間（くうかん）における重要（じゅうよう）ベクトル幾何（きか）問題（もんだい）です。ベクトルの表現（ひょうげん）と共（きょう）面（めん）条件（じょうけん）を利用（りよう）することで、交点（こうてん）や位置（いち）関係（かんけい）を正確（せいかく）に求（もと）めることができます。

空間（くうかん）ベクトルと図形（ずけい）
一直線上の3点同一平面上にある点共面条件直線上の点