Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学II・B · Toán II · B

Phương trình hình học không gian空間（くうかん）図形（ずけい）の方程（ほうてい）式（しき）

Công thức公式

\vec{p} = \vec{p}_0 + t\vec{d}
x = x_0 + at, \quad y = y_0 + bt, \quad z = z_0 + ct
\frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c}
(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2

Ví dụ例題

Cho đường thẳng d đi qua điểm A(1, 2, 3) và có vectơ chỉ phương vec(u) = (2, 1, 0). Hãy viết biểu diễn theo tham số của đường thẳng d và tìm điểm M trên d ứng với tham số t = 2.

点（てん）A(1, 2, 3)を通（とお）り、方向（ほうこう）ベクトルvec(u) = (2, 1, 0)を持（も）つ直線（ちょくせん）dがある。直線（ちょくせん）dの媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）を求（もと）め、媒介（ばいかい）変数（へんすう）t = 2に対応（たいおう）するd上（うえ）の点（てん）Mの座標（ざひょう）を求（もと）めよ。

  1. Thay tọa độ điểm A(1, 2, 3) và vectơ chỉ phương (2, 1, 0) vào công thức tham số, ta được x = 1 + 2t, y = 2 + t, z = 3.点（てん）A(1, 2, 3)の座標（ざひょう）と方向（ほうこう）ベクトル(2, 1, 0)を媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）の公式（こうしき）に代入（だいにゅう）すると、x = 1 + 2t, y = 2 + t, z = 3 となります。
  2. Thay t = 2 vào biểu thức tham số: x = 1 + 2(2) = 5, y = 2 + 2 = 4, z = 3, suy ra điểm M có tọa độ là (5, 4, 3).t = 2 を代入（だいにゅう）すると、x = 1 + 2(2) = 5, y = 2 + 2 = 4, z = 3 となり、点（てん）Mの座標（ざひょう）は (5, 4, 3) となります。
Vậy biểu diễn tham số là x = 1 + 2t, y = 2 + t, z = 3 và điểm M là (5, 4, 3).したがって、媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）は x = 1 + 2t, y = 2 + t, z = 3 であり、点（てん）Mの座標（ざひょう）は (5, 4, 3) です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Đường thẳng đi qua điểm A(2, 1, 4) với vectơ chỉ phương vec(d) = (1, 3, 2) có biểu diễn theo tham số t là phương trình nào?点（てん）A(2, 1, 4)を通（とお）り、方向（ほうこう）ベクトルvec(d) = (1, 3, 2)を持（も）つ直線（ちょくせん）の媒介（ばいかい）変数（へんすう）tによる表示（ひょうじ）はどれか。

2. Phương trình mặt cầu có tâm I(1, 2, 3) và bán kính r = 4 là phương trình nào sau đây?中心（ちゅうしん）I(1, 2, 3)、半径（はんけい）r = 4である球（たま）の方程（ほうてい）式（しき）は次（つぎ）のうちどれか。

3. Phương trình mặt cầu \((x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 5)^{2} = 9\) có tâm I và bán kính r lần lượt là bao nhiêu?球（たま）の方程（ほうてい）式（しき） \((x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 5)^{2} = 9\) の中心（ちゅうしん）Iと半径（はんけい）rはそれぞれいくらか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.14.3. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 2 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.14.3。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）2区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Biểu diễn phương trình đường thẳng trong không gian bằng dạng tham số và dạng chính tắc.空間（くうかん）における直線（ちょくせん）の方程（ほうてい）式（しき）を媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）および標準（ひょうじゅん）形（けい）で表現（ひょうげん）すること。
  2. Xây dựng phương trình mặt cầu tâm (a, b, c) bán kính r và ứng dụng tìm giá trị nhỏ nhất.中心（ちゅうしん）(a, b, c)、半径（はんけい）rの球（たま）の方程（ほうてい）式（しき）を構築（こうちく）し、最小（さいしょう）値（ち）の形（かたち）に応用（おうよう）すること。
Trực giác · イメージ

Mô hình hóa đường thẳng và mặt cầu bằng tọa độ và tham số座標（ざひょう）と媒介（ばいかい）変数（へんすう）による直線（ちょくせん）と球（たま）のモデル化（か）

Trong không gian, đường thẳng được xác định khi biết một điểm và vectơ chỉ phương, biểu diễn qua tham số t. Mặt cầu được xác định bởi tâm và bán kính, mô tả tập hợp các điểm có khoảng cách cố định đến tâm.

空間（くうかん）において、直線（ちょくせん）は1点（てん）と方向（ほうこう）ベクトルが与（あた）えられれば媒介（ばいかい）変数（へんすう）tを用（もち）いて表（あらわ）されます。球（たま）は中心（ちゅうしん）と半径（はんけい）で定（さだ）まり、中心（ちゅうしん）からの距離（きょり）が一定（いってい）である点（てん）の集合（しゅうごう）を表（あらわ）します。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 直線（ちょくせん）の方程（ほうてい）式（しき）Phương trình đường thẳng

    Phương trình xác định tập hợp tất cả các điểm nằm trên đường thẳng trong không gian 3 chiều.

    3次元（じげん）空間（くうかん）において直線（ちょくせん）上（じょう）のすべての点（てん）の集合（しゅうごう）を規定（きてい）するための方程（ほうてい）式（しき）です。

  • 方向（ほうこう）ベクトルVectơ chỉ phương

    Vectơ khác 0 có giá song song hoặc trùng với đường thẳng, chỉ rõ hướng của đường thẳng đó.

    直線（ちょくせん）に平行（へいこう）または一致（いっち）する0でないベクトルで、直線（ちょくせん）の方向（ほうこう）を示（しめ）します。

  • 媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）Biểu diễn theo tham số

    Biểu diễn tọa độ (x, y, z) của điểm trên đường thẳng qua một tham số thực t.

    直線（ちょくせん）上（じょう）の点（てん）の座標（ざひょう）(x, y, z)を1つの実数（じっすう）パラメータtを用（もち）いて表（あらわ）す方法（ほうほう）です。

  • 球（たま）の方程（ほうてい）式（しき）Phương trình mặt cầu

    Phương trình mô tả tập hợp các điểm cách đều điểm tâm (a, b, c) một khoảng bằng bán kính r.

    中心（ちゅうしん）(a, b, c)から一定（いってい）の距離（きょり）rにあるすべての点（てん）の集合（しゅうごう）を表（あらわ）す方程（ほうてい）式（しき）です。

  • 媒介（ばいかい）変数（へんすう）Tham số

    Biến số trung gian t được dùng để liên kết tọa độ x, y, z của điểm trên đường thẳng.

    直線（ちょくせん）上（じょう）の点（てん）の座標（ざひょう）x, y, zを相互（そうご）に関連（かんれん）付（つ）けるための仲介（ちゅうかい）変数（へんすう）tのことです。

  • 最小（さいしょう）値（ち）Giá trị nhỏ nhất

    Giá trị nhỏ nhất của một biểu thức khoảng cách hoặc khoảng cách từ điểm đến đường thẳng khi tham số thay đổi.

    パラメータが変化（へんか）するときに、距離（きょり）や式（しき）の値（あたい）がとり得（え）る最（もっと）も小（ちい）さな値（あたい）のことです。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：通過（つうか）点（てん）と方向（ほうこう）ベクトルの特定（とくてい）

    Bước 1: Xác định điểm đi qua và vectơ chỉ phương

    Cho điểm p0 = (x0, y0, z0) và vectơ chỉ phương d = (a, b, c). Viết dạng vectơ p = p0 + t*d.

    通過（つうか）点（てん）p0 = (x0, y0, z0)と方向（ほうこう）ベクトルd = (a, b, c)を特定（とくてい）し、ベクトル形式（けいしき）p = p0 + t*dを立（た）てます。

  2. 02
    ステップ2：媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）と標準（ひょうじゅん）形（けい）への変換（へんかん）

    Bước 2: Chuyển sang biểu diễn theo tham số và dạng chính tắc

    Tách theo tọa độ để có x = x0 + at, y = y0 + bt, z = z0 + ct. Khi a, b, c khác 0, rút t để được (x-x0)/a = (y-y0)/b = (z-z0)/c.

    各（かく）成分（せいぶん）に分解（ぶんかい）して x = x0 + at, y = y0 + bt, z = z0 + ct とします。a, b, cが0でない場合（ばあい）、tを消去（しょうきょ）して (x-x0)/a = (y-y0)/b = (z-z0)/c を得（え）ます。

  3. 03
    ステップ3：球（たま）の方程（ほうてい）式（しき）の構築（こうちく）

    Bước 3: Lập phương trình mặt cầu

    Với tâm (a, b, c) và bán kính r, áp dụng công thức \((x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = r^{2}\).

    中心（ちゅうしん）(a, b, c)と半径（はんけい）rに対（たい）して、公式（こうしき） \((x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = r^{2}\) を適用（てきよう）します。

  4. 04
    ステップ4：パラメータ式（しき）による最小（さいしょう）値（ち）の計算（けいさん）

    Bước 4: Tìm giá trị nhỏ nhất qua biểu thức tham số

    Biểu diễn khoảng cách từ gốc tọa độ hoặc điểm cho trước đến đường thẳng theo t, sau đó tìm giá trị nhỏ nhất của tam thức bậc hai theo t.

    原点（げんてん）や指定（してい）された点（てん）から直線（ちょくせん）までの距離（きょり）をtの式（しき）で表（あらわ）し、tに関（かん）する2次式（じしき）の最小（さいしょう）値（ち）を求（もと）めます。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Áp dụng dạng chính tắc (x - x0)/a = (y - y0)/b = (z - z0)/c khi một trong các số a, b, c bằng 0.a, b, cのいずれかが0である場合（ばあい）に、標準（ひょうじゅん）形（けい） (x - x0)/a = (y - y0)/b = (z - z0)/c を適用（てきよう）しようとすること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Khi một thành phần của vectơ chỉ phương bằng 0, không chia cho 0 mà phải dùng dạng tham số hoặc viết riêng tọa độ đó cố định.方向（ほうこう）ベクトルの成分（せいぶん）に0が含（ふく）まれる場合（ばあい）、0で割（わ）ることはできないため、媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）を用（もち）いるかその成分（せいぶん）の方程（ほうてい）式（しき）を独立（どくりつ）して記述（きじゅつ）します。

Nhầm lẫn bán kính r với \(r^{2}\) ở vế phải của phương trình mặt cầu, dẫn đến tính sai bán kính r.球（たま）の方程（ほうてい）式（しき）の右辺（うへん）にある\(r^{2}\)を半径（はんけい）rと混同（こんどう）し、半径（はんけい）を誤（あやま）って計算（けいさん）すること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Vế phải của phương trình mặt cầu chuẩn là \(r^{2}\), vì vậy bán kính r là căn bậc hai của số ở vế phải.標準（ひょうじゅん）的（てき）な球（たま）の方程（ほうてい）式（しき）の右辺（うへん）は\(r^{2}\)であるため、半径（はんけい）rは右辺（うへん）の数値（すうち）の平方（へいほう）根（ね）となります。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Đường thẳng trong không gian có thể biểu diễn theo tham số t nhờ một điểm đi qua và vectơ chỉ phương.空間（くうかん）内（ない）の直線（ちょくせん）は、通過（つうか）する1点（てん）と方向（ほうこう）ベクトルを用（もち）いて媒介（ばいかい）変数（へんすう）tで表（あらわ）すことができます。
  • Khi các thành phần của vectơ chỉ phương đều khác 0, đường thẳng có thể viết dưới dạng phương trình chính tắc (x - x0)/a = (y - y0)/b = (z - z0)/c.方向（ほうこう）ベクトルの各（かく）成分（せいぶん）がすべて0でないとき、直線（ちょくせん）は標準（ひょうじゅん）方程（ほうてい）式（しき） (x - x0)/a = (y - y0)/b = (z - z0)/c の形（かたち）で記述（きじゅつ）できます。
  • Phương trình mặt cầu tâm (a, b, c) bán kính r trong không gian 3 chiều là \((x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = r^{2}\).3次元（じげん）空間（くうかん）における中心（ちゅうしん）(a, b, c)、半径（はんけい）rの球（たま）の方程（ほうてい）式（しき）は \((x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = r^{2}\) です。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

\vec{p} = \vec{p}_0 + t\vec{d}

Phương trình đường thẳng dạng vectơ với vectơ vị trí ban đầu p0 và vectơ chỉ phương d.

初期（しょき）位置（いち）ベクトルp0と方向（ほうこう）ベクトルdを用（もち）いた直線（ちょくせん）のベクトル方程（ほうてい）式（しき）です。

x = x_0 + at, \quad y = y_0 + bt, \quad z = z_0 + ct

Biểu diễn tọa độ các điểm trên đường thẳng theo tham số t trong không gian 3 chiều.

3次元（じげん）空間（くうかん）における直線（ちょくせん）上（じょう）の点（てん）の座標（ざひょう）を媒介（ばいかい）変数（へんすう）tで表（あらわ）した式（しき）です。

\frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c}

Phương trình chính tắc của đường thẳng khi các thành phần của vectơ chỉ phương đều khác 0.

方向（ほうこう）ベクトルの各（かく）成分（せいぶん）がすべて0でない場合（ばあい）の直線（ちょくせん）の標準（ひょうじゅん）方程（ほうてい）式（しき）です。

(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2

Phương trình mặt cầu tâm (a, b, c) với bán kính r trong không gian tọa độ.

座標（ざひょう）空間（くうかん）における中心（ちゅうしん）(a, b, c)、半径（はんけい）rの球（たま）の方程（ほうてい）式（しき）です。

EJU 2026 · MATH.14.3

Bài học này hướng dẫn lập phương trình đường thẳng và phương trình mặt cầu trong không gian bằng vectơ. Bạn sẽ học cách sử dụng tham số và vectơ chỉ phương để giải các bài toán vị trí và giá trị nhỏ nhất.

本節（ほんせつ）では、ベクトルを用（もち）いて空間（くうかん）における直線（ちょくせん）の方程（ほうてい）式（しき）や球（たま）の方程（ほうてい）式（しき）を導（みちび）く方法（ほうほう）を学（まな）びます。方向（ほうこう）ベクトルと媒介（ばいかい）変数（へんすう）を利用（りよう）して、位置（いち）関係（かんけい）や最小（さいしょう）値（ち）問題（もんだい）を解決（かいけつ）する方法（ほうほう）をマスターします。

空間（くうかん）図形（ずけい）の方程（ほうてい）式（しき）
直線の方程式方向ベクトル媒介変数表示球の方程式