Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学II・B · Toán II · B

Diện tích giới hạn bởi đường cong và tiếp tuyến曲線（きょくせん）と接線（せっせん）が囲（かこ）む面積（めんせき）

Công thức公式

y-f(a)=f'(a)(x-a)
\int (x-a)^2 dx = \frac{1}{3}(x-a)^3 + C
\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)^2 (x-\beta) dx = -\frac{1}{12}(\beta-\alpha)^4
f(x) = x^3 + 3ax^2 + bx + c

Ví dụ例題

Cho hàm số bậc ba \(y = f(x) = x^{3} - 3 x\). Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm x = 1 và tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và tiếp tuyến đó.

3次（じ）関数（かんすう） \(y = f(x) = x^{3} - 3 x\) について、点（てん） x = 1 における接線（せっせん）の方程（ほうてい）式（しき）を求（もと）め、そのグラフと接線（せっせん）によって囲（かこ）まれた図形（ずけい）の面積（めんせき） S を計算（けいさん）しなさい。

  1. Viết phương trình tiếp tuyến tại x = 1: Ta có f(1) = -2 và f'\((x) = 3 x^{2} - 3\) nên f'(1) = 0. Phương trình tiếp tuyến là y - (-2) = 0(x - 1) hay y = -2.x = 1 における接線（せっせん）の方程（ほうてい）式（しき）の作成（さくせい）：f(1) = -2 かつ f'\((x) = 3 x^{2} - 3\) より f'(1) = 0 です。接線（せっせん）の方程（ほうてい）式（しき）は y - (-2) = 0(x - 1) すなわち y = -2 となります。
  2. Tìm hoành độ giao điểm thứ hai: Xét phương trình hoành độ giao điểm \(x^{3} - 3 x = -2\) hay \(x^{3} - 3 x + 2 = 0\). Phân tích ta được \((x - 1)^{2}\) (x + 2) = 0, suy ra giao điểm còn lại là x = -2.第（だい）2の交点（こうてん）の x 座標（ざひょう）の決定（けってい）：共有（きょうゆう）点（てん）の x 座標（ざひょう）の方程（ほうてい）式（しき） \(x^{3} - 3 x = -2\) すなわち \(x^{3} - 3 x + 2 = 0\) を考（かんが）えます。因数（いんすう）分解（ぶんかい）すると \((x - 1)^{2}\) (x + 2) = 0 となり、もう1つの交点（こうてん）は x = -2 です。
  3. Tính diện tích S bằng tích phân: Trên đoạn [-2, 1], đồ thị f(x) nằm trên đường thẳng y = -2. Áp dụng công thức S = \(\int_{-2}^{1}\) (x^3 - 3x + 2) dx = \(\frac{1}{12}\)(1 - (-2))^4 = \(\frac{81}{12}\) = \(\frac{27}{4}\).定（てい）積分（せきぶん）による面積（めんせき） S の計算（けいさん）：区間（くかん） [-2, 1] において、グラフ f(x) は直線（ちょくせん） y = -2 の上（うえ）に位置（いち）します。公式（こうしき） S = \(\int_{-2}^{1}\) (x^3 - 3x + 2) dx = \(\frac{1}{12}\)(1 - (-2))^4 = \(\frac{81}{12}\) = \(\frac{27}{4}\) を適用（てきよう）します。
Tiếp tuyến là y = -2 và diện tích hình phẳng giới hạn là S = 27/4.接線（せっせん）は y = -2 であり、囲（かこ）まれた図形（ずけい）の面積（めんせき）は S = 27/4 です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị \(y = x^{2} - 4 x + 3\) tại điểm có hoành độ x = 3 là đường thẳng nào?曲線（きょくせん） \(y = x^{2} - 4 x + 3\) の x = 3 における接線（せっせん）の方程（ほうてい）式（しき）はどれですか。

2. Tính giá trị tích phân I = \(\int_{0}^{2}\) (x - 2)^2 dx.定（てい）積分（せきぶん） I = \(\int_{0}^{2}\) (x - 2)^2 dx の値（あたい）を計算（けいさん）しなさい。

3. Cho đường cong \(y = x^{3}\) và tiếp tuyến tại x = -1 là y = 3x + 2 (giao điểm khác là x = 2). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(y = x^{3}\) và tiếp tuyến y = 3x + 2 trên đoạn [-1, 2] bằng bao nhiêu?曲線（きょくせん） \(y = x^{3}\) と、点（てん） x = -1 における接線（せっせん） y = 3x + 2 について、これらが囲（かこ）む図形（ずけい）の面積（めんせき）（交点（こうてん）は x = 2）はいくらですか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.19.2 · MATH.20.2. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 2 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.19.2 · MATH.20.2。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）2区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Viết được phương trình tiếp tuyến của đường cong tại một điểm cho trước.与（あた）えられた点（てん）における曲線（きょくせん）の接線（せっせん）の方程（ほうてい）式（しき）を求（もと）めることができる。
  2. Xử lý tích phân dạng \((x - a)^{2}\) để tính diện tích miền giới hạn một cách nhanh chóng.囲（かこ）まれた面積（めんせき）を迅速（じんそく）に計算（けいさん）するために \((x - a)^{2}\) の形（かたち）の定（てい）積分（せきぶん）を処理（しょり）できる。
  3. Nắm vững và áp dụng công thức tích phân tích 1/12 đối với hàm số bậc ba và tiếp tuyến.3次（じ）関数（かんすう）と接線（せっせん）に関（かん）する 1/12 定（てい）積分（せきぶん）公式（こうしき）を理解（りかい）し、適用（てきよう）できる。
Trực giác · イメージ

Sự tiếp xúc và phép tính diện tích nhanh接（せっ）する関係（かんけい）と面積（めんせき）の高速（こうそく）計算（けいさん）

Khi một đường thẳng tiếp xúc với đường cong tại hoành độ a, hiệu hai hàm số luôn chứa nhân tử \((x - a)^{2}\). Nhờ cấu trúc phân tích thành nhân tử đặc biệt này, tích phân xác định diện tích có thể tính nhẩm hoặc biến đổi rất đơn giản thông qua công thức nguyên hàm.

直線（ちょくせん）が x 座標（ざひょう） a で曲線（きょくせん）に接（せっ）するとき、2つの関数（かんすう）の差（さ）は常（つね）に因数（いんすう） \((x - a)^{2}\) を含（ふく）みます。この特別（とくべつ）な因数（いんすう）分解（ぶんかい）構造（こうぞう）のおかげで、面積（めんせき）を表（あらわ）す定（てい）積分（せきぶん）は原初（げんしょ）関数（かんすう）公式（こうしき）を通（つう）じて非常（ひじょう）に簡単（かんたん）に計算（けいさん）できます。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 放物（ほうぶつ）線（せん）parabol

    Đường cong biểu diễn hàm số bậc hai có dạng đối xứng qua trục.

    軸（じく）に関（かん）して対称（たいしょう）な形状（けいじょう）を持（も）つ2次（じ）関数（かんすう）のグラフ曲線（きょくせん）です。

  • 接線（せっせん）tiếp tuyến

    Đường thẳng chạm vào đường cong tại tiếp điểm và có hệ số góc bằng đạo hàm tại điểm đó.

    接点（せってん）において曲線（きょくせん）に触（ふ）れ、その点（てん）での導（どう）関数（かんすう）に等（ひと）しい傾（かたむ）きを持（も）つ直線（ちょくせん）です。

  • 接点（せってん）tiếp điểm

    Điểm chung duy nhất tại khu vực lân cận nơi tiếp tuyến và đường cong gặp nhau.

    近傍（きんぼう）において接線（せっせん）と曲線（きょくせん）が交（まじ）わる唯一（ゆいいつ）の共通（きょうつう）点（てん）です。

  • 面積（めんせき）diện tích

    Giá trị đại lượng đo độ lớn của hình phẳng giới hạn bởi đường cong và tiếp tuyến.

    曲線（きょくせん）と接線（せっせん）によって囲（かこ）まれた平面（へいめん）図形（ずけい）の大（おお）きさを表（あらわ）す値（あたい）です。

  • 3次（じ）関数（かんすう）hàm số bậc ba

    Hàm số đa thức bậc ba có dạng \(f(x) = x^{3} + 3 ax^{2} + bx + c\).

    \(f(x) = x^{3} + 3 ax^{2} + bx + c\) の形式（けいしき）を持（も）つ3次（じ）多項（たこう）式（しき）関数（かんすう）です。

  • 共通（きょうつう）接線（せっせん）tiếp tuyến chung

    Đường thẳng tiếp xúc đồng thời với hai đường cong tại các tiếp điểm tương ứng.

    それぞれの接点（せってん）において2つの曲線（きょくせん）に同時（どうじ）に接（せっ）する直線（ちょくせん）です。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    接線（せっせん）の方程（ほうてい）式（しき）の決定（けってい）

    Xác định phương trình tiếp tuyến

    Dùng công thức y - f(a) = f'(a)(x - a) để lập phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm x = a. Hệ số góc của tiếp tuyến chính là giá trị đạo hàm f'(a).

    接点（せってん） x = a における接線（せっせん）の方程（ほうてい）式（しき）を求（もと）めるために y - f(a) = f'(a)(x - a) 公式（こうしき）を使用（しよう）します。接線（せっせん）の傾（かたむ）きは導（どう）関数（かんすう）の値（あたい） f'(a) です。

  2. 02
    交点（こうてん）の x 座標（ざひょう）の決定（けってい）

    Tìm hoành độ giao điểm

    Lập phương trình hoành độ giao điểm giữa đường cong và tiếp tuyến để tìm hoành độ giao điểm còn lại \(\beta\) ngoài tiếp điểm \(\alpha\). Phương trình hiệu luôn có dạng phân tích thành nhân tử chứa \((x - \alpha)^{2}\).

    接点（せってん） \(\alpha\) 以外（いがい）の交点（こうてん）の x 座標（ざひょう） \(\beta\) を求（もと）めるために、曲線（きょくせん）と接線（せっせん）の共有（きょうゆう）点（てん）の方程（ほうてい）式（しき）を作成（さくせい）します。差（さ）の方程（ほうてい）式（しき）は常（つね）に \((x - \alpha)^{2}\) を含（ふく）む因数（いんすう）分解（ぶんかい）形式（けいしき）になります。

  3. 03
    面積（めんせき）定積（ていせき）分（ぶん）の計算（けいさん）

    Tính tích phân diện tích

    Lấy tích phân xác định hiệu hai hàm số trên đoạn [\(\alpha\), \(\beta\)] bằng công thức tích phân tích 1/12 đặc biệt. Kết quả thu được là diện tích S dương của miền giới hạn.

    特別（とくべつ）な 1/12 定（てい）積分（せきぶん）公式（こうしき）を使用（しよう）して、区間（くかん） [\(\alpha\), \(\beta\)] における2つの関数（かんすう）の差（さ）の定（てい）積分（せきぶん）を計算（けいさん）します。得（え）られた結果（けっか）が囲（かこ）まれた領域（りょういき）の正（せい）の面積（めんせき） S となります。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Quên dấu tuyệt đối hoặc xác định sai vị trí trên/dưới của hai đồ thị dẫn đến diện tích bị âm.絶対（ぜったい）値（ち）を忘（わす）れたり、2つのグラフの上下（じょうげ）位置（いち）を誤認（ごにん）したりして面積（めんせき）が負（ふ）になること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Diện tích S luôn mang giá trị dương, do đó cần lấy hàm phía trên trừ đi hàm phía dưới hoặc lấy giá trị tuyệt đối của kết quả tích phân.面積（めんせき） S は常（つね）に正（せい）の値（あたい）をとるため、上（うえ）の関数（かんすう）から下（した）の関数（かんすう）を引（ひ）くか、定（てい）積分（せきぶん）結果（けっか）の絶対（ぜったい）値（ち）をとる必要（ひつよう）があります。

Xác định sai số mũ của nhân tử tiếp xúc \((x - \alpha)\) khi tính phương trình hiệu.差（さ）の方程（ほうてい）式（しき）を計算（けいさん）する際（さい）に接点（せってん）因数（いんすう） \((x - \alpha)\) の指数（しすう）を間違（まちが）えること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Tại tiếp điểm \(x = \alpha\), phương trình hiệu hàm số luôn chứa nhân tử bội hai \((x - \alpha)^{2}\).接点（せってん） \(x = \alpha\) において、関数（かんすう）の差（さ）の方程（ほうてい）式（しき）は常（つね）に2重（じゅう）の因数（いんすう） \((x - \alpha)^{2}\) を含（ふく）みます。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Sử dụng công thức y - f(a) = f'(a)(x - a) để xác định chính xác phương trình tiếp tuyến.接線（せっせん）の方程（ほうてい）式（しき） y - f(a) = f'(a)(x - a) を用（もち）いて接線（せっせん）の式（しき）を正確（せいかく）に求（もと）める。
  • Tận dụng nhân tử \((x - a)^{2}\) tại tiếp điểm x = a để tính nhanh các tích phân diện tích.接点（せってん） x = a では差（さ）の式（しき）が \((x - a)^{2}\) を持（も）つことを利用（りよう）して定（てい）積分（せきぶん）を計算（けいさん）する。
  • Sử dụng công thức 1/12 đối với diện tích giới hạn bởi đồ thị hàm số bậc ba và tiếp tuyến để tối ưu hóa thời gian tính toán.3次（じ）関数（かんすう）と接線（せっせん）が囲（かこ）む面積（めんせき）には 1/12 公式（こうしき）を利用（りよう）して計算（けいさん）の手間（てま）を削減（さくげん）する。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

y-f(a)=f'(a)(x-a)

Phương trình đường tiếp tuyến của đồ thị y = f(x) tại tiếp điểm có hoành độ x = a.

x 座標（ざひょう）が x = a の接点（せってん）におけるグラフ y = f(x) の接線（せっせん）の方程（ほうてい）式（しき）です。

\int (x-a)^2 dx = \frac{1}{3}(x-a)^3 + C

Công thức nguyên hàm của bình phương nhị thức giúp tính nhanh các bài toán tích phân giới hạn bởi tiếp tuyến.

接線（せっせん）に囲（かこ）まれた定（てい）積分（せきぶん）問題（もんだい）を迅速（じんそく）に計算（けいさん）するのに役立（やくだ）つ2項（こう）式（しき）の2乗（のり）の原初（げんしょ）関数（かんすう）公式（こうしき）です。

\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)^2 (x-\beta) dx = -\frac{1}{12}(\beta-\alpha)^4

Công thức tích phân chuẩn để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số bậc ba và tiếp tuyến của nó.

3次（じ）関数（かんすう）のグラフとその接線（せっせん）によって囲（かこ）まれた図形（ずけい）の面積（めんせき）を計算（けいさん）するための標準（ひょうじゅん）的（てき）な定（てい）積分（せきぶん）公式（こうしき）です。

f(x) = x^3 + 3ax^2 + bx + c

Dạng tổng quát của hàm số bậc ba thường gặp trong các bài toán tiếp tuyến và diện tích giới hạn.

接線（せっせん）と囲（かこ）まれた面積（めんせき）の問題（もんだい）でよく見（み）られる3次（じ）関数（かんすう）の一般（いっぱん）形（けい）です。

EJU 2026 · MATH.19.2 · MATH.20.2

Bài học này hướng dẫn phương pháp tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong bậc ba hoặc parabol với tiếp tuyến của nó. Việc áp dụng công thức tích phân chuẩn giúp đơn giản hóa các bước tính toán trong bài thi EJU.

この課（か）では、3次（じ）関数（かんすう）や放物（ほうぶつ）線（せん）などの曲線（きょくせん）とその接線（せっせん）によって囲（かこ）まれた図形（ずけい）の面積（めんせき）を計算（けいさん）する方法（ほうほう）を学（まな）びます。標準（ひょうじゅん）的（てき）な定（てい）積分（せきぶん）公式（こうしき）を活用（かつよう）することで、EJU試験（しけん）における計算（けいさん）手順（てじゅん）を大幅（おおはば）に簡略（かんりゃく）化（か）できます。

曲線（きょくせん）と接線（せっせん）が囲（かこ）む面積（めんせき）
放物線接線接点面積