Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学II・B · Toán II · B

Diện tích tam giác trong không gian và điều kiện vuông góc空間（くうかん）内（ない）の三角形（さんかくけい）の面積（めんせき）と垂直（すいちょく）条件（じょうけん）

Công thức公式

S = \frac{1}{2}\sqrt{|\vec{AB}|^2|\vec{AC}|^2 - (\vec{AB} \cdot \vec{AC})^2}
\vec{x} \perp \vec{a}, \vec{x} \perp \vec{b} \implies \vec{x} \cdot \vec{a} = 0, \vec{x} \cdot \vec{b} = 0
x = \frac{n x_1 + m x_2}{m + n}, y = \frac{n y_1 + m y_2}{m + n}, z = \frac{n z_1 + m z_2}{m + n}
\vec{FP} = \vec{AP} - \vec{AF}

Ví dụ例題

Trong không gian tọa độ, cho ba điểm A(0, 0, 0), B(1, 2, 0) và C(2, 0, 1). Tìm diện tích tam giác ABC và tọa độ điểm P chia trong đoạn AB theo tỷ lệ 1:1.

座標（ざひょう）空間（くうかん）において、3点（てん）A(0, 0, 0)、B(1, 2, 0)、C(2, 0, 1)が与（あた）えられています。三角形（さんかくけい）ABCの面積（めんせき）と、線分（せんぶん）ABを1:1に内分（ないぶん）する点（てん）Pの座標（ざひょう）を求（もと）めなさい。

  1. Tính các vectơ AB = (1, 2, 0) và AC = (2, 0, 1) cho |AB|^2 = 5, |AC|^2 = 5 và tích vô hướng bằng 2.ベクトル AB = (1, 2, 0) と AC = (2, 0, 1) を求（もと）めると、|AB|^2 = 5、|AC|^2 = 5、内積（ないせき）は 2 となります。
  2. Tính diện tích tam giác ABC theo công thức S = (1/2) sqrt(5 x 5 - 2^2) = (1/2) sqrt(21).公式（こうしき）より三角形（さんかくけい）ABCの面積（めんせき）を計算（けいさん）すると S = (1/2) sqrt(5 x 5 - 2^2) = (1/2) sqrt(21) となります。
  3. Tọa độ điểm chia trong P của AB theo tỷ lệ 1:1 là x = (0+1)/2 = 1/2, y = (0+2)/2 = 1, z = (0+0)/2 = 0, suy ra P(1/2, 1, 0).線分（せんぶん）ABを1:1に内分（ないぶん）する点（てん）Pの座標（ざひょう）は x = (0+1)/2 = 1/2, y = (0+2)/2 = 1, z = (0+0)/2 = 0 より P(1/2, 1, 0) となります。
Diện tích tam giác ABC là S = sqrt(21)/2 và tọa độ điểm chia trong P là (1/2, 1, 0).三角形（さんかくけい）ABCの面積（めんせき）は S = sqrt(21)/2 であり、内分（ないぶん）点（てん）Pの座標（ざひょう）は (1/2, 1, 0) です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Trong không gian, cho hai vectơ AB = (1, 0, 1) và AC = (0, 1, 1). Diện tích tam giác ABC bằng bao nhiêu?空間（くうかん）において、2つのベクトル AB = (1, 0, 1) および AC = (0, 1, 1) が与（あた）えられています。三角形（さんかくけい）ABCの面積（めんせき）はいくらか。

2. Cho vectơ x = (x, -1, 1) và a = (2, 1, -1). Tìm x để vectơ x vuông góc với vectơ a.ベクトル x = (x, -1, 1) と a = (2, 1, -1) が与（あた）えられています。ベクトル x がベクトル a に垂直（すいちょく）となるような x の値（あたい）を求（もと）めなさい。

3. Trong không gian, cho hai điểm A(1, 2, 3) và B(4, 5, 6). Tọa độ điểm P chia trong đoạn AB theo tỷ lệ 1:2 là bao nhiêu?空間（くうかん）において、2点（てん）A(1, 2, 3)およびB(4, 5, 6)が与（あた）えられています。線分（せんぶん）ABを1:2に内分（ないぶん）する点（てん）Pの座標（ざひょう）はいくらか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.14.3. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 3 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.14.3。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）3区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Vận dụng công thức tích vô hướng và độ dài để tính diện tích tam giác trong không gian.内積（ないせき）と長（なが）さの公式（こうしき）を利用（りよう）して、空間（くうかん）内（ない）の三角形（さんかくけい）の面積（めんせき）を計算（けいさん）する。
  2. Áp dụng điều kiện vuông góc của vectơ để thiết lập hệ phương trình và tìm tọa độ chưa biết.ベクトルの垂直（すいちょく）条件（じょうけん）を適用（てきよう）して連立（れんりつ）方程（ほうてい）式（しき）を立（た）て、未知（みち）の座標（ざひょう）を求（もと）める。
  3. Sử dụng tọa độ điểm chia và hiệu vectơ để biểu diễn các vectơ trong không gian.分点（ぶんてん）の座標（ざひょう）とベクトルの差（さ）を用（もち）いて、空間（くうかん）内（ない）のベクトルを表現（ひょうげん）する。
Trực giác · イメージ

Diện tích tam giác và góc vuông qua góc nhìn tích vô hướng内積（ないせき）の視点（してん）から見（み）る三角形（さんかくけい）の面積（めんせき）と直角（ちょっかく）

Diện tích tam giác trong không gian được xác định dựa trên độ dài hai cạnh và tích vô hướng giữa chúng. Khi hai vectơ vuông góc với nhau, tích vô hướng của chúng bằng 0, giúp đơn giản hóa việc tìm tọa độ.

空間（くうかん）内（ない）の三角形（さんかくけい）の面積（めんせき）は、2辺（へん）の長（なが）さとその内積（ないせき）に基（もと）づいて決定（けってい）されます。2つのベクトルが垂直（すいちょく）なとき、その内積（ないせき）は0となり、座標（ざひょう）決定（けってい）が容易（ようい）になります。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 三角形（さんかくけい）の面積（めんせき）Diện tích tam giác

    Diện tích của tam giác được tạo bởi hai vectơ dựa vào độ dài và tích vô hướng của hai vectơ đó. Công thức giúp tính diện tích trong không gian mà không cần tìm chiều cao trực tiếp.

    2つのベクトルで作（つく）られる三角形（さんかくけい）の面積（めんせき）は、長（なが）さと内積（ないせき）を用（もち）いて求（もと）められます。この公式（こうしき）により、高（たか）さを直接（ちょくせつ）求（もと）めずに空間（くうかん）内（ない）の面積（めんせき）を計算（けいさん）できます。

  • 垂直（すいちょく）条件（じょうけん）Điều kiện vuông góc

    Hai vectơ không âm vuông góc với nhau khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng 0. Nếu một vectơ vuông góc với hai vectơ không cùng phương, nó sẽ tích vô hướng bằng 0 với cả hai vectơ đó.

    2つの非（ひ）ゼロベクトルが垂直（すいちょく）であるための必要（ひつよう）十（じゅう）分（ふん）条件（じょうけん）は、それらの内積（ないせき）が0になることです。あるベクトルが2つのベクトルに垂直（すいちょく）な場合（ばあい）、両方（りょうほう）との内積（ないせき）が0になります。

  • 内分（ないぶん）点（てん）Điểm chia trong

    Điểm chia trong đoạn thẳng AB theo tỷ lệ m:n có tọa độ được tính bằng trung bình trọng số của tọa độ hai điểm đầu mút. Công thức áp dụng tương tự cho cả ba trục tọa độ x, y, z.

    線分（せんぶん）ABをm:nに内分（ないぶん）する点（てん）の座標（ざひょう）は、両端（りょうたん）の座標（ざひょう）の加重（かじゅう）平均（へいきん）として計算（けいさん）されます。この公式（こうしき）はx、y、zの3軸（じく）すべてに同様（どうよう）に適用（てきよう）されます。

  • 外分（がいぶん）点（てん）Điểm chia ngoài

    Điểm chia ngoài đoạn thẳng AB theo tỷ lệ m:n nằm ngoài đoạn thẳng AB. Tọa độ điểm chia ngoài được tính bằng cách đổi dấu của tỷ số n trong công thức điểm chia trong.

    線分（せんぶん）ABをm:n外分（がいぶん）する点（てん）は、線分（せんぶん）ABの外側（そとがわ）に位置（いち）します。外分（がいぶん）点（てん）の座標（ざひょう）は、内分（ないぶん）点（てん）公式（こうしき）の比率（ひりつ）nの符号（ふごう）を反転（はんてん）させることで求（もと）められます。

  • ベクトルの分解（ぶんかい）Phân tích vectơ

    Việc biểu diễn một vectơ theo các vectơ thành phần giúp đưa bài toán hình học không gian về các phép tính số học đơn giản. Phép trừ vectơ cho phép phân tích vectơ qua một điểm gốc chung.

    ベクトルを成分（せいぶん）ベクトルに分解（ぶんかい）することで、空間（くうかん）図形（ずけい）問題（もんだい）を簡単（かんたん）な数値（すうち）計算（けいさん）に帰着（きちゃく）させます。ベクトルの差（さ）を用（もち）いることで、共通（きょうつう）の始点（してん）を通（とお）る分解（ぶんかい）が可能（かのう）になります。

  • 線形（せんけい）表現（ひょうげん）Biểu diễn tuyến tính

    Biểu diễn tuyến tính là cách viết một vectơ dưới dạng kết hợp tuyến tính của các vectơ cơ sở. Phương pháp này giúp xác định vị trí điểm và mối quan hệ giữa các điểm trong không gian.

    線形（せんけい）表現（ひょうげん）とは、ベクトルを基底（きてい）ベクトルの線形（せんけい）結合（けつごう）として表（あらわ）す方法（ほうほう）です。この手法（しゅほう）は空間（くうかん）における各点（かくてん）の位置（いち）関係（かんけい）を明確（めいかく）にするのに役立（やくだ）ちます。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：ベクトルの長（なが）さと内積（ないせき）の計算（けいさん）

    Bước 1: Tính độ dài các vectơ và tích vô hướng

    Xác định tọa độ của hai vectơ chung đỉnh và tính bình phương độ dài cùng tích vô hướng giữa chúng. Các giá trị này là thành phần cốt lõi để tính diện tích.

    始点（してん）を共有（きょうゆう）する2つのベクトルの座標（ざひょう）を特定（とくてい）し、それぞれの長（なが）さの2乗（のり）と内積（ないせき）を計算（けいさん）します。これらの値（あたい）は面積（めんせき）計算（けいさん）の核心（かくしん）となります。

  2. 02
    ステップ2：三角形（さんかくけい）の面積（めんせき）公式（こうしき）の適用（てきよう）

    Bước 2: Áp dụng công thức tính diện tích tam giác

    Thay các giá trị độ dài và tích vô hướng vào công thức căn bậc hai để tìm diện tích tam giác. Kiểm tra dấu và tính toán cẩn thận bên trong căn.

    長（なが）さと内積（ないせき）の値（あたい）を平方（へいほう）根（ね）の公式（こうしき）に代入（だいにゅう）して三角形（さんかくけい）の面積（めんせき）を求（もと）めます。根号（こんごう）内部（ないぶ）の符号（ふごう）と計算（けいさん）を慎重（しんちょう）に確認（かくにん）します。

  3. 03
    ステップ3：ベクトルの垂直（すいちょく）条件（じょうけん）の設定（せってい）

    Bước 3: Thiết lập điều kiện vuông góc của vectơ

    Cho tích vô hướng của vectơ cần tìm với các vectơ đã cho bằng 0 để lập hệ phương trình. Giải hệ để xác định các tọa độ còn thiếu.

    求（もと）めるベクトルと与（あた）えられたベクトルとの内積（ないせき）を0とおいて連立（れんりつ）方程（ほうてい）式（しき）を立（た）てます。連立（れんりつ）方程（ほうてい）式（しき）を解（と）いて未知（みち）の座標（ざひょう）を決定（けってい）します。

  4. 04
    ステップ4：分点（ぶんてん）の決定（けってい）とベクトル差（さ）の変形（へんけい）

    Bước 4: Xác định điểm chia và biến đổi hiệu vectơ

    Sử dụng công thức tọa độ điểm chia trong để tìm tọa độ các điểm đặc biệt. Áp dụng công thức hiệu hai vectơ để tính vectơ chỉ vị trí tương đối.

    内分（ないぶん）点（てん）の座標（ざひょう）公式（こうしき）を用（もち）いて特別（とくべつ）な点（てん）の座標（ざひょう）を求（もと）めます。2つのベクトルの差（さ）の公式（こうしき）を適用（てきよう）して相対（そうたい）位置（いち）を表（あらわ）すベクトルを計算（けいさん）します。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Quên bình phương tích vô hướng khi thế vào công thức tính diện tích tam giác.三角形（さんかくけい）の面積（めんせき）公式（こうしき）代入（だいにゅう）時（じ）に内積（ないせき）の2乗（のり）を忘（わす）れ、単（たん）なる内積（ないせき）として引（ひ）いてしまうこと。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Biểu thức dưới căn là |AB|^2 |AC|^2 - (AB . AC)^2, tích vô hướng phải được bình phương trước khi trừ.根号（こんごう）内（ない）の式（しき）は |AB|^2 |AC|^2 - (AB . AC)^2 であり、引き算（ひきざん）の前（まえ）に内積（ないせき）を2乗（のり）する必要（ひつよう）があります。

Nhầm lẫn vị trí m và n trong công thức tọa độ điểm chia trong làm đảo ngược tỷ lệ.内分（ないぶん）点（てん）公式（こうしき）における比率（ひりつ）mとnの掛け合（かけあ）わせを逆（ぎゃく）にして座標（ざひょう）を誤（あやま）ること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Trong công thức chia m:n, tỷ lệ n nhân với tọa độ điểm thứ nhất x1 và m nhân với tọa độ điểm thứ hai x2.m:nに内分（ないぶん）する場合（ばあい）、比率（ひりつ）nを第（だい）1の点（てん）x1の座標（ざひょう）に、mを第（だい）2の点（てん）x2の座標（ざひょう）に掛け合（かけあ）わせます。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Diện tích tam giác trong không gian được tính qua căn bậc hai của hiệu giữa tích bình phương độ dài và bình phương tích vô hướng của hai vectơ chung đỉnh.空間（くうかん）の三角形（さんかくけい）の面積（めんせき）は、2つのベクトルの長（なが）さの2乗（のり）の積（せき）と内積（ないせき）の2乗（のり）の差（さ）の平方（へいほう）根（ね）から求（もと）められます。
  • Điều kiện hai vectơ vuông góc là tích vô hướng của chúng bằng 0, cho phép thiết lập phương trình xác định tọa độ chưa biết.2つのベクトルが垂直（すいちょく）である条件（じょうけん）は内積（ないせき）が0になることであり、これを利用（りよう）して未知（みち）の座標（ざひょう）を求（もと）める方程（ほうてい）式（しき）を立（た）てます。
  • Tọa độ điểm chia trong được tính theo công thức gia quyền của tọa độ hai đầu đoạn thẳng tương ứng trên từng trục tọa độ.内分（ないぶん）点（てん）の座標（ざひょう）は、各（かく）座標（ざひょう）軸（じく）において両端（りょうたん）の座標（ざひょう）の加重（かじゅう）平均（へいきん）公式（こうしき）に従（したが）って求（もと）められます。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

S = \frac{1}{2}\sqrt{|\vec{AB}|^2|\vec{AC}|^2 - (\vec{AB} \cdot \vec{AC})^2}

Công thức tính diện tích tam giác ABC dựa vào bình phương độ dài hai cạnh AB, AC và tích vô hướng của hai vectơ AB, AC. Công thức này rất hiệu quả khi biết tọa độ các đỉnh.

2辺（へん）AB、ACの長（なが）さの2乗（のり）とベクトルAB、ACの内積（ないせき）に基（もと）づく三角形（さんかくけい）ABCの面積（めんせき）公式（こうしき）。頂点（ちょうてん）の座標（ざひょう）が既知（きち）の場合（ばあい）に非常（ひじょう）に効果（こうか）的（てき）です。

\vec{x} \perp \vec{a}, \vec{x} \perp \vec{b} \implies \vec{x} \cdot \vec{a} = 0, \vec{x} \cdot \vec{b} = 0

Điều kiện để một vectơ vuông góc với cả hai vectơ cho trước là tích vô hướng của nó với từng vectơ đều bằng 0. Hệ phương trình này giúp tìm tọa độ của vectơ pháp tuyến hoặc vectơ vuông góc.

ベクトルが与（あた）えられた2つのベクトルの両方（りょうほう）に垂直（すいちょく）である条件（じょうけん）は、それぞれの内積（ないせき）が0になることです。この連立（れんりつ）方程（ほうてい）式（しき）は垂直（すいちょく）ベクトルの座標（ざひょう）決定（けってい）に使（つか）われます。

x = \frac{n x_1 + m x_2}{m + n}, y = \frac{n y_1 + m y_2}{m + n}, z = \frac{n z_1 + m z_2}{m + n}

Công thức tính tọa độ điểm chia trong đoạn thẳng nối hai điểm có tọa độ (x1, y1, z1) và (x2, y2, z2) theo tỷ lệ m:n. Áp dụng độc lập cho từng tọa độ x, y và z.

2点（てん）(x1, y1, z1)と(x2, y2, z2)を結（むす）ぶ線分（せんぶん）をm:nに内分（ないぶん）する点（てん）の座標（ざひょう）公式（こうしき）。x、y、zの各（かく）座標（ざひょう）に対（たい）して独立（どくりつ）に適用（てきよう）されます。

\vec{FP} = \vec{AP} - \vec{AF}

Biểu diễn vectơ FP dưới dạng hiệu của hai vectơ vị trí AP và AF có cùng gốc A. Công thức này giúp chuyển đổi gốc của vectơ trong các phép biến đổi không gian.

共通（きょうつう）の始点（してん）Aを持（も）つ2つの位置（いち）ベクトルAPとAFの差（さ）としてベクトルFPを表（あらわ）す公式（こうしき）。空間（くうかん）の基底（きてい）変換（へんかん）や始点（してん）変更（へんこう）に役立（やくだ）ちます。

EJU 2026 · MATH.14.3

Tính diện tích tam giác trong không gian và xác định điều kiện vuông góc là hai bài toán nền tảng của vectơ không gian. Việc làm chủ công thức độ dài, tích vô hướng và điểm chia giúp giải quyết chính xác các bài toán hình học.

空間（くうかん）における三角形（さんかくけい）の面積（めんせき）計算（けいさん）と垂直（すいちょく）条件（じょうけん）の決定（けってい）は、空間（くうかん）ベクトルの基礎（きそ）となる重要（じゅうよう）な問題（もんだい）です。長（なが）さ、内積（ないせき）、分点（ぶんてん）の公式（こうしき）をマスターすることで、幾何（きか）問題（もんだい）を正確（せいかく）に解決（かいけつ）できます。

空間（くうかん）内（ない）の三角形（さんかくけい）の面積（めんせき）と垂直（すいちょく）条件（じょうけん）
三角形の面積垂直条件内分点外分点