Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学II・B · Toán II · B

Tọa độ trong không gian空間（くうかん）の座標（ざひょう）

Công thức公式

PQ = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}
OP = \sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2}
\vec{p} = s\vec{a} + t\vec{b} + u\vec{c}
|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}

Ví dụ例題

Trong không gian tọa độ, cho hai điểm P(1, 2, 1) và Q(4, 2, 5). Hãy tính khoảng cách PQ và khoảng cách OP từ gốc tọa độ O đến P.

座標（ざひょう）空間（くうかん）において、2点（てん） P(1, 2, 1) と Q(4, 2, 5) が与（あた）えられています。距離（きょり） PQ および原点（げんてん）Oから点（てん）Pまでの距離（きょり） OP を求（もと）めなさい。

  1. Áp dụng công thức \(OP = \sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2} + z_{1}^{2}}\) cho P(1, 2, 1), ta có \(OP = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + 1^{2}} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}\).P(1, 2, 1) に対（たい）して公式（こうしき） \(OP = \sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2} + z_{1}^{2}}\) を適用（てきよう）すると、\(OP = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + 1^{2}} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}\) となります。
  2. Áp dụng công thức \(PQ = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2} + (z_{2} - z_{1})^{2}}\) cho P(1, 2, 1) và Q(4, 2, 5), ta được \(PQ = \sqrt{(4 - 1)^{2} + (2 - 2)^{2} + (5 - 1)^{2}} = \sqrt{3^{2} + 0^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = 5\).P(1, 2, 1) と Q(4, 2, 5) に対（たい）して公式（こうしき） \(PQ = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2} + (z_{2} - z_{1})^{2}}\) を適用（てきよう）すると、\(PQ = \sqrt{(4 - 1)^{2} + (2 - 2)^{2} + (5 - 1)^{2}} = \sqrt{3^{2} + 0^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = 5\) となります。
Ta tính được khoảng cách từ gốc tọa độ đến P là \(OP = \sqrt{6}\) và khoảng cách giữa hai điểm P, Q là PQ = 5.原点（げんてん）から点（てん）Pまでの距離（きょり）は \(OP = \sqrt{6}\) であり、2点（てん）P, Q間（あいだ）の距離（きょり）は PQ = 5 と計算（けいさん）されます。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Cho điểm P(2, 3, 6) trong không gian tọa độ. Khoảng cách OP từ gốc tọa độ O(0, 0, 0) đến điểm P bằng bao nhiêu?座標（ざひょう）空間（くうかん）内（ない）に点（てん） P(2, 3, 6) があります。原点（げんてん） O(0, 0, 0) から点（てん） P までの距離（きょり） OP はいくらですか。

2. Cho điểm A(1, 4, 2) và điểm B(3, 2, 3). Khoảng cách AB giữa hai điểm A và B bằng bao nhiêu?点（てん） A(1, 4, 2) と点（てん） B(3, 2, 3) が与（あた）えられています。2点（てん） A, B 間（あいだ）の距離（きょり） AB はいくらですか。

3. Trong không gian, cho vectơ \(\vec{a}\) có tọa độ các thành phần là (1, -2, 2). Độ dài |\(\vec{a}\)| của vectơ \(\vec{a}\) bằng bao nhiêu?空間（くうかん）において、成分（せいぶん）が (1, -2, 2) であるベクトル \(\vec{a}\) があります。ベクトル \(\vec{a}\) の大（おお）きさ |\(\vec{a}\)| はいくらですか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.14.3. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 4 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.14.3。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）4区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Xác định tọa độ điểm, điểm đối xứng và các mặt phẳng tọa độ trong không gian 3D.3次元（じげん）空間（くうかん）における点（てん）の座標（ざひょう）、対称（たいしょう）点（てん）、および座標（ざひょう）平面（へいめん）を特定（とくてい）する。
  2. Tính khoảng cách giữa hai điểm và độ dài vectơ trong không gian bằng công thức căn bậc hai.平方（へいほう）根（ね）の公式（こうしき）を用（もち）いて、空間（くうかん）における2点（てん）間（かん）の距離（きょり）とベクトルの大（おお）きさを計算（けいさん）する。
Trực giác · イメージ

Mở rộng từ mặt phẳng 2D lên không gian 3D2次元（じげん）平面（へいめん）から3次元（じげん）空間（くうかん）への拡張（かくちょう）

Thêm trục z vào hệ tọa độ giúp định vị mọi điểm trong không gian. Công thức khoảng cách trong không gian là sự mở rộng tự nhiên của công thức trong mặt phẳng bằng cách cộng thêm bình phương hiệu cao độ.

座標（ざひょう）系（けい）にz軸（じく）を追加（ついか）することで、空間（くうかん）内（ない）のあらゆる点（てん）を位置（いち）特定（とくてい）できます。空間（くうかん）における距離（きょり）公式（こうしき）は、 z座標（ざひょう）の差（さ）の二（に）乗（じょう）を加（くわ）えることによる平面（へいめん）公式（こうしき）の自然（しぜん）な拡張（かくちょう）です。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 空間（くうかん）の座標（ざひょう）Tọa độ trong không gian

    Bộ ba số (x, y, z) xác định vị trí duy nhất của một điểm trong không gian ba chiều.

    3次元（じげん）空間（くうかん）における点（てん）の位置（いち）を一意（いちい）に決定（けってい）する3つの数（かず）の組（くみ） (x, y, z)。

  • 座標（ざひょう）軸（じく）Trục tọa độ

    Các đường thẳng vuông góc từng đôi một Ox, Oy, Oz dùng làm mốc đo tọa độ.

    座標（ざひょう）を測定（そくてい）するための基準（きじゅん）となる、互（たが）いに直交（ちょっこう）する直線（ちょくせん） Ox, Oy, Oz。

  • 座標（ざひょう）平面（へいめん）Mặt phẳng tọa độ

    Các mặt phẳng xy, yz, zx được tạo bởi từng cặp trục tọa độ.

    各（かく）座標（ざひょう）軸（じく）のペアによって形成（けいせい）される平面（へいめん） xy, yz, zx。

  • 2点（てん）間（かん）の距離（きょり）Khoảng cách giữa hai điểm

    Độ dài đoạn thẳng nối hai điểm P và Q trong không gian.

    空間（くうかん）内（ない）の2点（てん）PとQを結（むす）ぶ線分（せんぶん）の長（なが）さ。

  • 対称（たいしょう）点（てん）Điểm đối xứng

    Điểm đối xứng với một điểm qua gốc tọa độ, trục tọa độ hoặc mặt phẳng tọa độ.

    原点（げんてん）、座標（ざひょう）軸（じく）、または座標（ざひょう）平面（へいめん）に関（かん）してある点（てん）と対称（たいしょう）な位置（いち）にある点（てん）。

  • 空間（くうかん）のベクトルVectơ trong không gian

    Đối tượng có hướng và độ dài trong không gian ba chiều, biểu diễn bởi ba thành phần.

    3つの成分（せいぶん）で表（あらわ）される、3次元（じげん）空間（くうかん）における向（む）きと大（おお）きさを持（も）つ量（りょう）。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    空間（くうかん）における点（てん）の座標（ざひょう）と座標（ざひょう）軸（じく）の特定（とくてい）

    Xác định tọa độ điểm và các trục tọa độ trong không gian

    Biểu diễn vị trí điểm trong hệ tọa độ Oxyz với 3 trục tọa độ vuông góc. Tọa độ của điểm cho biết khoảng cách tương đối đến các mặt phẳng tọa độ.

    互（たが）いに直交（ちょっこう）する3つの座標（ざひょう）軸（じく）を持（も）つOxyz座標（ざひょう）系（けい）で点（てん）の位置（いち）を表（あらわ）します。点（てん）の座標（ざひょう）は、各（かく）座標（ざひょう）平面（へいめん）からの相対（そうたい）的（てき）な距離（きょり）を示（しめ）します。

  2. 02
    ベクトルの大（おお）きさおよび2点（てん）間（かん）の距離（きょり）の計算（けいさん）

    Tính độ dài vectơ và khoảng cách giữa hai điểm

    Sử dụng công thức căn bậc hai tổng bình phương các hiệu tọa độ để tính độ dài đoạn thẳng PQ hoặc độ dài vectơ |\(\vec{a}\)|.

    座標（ざひょう）の差（さ）の二（に）乗（じょう）和（わ）の平方（へいほう）根（ね）の公式（こうしき）を使用（しよう）して、線分（せんぶん）PQの長（なが）さまたはベクトルの大（おお）きさ |\(\vec{a}\)| を計算（けいさん）します。

  3. 03
    基底（きてい）ベクトルによる空間（くうかん）ベクトルの分解（ぶんかい）

    Phân tích vectơ trong không gian theo các vectơ gốc

    Mọi vectơ trong không gian đều biểu diễn duy nhất qua dạng \(\vec{p}\) = s\(\vec{a}\) + t\(\vec{b}\) + u\(\vec{c}\) với các hệ số s, t, u.

    空間（くうかん）内（ない）のすべてのベクトルは、係数（けいすう） s, t, u を用（もち）いて \(\vec{p}\) = s\(\vec{a}\) + t\(\vec{b}\) + u\(\vec{c}\) の形（かたち）で一意（いちい）に表（あらわ）されます。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Quên bình phương các hiệu tọa độ hoặc tính sai dấu âm khi áp dụng công thức khoảng cách PQ.距離（きょり）公式（こうしき）PQを適用（てきよう）する際（さい）、座標（ざひょう）の差（さ）の二（に）乗（じょう）を忘（わす）れたり、負（ふ）の符号（ふごう）の計算（けいさん）を誤（あやま）ったりすること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Bình phương của một số âm luôn là số dương, ví dụ \((-2)^{2} = 4\), do đó tổng trong căn luôn lớn hơn hoặc bằng 0.負（ふ）の数（かず）の二（に）乗（じょう）は常（つね）に正（せい）の数（かず）（例（れい）: \((-2)^{2} = 4\)）となるため、根号（こんごう）内（ない）の和（わ）は常（つね）に0以上（いじょう）になります。

Nhầm lẫn đổi dấu cả 3 tọa độ khi lấy điểm đối xứng qua một mặt phẳng tọa độ như mặt phẳng xy.xy平面（へいめん）のような座標（ざひょう）平面（へいめん）に関（かん）して対称（たいしょう）な数（かず）をとる際（さい）、3つの座標（ざひょう）すべての符号（ふごう）を変（か）えてしまうこと。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Khi lấy đối xứng qua mặt phẳng xy, chỉ có tọa độ z đổi dấu thành -z, còn tọa độ x và y giữ nguyên.xy平面（へいめん）に関（かん）して対称（たいしょう）な点（てん）を求（もと）めるとき、z座標（ざひょう）のみが -z に変化（へんか）し、x座標（ざひょう）とy座標（ざひょう）はそのまま保持（ほじ）されます。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Khoảng cách giữa hai điểm được tính bằng căn bậc hai tổng bình phương hiệu ba tọa độ.2点（てん）間（かん）の距離（きょり）は、3つの座標（ざひょう）の差（さ）の二（に）乗（じょう）和（わ）の平方（へいほう）根（ね）として計算（けいさん）されます。
  • Điểm đối xứng qua mặt phẳng tọa độ nào thì giữ nguyên tọa độ thuộc mặt phẳng đó và đổi dấu tọa độ còn lại.座標（ざひょう）平面（へいめん）に関（かん）して対称（たいしょう）な点（てん）は、その平面（へいめん）に属（ぞく）する座標（ざひょう）を保持（ほじ）し、残（のこ）りの座標（ざひょう）の符号（ふごう）を反転（はんてん）させます。
  • Độ dài vectơ trong không gian bằng căn bậc hai tổng bình phương các thành phần tọa độ của nó.空間（くうかん）ベクトルの大（おお）きさは、その座標（ざひょう）成分（せいぶん）の二（に）乗（じょう）和（わ）の平方（へいほう）根（ね）に等（ひと）しくなります。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

PQ = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}

Công thức tính khoảng cách giữa hai điểm P(x1, y1, z1) và Q(x2, y2, z2) trong không gian.

空間（くうかん）における2点（てん） P(x1, y1, z1) と Q(x2, y2, z2) の間（あいだ）の距離（きょり）を計算（けいさん）する公式（こうしき）。

OP = \sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2}

Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến điểm P(x1, y1, z1).

原点（げんてん）Oから点（てん） P(x1, y1, z1) までの距離（きょり）。

\vec{p} = s\vec{a} + t\vec{b} + u\vec{c}

Biểu diễn một vectơ trong không gian qua tổ hợp tuyến tính của ba vectơ không đồng phẳng.

共（きょう）面（めん）でない3つのベクトルの線形（せんけい）結合（けつごう）による空間（くうかん）ベクトルの表示（ひょうじ）。

|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}

Độ dài của vectơ \(\vec{a}\) với các thành phần tọa độ (a1, a2, a3).

成分（せいぶん） (a1, a2, a3) を持（も）つベクトル \(\vec{a}\) の大（おお）きさ。

EJU 2026 · MATH.14.3

Tọa độ trong không gian mở rộng hệ tọa độ mặt phẳng lên ba chiều với trục cao độ z. Việc tính khoảng cách và độ dài vectơ dựa trên định lý Pitago trong không gian ba chiều.

空間（くうかん）の座標（ざひょう）は、高（たか）さ軸（じく）zを追加（ついか）して平面（へいめん）座標（ざひょう）系（けい）を3次元（じげん）に拡張（かくちょう）したものです。距離（きょり）やベクトルの大（おお）きさと計算（けいさん）は、3次元（じげん）のピタゴラスの定理（ていり）に基（もと）づいています。

空間（くうかん）の座標（ざひょう）
空間の座標座標軸座標平面2点間の距離