Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学II・B · Toán II · B

Định lý dư剰余（じょうよ）の定理（ていり）

Công thức公式

P(x) = (x-\alpha)Q(x) + R
R = P(\alpha)
R = P\left(-\frac{b}{a}\right)
P(\alpha)=0 \iff P(x)=(x-\alpha)Q(x)

Ví dụ例題

Tìm số dư R khi chia đa thức \(P(x) = x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + 1\) cho x - 2.

整式（せいしき） \(P(x) = x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + 1\) を x - 2 で割（わ）った余（あま）り R を求（もと）めなさい。

  1. Áp dụng định lý dư: số dư R = P(2).剰余（じょうよ）の定理（ていり）を適用（てきよう）します: 余（あま）り R = P(2)。
  2. Tính giá trị: \(P(2) = 2^{3} - 2\cdot (2^{2}) + 3\cdot 2 + 1 = 8 - 8 + 6 + 1\).値（あたい）を計算（けいさん）します: \(P(2) = 2^{3} - 2\cdot (2^{2}) + 3\cdot 2 + 1 = 8 - 8 + 6 + 1\)。
  3. Thu gọn kết quả được R = 7.計算（けいさん）をまとめると R = 7 となります。
Số dư của phép chia bằng 7.除法（じょほう）の余（あま）りは 7 です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Tìm số dư khi chia \(P(x) = x^{3} - 3 x + 4\) cho x - 1.\(P(x) = x^{3} - 3 x + 4\) を x - 1 で割（わ）った余（あま）りを求（もと）めなさい。

2. Tìm giá trị của a để \(P(x) = x^{3} + ax - 6\) chia hết cho x - 2.\(P(x) = x^{3} + ax - 6\) が x - 2 で割り切（わりき）れるような a の値（あたい）を求（もと）めなさい。

3. Tính số dư khi chia \(P(x) = 2 x^{2} - 5 x + 3\) cho 2x - 1.\(P(x) = 2 x^{2} - 5 x + 3\) を 2x - 1 で割（わ）った余（あま）りを求（もと）めなさい。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.8.2. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 2 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.8.2。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）2区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Tính số dư khi chia đa thức P(x) cho nhị thức bậc nhất \(x - \alpha\).整式（せいしき） P(x) を 1次式（じしき） \(x - \alpha\) で割（わ）った余（あま）りを計算（けいさん）できる。
  2. Áp dụng định lý nhân tử để tìm nghiệm và phân tích đa thức.因数（いんすう）定理（ていり）を応用（おうよう）して解（かい）を求（もと）め整式（せいしき）を因数（いんすう）分解（ぶんかい）できる。
Trực giác · イメージ

Số dư chính là giá trị của đa thức余（あま）りは整式（せいしき）の値（あたい）そのもの

Khi chia P(x) cho \(x - \alpha\), thay \(x = \alpha\) vào P(x) làm triệt tiêu thương Q(x) và cho ngay kết quả số dư R.

P(x) を \(x - \alpha\) で割（わ）る際（さい）、\(x = \alpha\) を代入（だいにゅう）すると商（しょう） Q(x) が消去（しょうきょ）され、余（あま）り R が直接（ちょくせつ）得（え）られます。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 整式（せいしき）の表（あらわ）し方（かた）biểu diễn đa thức

    Đa thức P(x) khi chia cho D(x) được biểu diễn dưới dạng P(x) = D(x)Q(x) + R.

    整式（せいしき） P(x) を D(x) で割（わ）ったとき P(x) = D(x)Q(x) + R と表（あらわ）します。

  • 剰余（じょうよ）の定理（ていり）định lý dư

    Số dư khi chia đa thức P(x) cho \(x - \alpha\) bằng giá trị \(P(\alpha)\).

    整式（せいしき） P(x) を \(x - \alpha\) で割（わ）った余（あま）りは \(P(\alpha)\) の値（あたい）に等（ひと）しくなります。

  • 因数（いんすう）定理（ていり）định lý nhân tử

    Đa thức P(x) chia hết cho \(x - \alpha\) khi và chỉ khi \(P(\alpha) = 0\).

    整式（せいしき） P(x) が \(x - \alpha\) を因数（いんすう）にもつのは \(P(\alpha) = 0\) のときに限（かぎ）られます。

  • 組立（くみたて）除法（じょほう）phương pháp Horner

    Thuật toán tính nhanh thương và số dư khi chia đa thức cho nhị thức bậc nhất.

    整式（せいしき）を1次式（じしき）で割（わ）る際（さい）の商（しょう）と余（あま）りを迅速（じんそく）に計算（けいさん）するアルゴリズムです。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    整式（せいしき）の除法（じょほう）の表現（ひょうげん）

    Biểu diễn phép chia đa thức

    Viết phép chia ở dạng \(P(x) = (x - \alpha) Q(x) + R\) với R là số dư hằng số.

    除法（じょほう）を \(P(x) = (x - \alpha) Q(x) + R\) の形（かたち）で表（あらわ）します。ここでRは定数（ていすう）の余（あま）りです。

  2. 02
    剰余（じょうよ）の定理（ていり）の適用（てきよう）

    Áp dụng định lý dư

    Thay \(x = \alpha\) để thu được \(R = P(\alpha)\). Nếu chia cho ax+b thì thay x = -b/a.

    \(x = \alpha\) を代入（だいにゅう）して \(R = P(\alpha)\) を得（え）ます。ax+b で割（わ）る場合（ばあい）は x = -b/a を代入（だいにゅう）します。

  3. 03
    因数（いんすう）定理（ていり）による割り切（わりき）れの検証（けんしょう）

    Kiểm tra yếu tố chia hết bằng định lý nhân tử

    Nếu \(P(\alpha) = 0\) thì \(x - \alpha\) là một nhân tử của P(x).

    \(P(\alpha) = 0\) であれば \(x - \alpha\) は P(x) の因数（いんすう）となります。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Thay nhầm dấu \(\alpha\) khi tính \(P(\alpha)\) (thay -\(\alpha\) thay vì \(\alpha\)).\(P(\alpha)\) を計算（けいさん）する際（さい）に \(\alpha\) の符号（ふごう）を間違（まちが）えて代入（だいにゅう）する。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Khi chia cho \(x - \alpha\), giá trị cần thay vào P(x) là +\(\alpha\).\(x - \alpha\) で割（わ）る場合（ばあい）、P(x) に代入（だいにゅう）する値（あたい）は +\(\alpha\) です。

Nhầm lẫn giữa số dư R và nghiệm của đa thức.余（あま）り R と整式（せいしき）の解（かい）を混同（こんどう）してしまう。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Số dư \(R = P(\alpha)\) chỉ bằng 0 khi \(x - \alpha\) là nhân tử chia hết.余（あま）り \(R = P(\alpha)\) が 0 になるのは \(x - \alpha\) が割り切（わりき）れる因数（いんすう）のときのみです。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Số dư khi chia P(x) cho \(x - \alpha\) chính là giá trị \(P(\alpha)\).P(x) を \(x - \alpha\) で割（わ）った余（あま）りは \(P(\alpha)\) の値（あたい）です。
  • Nếu \(P(\alpha) = 0\) thì \(x - \alpha\) là nhân tử của đa thức P(x).\(P(\alpha) = 0\) ならば \(x - \alpha\) は P(x) の因数（いんすう）です。
  • Định lý dư giúp tính số dư trực tiếp mà không cần làm phép chia.剰余（じょうよ）の定理（ていり）により割り算（わりざん）を行（おこな）わずに直接（ちょくせつ）余（あま）りを計算（けいさん）できます。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

P(x) = (x-\alpha)Q(x) + R

Công thức biểu diễn đa thức qua thương và số dư.

整式（せいしき）を商（しょう）と余（あま）りを用（もち）いて表（あらわ）す公式（こうしき）です。

R = P(\alpha)

Số dư khi chia P(x) cho \(x - \alpha\) bằng \(P(\alpha)\).

P(x) を \(x - \alpha\) で割（わ）った余（あま）りは \(P(\alpha)\) です。

R = P\left(-\frac{b}{a}\right)

Số dư khi chia P(x) cho ax + b bằng P(-b/a).

P(x) を ax + b で割（わ）った余（あま）りは P(-b/a) です。

P(\alpha)=0 \iff P(x)=(x-\alpha)Q(x)

Điều kiện cần và đủ để \(x - \alpha\) là nhân tử của P(x).

\(x - \alpha\) が P(x) の因数（いんすう）であるための必要（ひつよう）十（じゅう）分（ふん）条件（じょうけん）です。

EJU 2026 · MATH.8.2

Bài học giải thích định lý dư và định lý nhân tử khi chia đa thức. Kĩ thuật này giúp xác định số dư và phân tích đa thức thành nhân tử nhanh chóng.

本節（ほんせつ）では整式（せいしき）の除法（じょほう）における剰余（じょうよ）の定理（ていり）と因数（いんすう）定理（ていり）を解説（かいせつ）します。この手法（しゅほう）により余（あま）りの特定（とくてい）や因数（いんすう）分解（ぶんかい）が迅速（じんそく）に行（おこな）えます。

剰余（じょうよ）の定理（ていり）
整式の表し方剰余の定理因数定理組立除法