Định lý nhị thức Phần 1二項定理 第1部
Công thức公式
Ví dụ例題
Khai triển biểu thức \((x + 2)^{3}\) bằng Định lý nhị thức.
二項定理を用いて \((x + 2)^{3}\) を展開しなさい。
- Áp dụng công thức với \(n = 3\), \(a = x\), \(b = 2\): \((x + 2)^{3} = \binom{3}{0} x^{3} + \binom{3}{1} x^{2} (2) + \binom{3}{2} x (2^{2}) + \binom{3}{3} (2^{3})\).二項定理の公式に \(n = 3\), \(a = x\), \(b = 2\) を代入します：\((x + 2)^{3} = \binom{3}{0} x^{3} + \binom{3}{1} x^{2} (2) + \binom{3}{2} x (2^{2}) + \binom{3}{3} (2^{3})\)。
- Tính các hệ số: \(\binom{3}{0} = 1\), \(\binom{3}{1} = 3\), \(\binom{3}{2} = 3\), \(\binom{3}{3} = 1\).係数を計算すると \(\binom{3}{0} = 1\), \(\binom{3}{1} = 3\), \(\binom{3}{2} = 3\), \(\binom{3}{3} = 1\) となります。
- Thu gọn biểu thức ta được \(x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8\).式を整理すると \(x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8\) となります。
Khai triển hoàn chỉnh là \(x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8\).展開結果は \(x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8\) です。
3 câu kiểm tra確認問題 3問
1. Giá trị của hệ số \(\binom{4}{2}\) là bao nhiêu?\(\binom{4}{2}\) の値はいくらですか。
2. Tìm hệ số của \(x^{2}\) trong khai triển nhị thức \((x + 1)^{4}\).\((x + 1)^{4}\) の展開式における \(x^{2}\) の係数を求めなさい。
3. Theo công thức cộng tam giác Pascal, \(\binom{5}{3}\) bằng biểu thức nào sau đây?パスカルの三角形の加算公式より、\(\binom{5}{3}\) に等しいものはどれですか。
Self-study exercises with solutionsTự luyện có lời giải解説付き自習問題
Work through each problem on paper before opening the solution. These four Trilu-authored exercises progress from basic skills to application.
Tự trình bày trên giấy trước khi mở lời giải. Bốn bài do Trí Lữ biên soạn, từ cơ bản đến vận dụng.
解答を見る前に、自分でノートに解きましょう。Trí Lữ作成の基礎から応用までの4問です。
Exercise 1Bài tự luyện 1自習問題 1
Calculate the value of \(\binom{6}{2}\) using Pascal's triangle addition formula \(\binom{n}{r} = \binom{n-1}{r-1} + \binom{n-1}{r}\), and explain the mathematical meaning of the combination represented by \(\binom{6}{2}\).
Tính giá trị của \(\binom{6}{2}\) bằng cách sử dụng công thức cộng tam giác Pascal \(\binom{n}{r} = \binom{n-1}{r-1} + \binom{n-1}{r}\), đồng thời giải thích ý nghĩa tổ hợp của ký hiệu \(\binom{6}{2}\).
パスカルの三角形の加算公式 \(\binom{n}{r} = \binom{n-1}{r-1} + \binom{n-1}{r}\) を用いて \(\binom{6}{2}\) の値を計算し、さらに \(\binom{6}{2}\) が表す組合せの数学的意味を説明しなさい。
HintGợi ýヒント
Calculate \(\binom{6}{2}\) as the sum of the binomial coefficients \(\binom{5}{1} = 5\) and \(\binom{5}{2} = 10\) in row 5 of Pascal's triangle. The combinatoric meaning is the number of ways to choose 2 items from 6 distinct items.
Sử dụng công thức cộng \(\binom{6}{2} = \binom{5}{1} + \binom{5}{2}\) với \(\binom{5}{1} = 5\) và \(\binom{5}{2} = 10\). Ý nghĩa tổ hợp là số cách chọn 2 phần tử từ 6 phần tử phân biệt.
パスカルの三角形の第5行における二項係数 \(\binom{5}{1} = 5\) と \(\binom{5}{2} = 10\) の和として \(\binom{6}{2}\) を求めます。組合せの意味は異なる6個から2個を選ぶ方法の数です。
Step-by-step solutionLời giải từng bước解答と解説
Identify the binomial coefficients in row \(n = 5\) of Pascal's triangle: \(\binom{5}{1} = 5\) and \(\binom{5}{2} = 10\).
Xác định các hệ số nhị thức ở hàng \(n = 5\) của tam giác Pascal: \(\binom{5}{1} = 5\) và \(\binom{5}{2} = 10\).
ステップ1: パスカルの三角形の第5行の係数 \(\binom{5}{1} = 5\) および \(\binom{5}{2} = 10\) を用意します。
Apply Pascal's addition formula with \(n = 6\) and \(r = 2\): \(\binom{6}{2} = \binom{5}{1} + \binom{5}{2} = 5 + 10 = 15\).
Áp dụng công thức cộng tam giác Pascal với \(n = 6, r = 2\): \(\binom{6}{2} = \binom{5}{1} + \binom{5}{2} = 5 + 10 = 15\).
ステップ2: 加算公式 \(\binom{6}{2} = \binom{5}{1} + \binom{5}{2}\) に代入して \(5 + 10 = 15\) と計算します。
Explain the combinatorial meaning: \(\binom{6}{2}\) represents the total number of ways to choose 2 items from a set of 6 distinct items without regard to order.
Giải thích ý nghĩa tổ hợp: \(\binom{6}{2}\) biểu thị số cách chọn không phân biệt thứ tự 2 phần tử từ một tập hợp gồm 6 phần tử phân biệt.
ステップ3: 組合せの意味の解釈：\(\binom{6}{2}\) は、互いに異なる6個の要素から順序を考慮せずに2個を選ぶ組合せの総数を表します。
AnswerĐáp án答え
15 (Explanation: The number of combinations of choosing 2 items from 6 distinct items is \(\binom{6}{2} = 15\))
15 (Giải thích: Số cách chọn 2 phần tử từ 6 phần tử phân biệt là \(\binom{6}{2} = 15\))
15（説明：異なる6個のものから2個を選ぶ組合せの数は \(\binom{6}{2} = 15\)）
Check your workTự kiểm tra確認
Independent verification using the factorial formula: \(\binom{6}{2} = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15\). The result perfectly matches 15 obtained from the addition formula.
Kiểm tra độc lập bằng công thức giai thừa: \(\binom{6}{2} = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15\). Kết quả 15 hoàn toàn trùng khớp.
階乗公式で独立に検証：\(\binom{6}{2} = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15\)。加算公式による結果 15 と一致します。
Common mistakeLỗi cần tránh注意点
Confusing the addition formula \(\binom{5}{1} + \binom{5}{2}\) with multiplication, or confusing the combination coefficient \(\binom{5}{2} = 10\) with permutations \(P(5,2) = 20\).
Nhầm công thức cộng thành phép nhân, hoặc nhầm hệ số tổ hợp \(\binom{5}{2} = 10\) với chỉnh hợp \(A_5^2 = 20\).
加算公式 \(\binom{5}{1} + \binom{5}{2}\) を掛け算と間違えたり、\(\binom{5}{2}\) を順列 \(P(5,2) = 20\) と混同して誤った値を用いること。
Exercise 2Bài tự luyện 2自習問題 2
Find the coefficient of \(x^{2}\) in the binomial expansion of \((x + 3)^{4}\). Clearly distinguish between the 'term containing \(x^{2}\)' and the 'coefficient of \(x^{2}\)'.
Tìm hệ số của số hạng chứa \(x^{2}\) trong khai triển nhị thức \((x + 3)^{4}\). Phân biệt rõ giữa 'số hạng chứa \(x^{2}\)' và 'hệ số của \(x^{2}\)'.
二項展開 \((x + 3)^{4}\) における \(x^{2}\) の係数を求めなさい。また、「\(x^{2}\) を含む項」と「\(x^{2}\) の係数」を明確に区別して説明しなさい。
HintGợi ýヒント
Write the general term of the binomial expansion as \(\binom{4}{r} x^{4-r} 3^{r}\), set the exponent \(4 - r = 2\) (so \(r = 2\)), and note that the coefficient is the constant multiplying \(x^{2}\).
Viết số hạng tổng quát \(\binom{4}{r} x^{4-r} 3^{r}\), cho số mũ \(4 - r = 2 \Rightarrow r = 2\). Hệ số là hằng số đứng trước \(x^{2}\).
二項定理の一般項 \(\binom{4}{r} x^{4-r} 3^{r}\) において \(4 - r = 2\)（すなわち \(r = 2\)）とし、係数は \(x^{2}\) に掛かる定数部分であることを利用します。
Step-by-step solutionLời giải từng bước解答と解説
Write the general term of \((x + 3)^{4}\) using the binomial theorem: \(T_{r+1} = \binom{4}{r} x^{4-r} 3^{r}\) for \(0 \le r \le 4\).
Viết số hạng tổng quát của khai triển \((x + 3)^{4}\): \(T_{r+1} = \binom{4}{r} x^{4-r} 3^{r}\) với \(0 \le r \le 4\).
ステップ1: 二項定理により \((x + 3)^{4}\) の一般項を書き出します：\(T_{r+1} = \binom{4}{r} x^{4-r} 3^{r}\)（\(0 \le r \le 4\)）。
Set the exponent of \(x\) to 2: \(4 - r = 2 \implies r = 2\).
Cho số mũ của \(x\) bằng 2: \(4 - r = 2 \Rightarrow r = 2\).
ステップ2: \(x\) の指数が 2 となる条件より \(4 - r = 2 \Rightarrow r = 2\) を得ます。
Substitute \(r = 2\) into the general term: \(T_{3} = \binom{4}{2} x^{2} 3^{2} = 6 \times x^{2} \times 9 = 54 x^{2}\).
Thay \(r = 2\) vào số hạng tổng quát: \(T_{3} = \binom{4}{2} x^{2} 3^{2} = 6 \times x^{2} \times 9 = 54 x^{2}\).
ステップ3: \(r = 2\) を一般項に代入して項を計算します：\(T_{3} = \binom{4}{2} x^{2} 3^{2} = 6 \times x^{2} \times 9 = 54 x^{2}\)。
Clearly distinguish between the term and the coefficient: The full 'term' containing \(x^{2}\) is \(54 x^{2}\), whereas the numerical 'coefficient' is 54.
Phân biệt rõ: Số hạng đầy đủ chứa \(x^{2}\) là \(54 x^{2}\), còn hệ số của \(x^{2}\) là giá trị số \(54\).
ステップ4: 項と係数を明確に区別します。\(x^{2}\) を含む「項」は \(54 x^{2}\) であり、その数値部分である「係数」は 54 です。
AnswerĐáp án答え
54 (The term is \(54 x^{2}\), and the coefficient is 54)
54 (Số hạng là \(54 x^{2}\), hệ số là 54)
54（項は \(54 x^{2}\)、係数は 54）
Check your workTự kiểm tra確認
Verification by direct expansion: \((x+3)^4 = (x^2+6x+9)^2 = x^4 + 12x^3 + 54x^2 + 108x + 81\). The coefficient of \(x^{2}\) is indeed 54.
Khai triển trực tiếp để kiểm tra: \((x+3)^4 = (x^2+6x+9)^2 = x^4 + 12x^3 + 54x^2 + 108x + 81\). Hệ số của \(x^{2}\) chính xác bằng 54.
直接展開で検証：\((x+3)^4 = (x^2+6x+9)^2 = x^4 + 12x^3 + 54x^2 + 108x + 81\)。\(x^{2}\) の係数は 54 で一致します。
Common mistakeLỗi cần tránh注意点
Forgetting to evaluate \(3^{2} = 9\) and answering only with the binomial coefficient \(\binom{4}{2} = 6\), or including the variable to answer \(54 x^{2}\) when asked only for the coefficient.
Quên nhân lũy thừa \(3^{2} = 9\) dẫn đến đáp số sai là 6, hoặc nhầm lẫn viết cả biến \(54 x^{2}\) khi đề bài chỉ hỏi hệ số.
\(3^{2} = 9\) の計算を忘れて二項係数 \(\binom{4}{2} = 6\) のみを答える間違いや、係数を問われているのに変数を含めて \(54 x^{2}\) と答える間違いに注意します。
Exercise 3Bài tự luyện 3自習問題 3
Find the coefficient of \(x^{3}\) in the binomial expansion of \((2x - 1)^{5}\). Show the calculation steps while keeping in mind the distinction between 'term' and 'coefficient'.
Tìm hệ số của số hạng chứa \(x^{3}\) trong khai triển nhị thức \((2x - 1)^{5}\). Trình bày các bước tính toán và phân biệt rõ giữa 'số hạng' và 'hệ số'.
二項展開 \((2x - 1)^{5}\) における \(x^{3}\) の係数を求めなさい。また、展開式の「項」と「係数」の違いを踏まえて計算過程を示しなさい。
HintGợi ýヒント
The general term is \(T_{r+1} = \binom{5}{r} (2x)^{5-r} (-1)^{r}\). For the \(x^{3}\) term, choose \(5 - r = 3 \implies r = 2\). Pay attention to the sign of \((-1)^{r}\) and the numeric factors.
Số hạng tổng quát là \(T_{r+1} = \binom{5}{r} (2x)^{5-r} (-1)^{r}\). Để có \(x^{3}\), chọn \(5 - r = 3 \Rightarrow r = 2\). Chú ý dấu của \((-1)^{r}\) và các hệ số số học.
一般項 \(T_{r+1} = \binom{5}{r} (2x)^{5-r} (-1)^{r}\) において \(x^{3}\) の項は \(5 - r = 3 \Rightarrow r = 2\) です。負の符号 \((-1)^{r}\) と係数の乗算に注意します。
Step-by-step solutionLời giải từng bước解答と解説
Write the general term of \((2x - 1)^{5}\) using the binomial theorem: \(T_{r+1} = \binom{5}{r} (2x)^{5-r} (-1)^{r}\) for \(0 \le r \le 5\).
Viết số hạng tổng quát của khai triển \((2x - 1)^{5}\): \(T_{r+1} = \binom{5}{r} (2x)^{5-r} (-1)^{r}\) với \(0 \le r \le 5\).
ステップ1: 二項定理により \((2x - 1)^{5}\) の一般項を書き出します：\(T_{r+1} = \binom{5}{r} (2x)^{5-r} (-1)^{r}\)（\(0 \le r \le 5\)）。
Compare exponents to find \(r\) for the \(x^{3}\) term: \(5 - r = 3 \implies r = 2\).
Tìm \(r\) sao cho số mũ của \(x\) bằng 3: \(5 - r = 3 \Rightarrow r = 2\).
ステップ2: \(x^{3}\) の項を得るために指数を比較します：\(5 - r = 3 \Rightarrow r = 2\)。
Substitute \(r = 2\) into the general term: \(T_{3} = \binom{5}{2} (2x)^{3} (-1)^{2} = 10 \times (8 x^{3}) \times 1 = 80 x^{3}\).
Thay \(r = 2\) vào số hạng tổng quát: \(T_{3} = \binom{5}{2} (2x)^{3} (-1)^{2} = 10 \times (8 x^{3}) \times 1 = 80 x^{3}\).
ステップ3: \(r = 2\) を代入して項を計算します：\(T_{3} = \binom{5}{2} (2x)^{3} (-1)^{2} = 10 \times (8 x^{3}) \times 1 = 80 x^{3}\)。
Distinguish between term and coefficient: The 'term' containing \(x^{3}\) is \(80 x^{3}\), while its 'coefficient' is the constant 80.
Phân biệt rõ: Số hạng chứa \(x^{3}\) là \(80 x^{3}\), còn hệ số của \(x^{3}\) là hằng số 80.
ステップ4: 項と係数を区別します。\(x^{3}\) を含む「項」は \(80 x^{3}\) であり、その「係数」は定数 80 です。
AnswerĐáp án答え
80 (The term is \(80 x^{3}\), and the coefficient is 80)
80 (Số hạng là \(80 x^{3}\), hệ số là 80)
80（項は \(80 x^{3}\)、係数は 80）
Check your workTự kiểm tra確認
Verification by full expansion: \((2x-1)^5 = 32x^5 - 80x^4 + 80x^3 - 40x^2 + 10x - 1\). The coefficient of \(x^3\) is confirmed to be 80.
Khai triển đầy đủ để kiểm tra: \((2x-1)^5 = 32x^5 - 80x^4 + 80x^3 - 40x^2 + 10x - 1\). Hệ số của \(x^3\) đúng bằng 80.
二項展開の各項を直接確認：\((2x-1)^5 = 32x^5 - 80x^4 + 80x^3 - 40x^2 + 10x - 1\)。\(x^3\) の係数は 80 であることが確認できます。
Common mistakeLỗi cần tránh注意点
Forgetting to compute \(2^3 = 8\), leading to an incorrect coefficient of \(\binom{5}{2} = 10\), or confusing it with the coefficient of the \(x^2\) term (corresponding to \(r=3\), which is -40).
Quên tính lũy thừa \(2^3 = 8\) làm cho kết quả bị thiếu nhân 8, hoặc nhầm sang hệ số của số hạng \(x^2\) (ứng với \(r = 3\) là -40).
\((2x)^3 = 8x^3\) の 8 を掛け忘れて \(\binom{5}{2} = 10\) と答えてしまったり、\(r = 3\) の項（\(-40 x^{2}\)）の係数 -40 と混同すること。
Exercise 4Bài tự luyện 4自習問題 4
Find the coefficient of \(x^{2}\) in the binomial expansion of \((2x - 3)^{4}\). Explain the calculation steps and the difference between the term and its coefficient.
Tìm hệ số của số hạng chứa \(x^{2}\) trong khai triển nhị thức \((2x - 3)^{4}\). Giải thích rõ các bước tính toán và sự khác biệt giữa số hạng và hệ số.
二項展開 \((2x - 3)^{4}\) における \(x^{2}\) の係数を求めなさい。計算過程および項と係数の違いを明確に説明しなさい。
HintGợi ýヒント
Write the general term \(T_{r+1} = \binom{4}{r} (2x)^{4-r} (-3)^{r}\). Determine \(r\) by setting the exponent of \(x\) to 2, i.e., \(4 - r = 2\).
Viết số hạng tổng quát \(T_{r+1} = \binom{4}{r} (2x)^{4-r} (-3)^{r}\). Tìm \(r\) sao cho số mũ của \(x\) bằng 2, tức là \(4 - r = 2\).
一般項 \(T_{r+1} = \binom{4}{r} (2x)^{4-r} (-3)^{r}\) を書き出し、\(x\) の指数が 2 となる \(4 - r = 2\) から \(r\) の値を求めます。
Step-by-step solutionLời giải từng bước解答と解説
Write the general term of the expansion \((2x - 3)^{4}\): \(T_{r+1} = \binom{4}{r} (2x)^{4-r} (-3)^{r}\) for \(0 \le r \le 4\).
Viết số hạng tổng quát của khai triển \((2x - 3)^{4}\): \(T_{r+1} = \binom{4}{r} (2x)^{4-r} (-3)^{r}\) với \(0 \le r \le 4\).
二項定理により \((2x - 3)^{4}\) の一般項を書き出します：\(T_{r+1} = \binom{4}{r} (2x)^{4-r} (-3)^{r}\)（\(0 \le r \le 4\)）。
To find the term containing \(x^{2}\), set the exponent \(4 - r = 2 \Rightarrow r = 2\).
Để tìm số hạng chứa \(x^{2}\), ta cho số mũ \(4 - r = 2 \Rightarrow r = 2\).
\(x^{2}\) の項を得るために指数の条件を求めます：\(4 - r = 2 \Rightarrow r = 2\)。
Substitute \(r = 2\) into the general term: \(T_{3} = \binom{4}{2} (2x)^{2} (-3)^{2} = 6 \times (4x^{2}) \times 9 = 216 x^{2}\).
Thay \(r = 2\) vào số hạng tổng quát: \(T_{3} = \binom{4}{2} (2x)^{2} (-3)^{2} = 6 \times (4x^{2}) \times 9 = 216 x^{2}\).
\(r = 2\) を一般項に代入して計算します：\(T_{3} = \binom{4}{2} (2x)^{2} (-3)^{2} = 6 \times (4x^{2}) \times 9 = 216 x^{2}\)。
The term containing \(x^{2}\) is \(216 x^{2}\), whereas the coefficient of \(x^{2}\) is the numeric value 216.
Số hạng chứa \(x^{2}\) là \(216 x^{2}\), còn hệ số của \(x^{2}\) là giá trị số \(216\).
\(x^{2}\) を含む項は \(216 x^{2}\) であり、その係数は数値部分の 216 です。
AnswerĐáp án答え
216 (The term is \(216 x^{2}\), and the coefficient is 216)
216 (Số hạng là \(216 x^{2}\), hệ số là 216)
216（項は \(216 x^{2}\)、係数は 216）
Check your workTự kiểm tra確認
Verification by direct expansion: \((2x - 3)^{4} = 16x^{4} - 96x^{3} + 216x^{2} - 216x + 81\). The coefficient of \(x^{2}\) is confirmed to be 216.
Kiểm tra bằng khai triển trực tiếp: \((2x - 3)^{4} = 16x^{4} - 96x^{3} + 216x^{2} - 216x + 81\). Hệ số của \(x^{2}\) đúng bằng 216.
直接展開による確認: \((2x - 3)^{4} = 16x^{4} - 96x^{3} + 216x^{2} - 216x + 81\) となり、\(x^{2}\) の係数は 216 で一致します。
Common mistakeLỗi cần tránh注意点
Be careful with powers of coefficients and negative signs: \(2^{2} = 4\) and \((-3)^{2} = 9\). Avoid omitting the power of 2 or making a sign error.
Chú ý tính lũy thừa của cả hệ số và dấu: \((2)^{2} = 4\) và \((-3)^{2} = 9\). Tránh quên bình phương 2 hoặc nhầm dấu âm của \((-3)^{2}\).
係数と符号の乗算に注意し、\(2^{2} = 4\) や \((-3)^{2} = 9\) の計算漏れや符号ミスを防ぎます。
Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿ったTrí Lữの新規教材 · 非公開書籍資料は転載していません