Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学II・B · Toán II · B

Định lý nhị thức Phần 2二項定理（にこうていり） 第（だい）2部（ぶ）

Công thức公式

(ab)^n=a^n b^n
\frac{n!}{p!q!r!}
_nC_0+_nC_1+_nC_2+\dots+_nC_n=2^n
\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}\binom{n}{2k}=\sum_{k=0}^{\lfloor(n-1)/2\rfloor}\binom{n}{2k+1}=2^{n-1}\quad(n\ge1)

Ví dụ例題

Tìm hệ số của \(x^{3}\) trong khai triển \((2 x + 1)^{5}\).

\((2 x + 1)^{5}\) の展開（てんかい）式（しき）における \(x^{3}\) の係数（けいすう）を求（もと）めなさい。

  1. Số hạng tổng quát là \(\binom{5}{r}\cdot (2 x)^{r}\cdot 1^{5 - r} = \binom{5}{r}\cdot 2^{r}\cdot x^{r}\).一般（いっぱん）項（こう）は \(\binom{5}{r}\cdot (2 x)^{r}\cdot 1^{5 - r} = \binom{5}{r}\cdot 2^{r}\cdot x^{r}\) です。
  2. Để có \(x^{3}\), ta chọn r = 3.\(x^{3}\) の項（こう）を得（え）るために r = 3 とします。
  3. Hệ số cần tìm là \(\binom{5}{3}\cdot 2^{3} = 10\cdot 8 = 80\).求（もと）める係数（けいすう）は \(\binom{5}{3}\cdot 2^{3} = 10\cdot 8 = 80\) となります。
Hệ số của \(x^{3}\) là 80.\(x^{3}\) の係数（けいすう）は 80 です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Tìm hệ số của \(a^{2}\) b c trong khai triển \((a + b + c)^{4}\).\((a + b + c)^{4}\) の展開（てんかい）式（しき）における \(a^{2}\) b c の係数（けいすう）を求（もと）めなさい。

2. Tính tổng \(\binom{3}{0} + \binom{3}{1} + \binom{3}{2} + \binom{3}{3}\).和（わ） \(\binom{3}{0} + \binom{3}{1} + \binom{3}{2} + \binom{3}{3}\) を計算（けいさん）しなさい。

3. Tính giá trị của \(\binom{4}{0} + \binom{4}{2} + \binom{4}{4}\).\(\binom{4}{0} + \binom{4}{2} + \binom{4}{4}\) の値（あたい）を求（もと）めなさい。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.8.1. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 2 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.8.1。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）2区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Xác định hệ số của số hạng bất kỳ bằng số hạng tổng quát.一般（いっぱん）項（こう）を用（もち）いて任意（にんい）の項（こう）の係数（けいすう）を特定（とくてい）する。
  2. Tính hệ số khai triển đa thức bằng công thức n!/(p!q!r!).多項（たこう）定理（ていり）の公式（こうしき） n!/(p!q!r!) を用（もち）いて展開（てんかい）係数（けいすう）を計算（けいさん）する。
  3. Vận dụng tổng các hệ số nhị thức để chứng minh đẳng thức.二項係数（にこうけいすう）の和（わ）の性質（せいしつ）を利用（りよう）して等式（とうしき）を証明（しょうめい）する。
Trực giác · イメージ

Tìm số hạng cụ thể và mở rộng đa thức /特定（とくてい）の項（こう）の抽出（ちゅうしゅつ）と多項（たこう）展開（てんかい）

Không cần khai triển toàn bộ, ta có thể dùng số hạng tổng quát để tìm chính xác số hạng cần tìm.

全体（ぜんたい）展開（てんかい）せずに一般（いっぱん）項（こう）を利用（りよう）して必要（ひつよう）な項（こう）のみを直接（ちょくせつ）抽出（ちゅうしゅつ）できます。多項（たこう）定理（ていり）は3項（こう）以上（いじょう）の式（しき）の展開（てんかい）へ選択（せんたく）の概念（がいねん）を拡張（かくちょう）したものです。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 一般（いっぱん）項（こう）số hạng tổng quát

    Biểu thức tổng quát đại diện cho số hạng thứ r trong khai triển.

    展開（てんかい）式（しき）における第（だい）r項（こう）を表（あらわ）す一般（いっぱん）的（てき）な数式（すうしき）表現（ひょうげん）です。

  • 二項係数（にこうけいすう）hệ số nhị thức

    Hệ số \(\binom{n}{r}\) đứng trước các số hạng trong khai triển nhị thức.

    二（に）項（こう）展開（てんかい）の各項（かくこう）に現（あらわ）れる係数（けいすう） \(\binom{n}{r}\) のことです。

  • 多項（たこう）定理（ていり）định lý đa thức

    Định lý khai triển lũy thừa của tổng nhiều hơn hai số hạng.

    3つ以上（いじょう）の項（こう）の和（わ）のn乗（のり）を展開（てんかい）するための定理（ていり）です。

  • 整式（せいしき）の除法（じょほう）phép chia đa thức

    Phép chia một đa thức cho một đa thức khác để tìm thương và dư.

    多項（たこう）式（しき）を別（べつ）の多項（たこう）式（しき）で割（わ）って商（しょう）と余（あま）りを求（もと）める計算（けいさん）です。

  • 商（しょう）thương

    Kết quả thu được sau khi thực hiện phép chia đa thức.

    整式（せいしき）の除法（じょほう）において得（え）られる割（わ）られた結果（けっか）の式（しき）です。

  • 余（あま）りsố dư

    Phần còn lại sau phép chia có bậc nhỏ hơn đa thức chia.

    除法（じょほう）において割り切（わりき）れずに残（のこ）る、除（じょ）式（しき）より次数（じすう）の低（ひく）い式（しき）です。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1: 一般（いっぱん）項（こう）を設定（せってい）する

    Bước 1: Xác định số hạng tổng quát /

    Viết số hạng tổng quát \(\binom{n}{r}\cdot a^{n - r}\cdot b^{r}\) để phân tích số mũ của biến.

    一般（いっぱん）項（こう） \(\binom{n}{r}\cdot a^{n - r}\cdot b^{r}\) を書き出（かきだ）し、指数（しすう）の条件（じょうけん）を分析（ぶんせき）します。

  2. 02
    ステップ2: 指数（しすう）を目的（もくてき）の値（あたい）と等（ひと）しく置（お）く

    Bước 2: Cho số mũ bằng giá trị yêu cầu /

    Giải phương trình tìm r ứng với số mũ cần tìm hệ số.

    求（もと）めたい項（こう）の次数（じすう）に合（あ）わせて r の値（あたい）を方程（ほうてい）式（しき）から特定（とくてい）します。

  3. 03
    ステップ3: r を代入（だいにゅう）して係数（けいすう）を計算（けいさん）する

    Bước 3: Thay r để tính hệ số /

    Thay giá trị r tìm được vào phần hệ số của số hạng tổng quát.

    得（え）られた r を一般（いっぱん）項（こう）の係数（けいすう）部分（ぶぶん）に代入（だいにゅう）して計算（けいさん）します。

  4. 04
    ステップ4: 3項（こう）の場合（ばあい）は多項（たこう）定理（ていり）を用（もち）いる

    Bước 4: Áp dụng định lý đa thức khi có 3 số hạng /

    Sử dụng công thức n! / (p!q!r!) với p + q + r = n để tìm hệ số.

    p + q + r = n のもとで n! / (p!q!r!) を用（もち）いて係数（けいすう）を求（もと）めます。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Bỏ qua hệ số đi kèm biến (như số 2 trong 2x) khi tính hệ số nhị thức.変数（へんすう）に付（つ）く係数（けいすう）（2xの2など）の計算（けいさん）を忘（わす）れる。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Số hạng tổng quát bao gồm cả \(\binom{n}{r}\) và phần lũy thừa của hệ số đi kèm biến.一般（いっぱん）項（こう）には \(\binom{n}{r}\) だけでなく係数（けいすう）の累乗（るいじょう）部分（ぶぶん）も含（ふく）めて計算（けいさん）します。

Nhầm lẫn điều kiện p + q + r = n trong định lý đa thức.多項（たこう）定理（ていり）において p + q + r = n の条件（じょうけん）を見落（みお）とす。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Luôn kiểm tra tổng các số mũ p, q, r phải đúng bằng n.指数（しすう） p, q, r の和（わ）が常（つね）に n になることを確認（かくにん）します。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Số hạng tổng quát giúp trích xuất chính xác hệ số của số hạng cần tìm.一般（いっぱん）項（こう）により目的（もくてき）の項（こう）の係数（けいすう）を正確（せいかく）に抽出（ちゅうしゅつ）できる。
  • Định lý đa thức dùng công thức n!/(p!q!r!) cho biểu thức nhiều số hạng.多項（たこう）定理（ていり）では n!/(p!q!r!) を用（もち）いて多項（たこう）式（しき）の展開（てんかい）を行（おこな）う。
  • Các tính chất của tổng hệ số nhị thức giúp giải nhanh bài toán đẳng thức.二項係数（にこうけいすう）の和（わ）の性質（せいしつ）を活用（かつよう）して効率（こうりつ）的（てき）に問題（もんだい）を解（と）く。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

(ab)^n=a^n b^n

Quy tắc lũy thừa của một tích.

積（せき）の乗法（じょうほう）公式（こうしき）です。

\frac{n!}{p!q!r!}

Công thức hệ số trong định lý đa thức \((a + b + c)^{n}\).

\((a + b + c)^{n}\) の多項（たこう）展開（てんかい）における係数（けいすう）公式（こうしき）です。

_nC_0+_nC_1+_nC_2+\dots+_nC_n=2^n

Công thức tổng tất cả các hệ số nhị thức bậc n.

すべての二項係数（にこうけいすう）の和（わ）の公式（こうしき）です。

\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}\binom{n}{2k}=\sum_{k=0}^{\lfloor(n-1)/2\rfloor}\binom{n}{2k+1}=2^{n-1}\quad(n\ge1)

Với số nguyên n ≥ 1, tổng các hệ số có chỉ số chẵn và tổng các hệ số có chỉ số lẻ đều bằng 2^(n−1). Cận tổng được chọn riêng để không vượt quá n.

整数（せいすう） n ≥ 1 に対（たい）して、偶（たま）数（すう）番（ばん）目（め）と奇数（きすう）番（ばん）目（め）の二項係数（にこうけいすう）の和（わ）は、それぞれ 2^(n−1) です。各（かく）和（わ）の上限（じょうげん）は、係数（けいすう）の添字（そえじ）が n を超（こ）えないように定（さだ）めます。

EJU 2026 · MATH.8.1

Mở rộng Định lý nhị thức cho số hạng tổng quát, định lý đa thức và ứng dụng vào đẳng thức hệ số.

二項定理（にこうていり）の一般（いっぱん）項（こう）、多項（たこう）定理（ていり）、および係数（けいすう）の等式（とうしき）への応用（おうよう）を学（まな）びます。

二項定理（にこうていり） 第（だい）2部（ぶ）
一般項二項係数多項定理整式の除法