Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学II・B · Toán II · B

Định nghĩa quy nạp của dãy số và công thức truy hồi数列（すうれつ）の帰納（きのう）的（てき）定義（ていぎ）と漸化（ぜんか）式（しき）

Công thức公式

a_{n+1} = a_n + d
a_{n+1} = r a_n

Ví dụ例題

Cho dãy số (a_n) được xác định quy nạp bởi a_1 = 3 và công thức truy hồi a_{n+1} = a_n + 4. Hãy tính giá trị của a_2 và a_3.

数列（すうれつ） (a_n) が a_1 = 3 および漸化（ぜんか）式（しき） a_{n+1} = a_n + 4 で帰納（きのう）的（てき）に定義（ていぎ）されています。a_2 と a_3 の値（あたい）を求（もと）めなさい。

  1. Với n = 1, thay vào công thức truy hồi ta có a_2 = a_1 + 4. Vì a_1 = 3 nên a_2 = 3 + 4 = 7.n=1 のとき、漸化（ぜんか）式（しき）に代入（だいにゅう）すると a_2 = a_1 + 4 となります。a_1 = 3 より a_2 = 3 + 4 = 7 です。
  2. Với n = 2, thay vào công thức truy hồi ta có a_3 = a_2 + 4. Vì a_2 = 7 nên a_3 = 7 + 4 = 11.n=2 のとき、漸化（ぜんか）式（しき）に代入（だいにゅう）すると a_3 = a_2 + 4 となります。a_2 = 7 より a_3 = 7 + 4 = 11 です。
Vậy giá trị của a_2 là 7 và a_3 là 11.したがって、a_2 = 7、a_3 = 11 となります。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Cho dãy số (a_n) có a_1 = 2 và công thức truy hồi a_{n+1} = a_n + 5. Giá trị của a_3 là bao nhiêu?a_1 = 2 および漸化（ぜんか）式（しき） a_{n+1} = a_n + 5 で定義（ていぎ）される数列（すうれつ） (a_n) について、a_3 の値（あたい）はいくらですか。

2. Cho dãy số (a_n) có a_1 = 4 và công thức truy hồi a_{n+1} = 3 a_n. Giá trị của a_3 là bao nhiêu?a_1 = 4 および漸化（ぜんか）式（しき） a_{n+1} = 3 a_n で定義（ていぎ）される数列（すうれつ） (a_n) について、a_3 の値（あたい）はいくらですか。

3. Cho dãy số (a_n) xác định bởi a_1 = 5 và a_{n+1} = a_n - 2. Giá trị của a_4 là bao nhiêu?a_1 = 5 および a_{n+1} = a_n - 2 で定義（ていぎ）される数列（すうれつ） (a_n) について、a_4 の値（あたい）はいくらですか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.12.2. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.12.2。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Hiểu khái niệm định nghĩa quy nạp của dãy số thông qua số hạng đầu và công thức truy hồi.初項（しょこう）と漸化（ぜんか）式（しき）による数列（すうれつ）の帰納（きのう）的（てき）定義（ていぎ）の概念（がいねん）を理解（りかい）する。
  2. Nhận biết hai dạng công thức truy hồi cơ bản là cộng công sai d và nhân công tỷ r.公差（こうさ） d を加（くわ）える型（かた）と公比（こうひ） r を掛（か）ける型（かた）の基本（きほん）的（てき）な漸化（ぜんか）式（しき）を識別（しきべつ）する。
  3. Tính chính xác các số hạng tiếp theo của dãy số dựa vào công thức truy hồi cho trước.与（あた）えられた漸化（ぜんか）式（しき）に基（もと）づいて数列（すうれつ）の次（つぎ）の項（こう）を正確（せいかく）に計算（けいさん）する。
Trực giác · イメージ

Xây dựng dãy số từng bước từ số ban đầu初期（しょき）値（ち）から一（いち）歩（ほ）ずつ数列（すうれつ）を構成（こうせい）する

Giống như trò chơi domino, nếu biết vị trí quân bài đầu tiên và quy tắc ngã của quân tiếp theo, ta có thể xác định toàn bộ hàng domino. Trong toán học, việc biết số hạng đầu và quy tắc liên hệ giữa hai số hạng kề nhau giúp ta tính được mọi số hạng của dãy.

ドミノ倒（たお）しのように、最初（さいしょ）のドミノの位置（いち）と次（つぎ）のドミノが倒（たお）れるルールが分（わ）かれば、全体（ぜんたい）の動（うご）きが決（き）まります。数学（すうがく）でも初項（しょこう）と隣接（りんせつ）項（こう）の関係（かんけい）式（しき）があれば、数列（すうれつ）のすべての項（こう）を順（じゅん）に確定（かくてい）できます。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 帰納（きのう）的（てき）定義（ていぎ）định nghĩa quy nạp

    Định nghĩa quy nạp của dãy số là cách xác định dãy số bằng việc cho số hạng đầu tiên và quan hệ giữa số hạng kề nhau. Cách này cho phép xác định duy nhất mọi số hạng của dãy.

    数列（すうれつ）の帰納（きのう）的（てき）定義（ていぎ）とは、初項（しょこう）と隣接（りんせつ）する項（こう）の間（あいだ）の関係（かんけい）式（しき）を指定（してい）して数列（すうれつ）を定（さだ）める方法（ほうほう）です。この定義（ていぎ）により、数列（すうれつ）のすべての項（こう）が一意（いちい）に決定（けってい）されます。

  • 漸化（ぜんか）式（しき）công thức truy hồi

    Công thức truy hồi là đẳng thức biểu diễn mối quan hệ giữa số hạng a_n và số hạng tiếp theo a_{n+1}. Nó mô tả quy tắc biến đổi từ số hạng này sang số hạng kế tiếp.

    漸化（ぜんか）式（しき）とは、ある項（こう） a_n と次（つぎ）の項（こう） a_{n+1} の間（あいだ）の関係（かんけい）を表（あらわ）す等式（とうしき）です。項（こう）から次（つぎ）の項（こう）への変化（へんか）のルールを記述（きじゅつ）します。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：初項（しょこう）と漸化（ぜんか）式（しき）を確認（かくにん）する

    Bước 1: Xác định số hạng đầu và công thức truy hồi

    Đọc kỹ giá trị ban đầu a_1 và dạng công thức biểu diễn a_{n+1} theo a_n. Kiểm tra xem công thức thuộc dạng cộng thêm hằng số hay nhân với hằng số.

    初期（しょき）値（ち） a_1 と a_n から a_{n+1} を表（あらわ）す漸化（ぜんか）式（しき）の形（かたち）をよく確認（かくにん）します。定数（ていすう）を加（くわ）える形（かたち）か定数（ていすう）を掛（か）ける形（かたち）かを判別（はんべつ）します。

  2. 02
    ステップ2：n=1 を代入（だいにゅう）して第（だい）2項（こう） a_2 を計算（けいさん）する

    Bước 2: Thay n = 1 để tính số hạng thứ hai a_2

    Thay n = 1 vào công thức truy hồi để thu được mối liên hệ giữa a_2 và a_1. Thực hiện phép tính số học để tìm a_2.

    漸化（ぜんか）式（しき）に n=1 を代入（だいにゅう）し、a_2 と a_1 の関係（かんけい）式（しき）を得（え）ます。数値（すうち）計算（けいさん）を行（おこな）って a_2 の値（あたい）を求（もと）めます。

  3. 03
    ステップ3：規則（きそく）に従（したが）って第（だい）3項（こう） a_3 以降（いこう）を順次（じゅんじ）求（もと）める

    Bước 3: Tính tiếp các số hạng a_3, a_4 theo quy tắc

    Tiếp tục thay n = 2 để tính a_3 từ a_2, và thay n = 3 để tính a_4 từ a_3. Việc tính truy hồi từng bước đảm bảo không bỏ sót số hạng nào.

    続（つづ）いて n=2 を代入（だいにゅう）して a_2 から a_3 を、n=3 を代入（だいにゅう）して a_3 から a_4 を計算（けいさん）します。順（じゅん）を追（お）って計算（けいさん）することで誤（あやま）りを防（ふせ）ぎます。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Nhầm lẫn chỉ số khi thay n vào công thức, ví dụ nghĩ rằng a_{n+1} là a_n + 1.漸化（ぜんか）式（しき）に n を代入（だいにゅう）する際（さい）に添字（そえじ）を誤解（ごかい）し、a_{n+1} を a_n + 1 と混同（こんどう）すること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）a_{n+1} là ký hiệu của số hạng thứ n+1, không phải là lấy số hạng a_n cộng thêm 1.a_{n+1} は第（だい） n+1 項（こう）を表（あらわ）す記号（きごう）であり、第（だい） n 項（こう） a_n に 1 を加（くわ）えることではありません。

Quên số hạng đầu a_1 và chỉ dựa vào công thức truy hồi để tính toán.初項（しょこう） a_1 の値（あたい）を無視（むし）し、漸化（ぜんか）式（しき）のみで計算（けいさん）を進（すす）めようとすること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Định nghĩa quy nạp bắt buộc phải có cả số hạng đầu a_1 mới có thể tính được giá trị cụ thể của các số hạng.帰納（きのう）的（てき）定義（ていぎ）では、具体（ぐたい）的（てき）な項（こう）の値（あたい）を決定（けってい）するために初項（しょこう） a_1 が不可欠（ふかけつ）です。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Định nghĩa quy nạp gồm hai yếu tố: số hạng đầu a_1 và công thức truy hồi giữa a_n và a_{n+1}.帰納（きのう）的（てき）定義（ていぎ）は初項（しょこう） a_1 と隣接（りんせつ）項（こう）の漸化（ぜんか）式（しき） a_n, a_{n+1} の2要素（ようそ）で構成（こうせい）されます。
  • Công thức truy hồi a_{n+1} = a_n + d tương ứng với việc cộng liên tiếp hằng số d.漸化（ぜんか）式（しき） a_{n+1} = a_n + d は定数（ていすう） d を順次（じゅんじ）加（くわ）える計算（けいさん）に対応（たいおう）します。
  • Công thức truy hồi a_{n+1} = r a_n tương ứng với việc nhân liên tiếp hằng số r.漸化（ぜんか）式（しき） a_{n+1} = r a_n は定数（ていすう） r を順次（じゅんじ）掛（か）ける計算（けいさん）に対応（たいおう）します。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

a_{n+1} = a_n + d

Công thức truy hồi biểu diễn số hạng sau bằng số hạng trước cộng thêm một hằng số d. Mỗi bước chuyển sang số hạng kế tiếp đều tăng hoặc giảm một lượng không đổi d.

次（つぎ）の項（こう）が前（まえ）の項（こう）に定数（ていすう） d を加（くわ）えたものとなる漸化（ぜんか）式（しき）です。各（かく）ステップで一定（いってい）の値（あたい） d ずつ変化（へんか）します。

a_{n+1} = r a_n

Công thức truy hồi biểu diễn số hạng sau bằng số hạng trước nhân với một hằng số r. Mỗi số hạng kế tiếp thu được bằng cách nhân số hạng hiện tại với r.

次（つぎ）の項（こう）が前（まえ）の項（こう）に定数（ていすう） r を掛（か）けたものとなる漸化（ぜんか）式（しき）です。各項（かくこう）に r を掛（か）けることで次（つぎ）の項（こう）が得（え）られます。

EJU 2026 · MATH.12.2

Định nghĩa quy nạp giúp xác định toàn bộ dãy số từ số hạng đầu và công thức truy hồi kề nhau. Bài học này giới thiệu cách dùng công thức truy hồi để tính các số hạng tiếp theo.

帰納（きのう）的（てき）定義（ていぎ）は、初項（しょこう）と隣接（りんせつ）する項（こう）の漸化（ぜんか）式（しき）から数列（すうれつ）全体（ぜんたい）を決定（けってい）します。本節（ほんせつ）では、漸化（ぜんか）式（しき）を用（もち）いて順次（じゅんじ）項（こう）を求（もと）める方法（ほうほう）を学（まな）びます。

数列（すうれつ）の帰納（きのう）的（てき）定義（ていぎ）と漸化（ぜんか）式（しき）
帰納的定義漸化式