Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学II・B · Toán II · B

Hệ thức truy hồi (giữa 2 số hạng kề nhau)漸化（ぜんか）式（しき）（隣接（りんせつ）2項（こう）間（かん））

Công thức公式

a_{n+1}=a_n+d
a_n=a+(n-1)d
a_{n+1}=r a_n
a_n=a r^{n-1}

Ví dụ例題

Cho dãy số \((a_{n})\) thỏa mãn số hạng đầu \(a_{1} = 5\) và hệ thức truy hồi \(a_{n + 1} = 2\) \(a_{n}\). Tìm công thức số hạng tổng quát \(a_{n}\) và tính \(a_{4}\).

初項（しょこう） \(a_{1} = 5\) および漸化（ぜんか）式（しき） \(a_{n + 1} = 2\) \(a_{n}\) を満（み）たす数列（すうれつ） \((a_{n})\) について、一般（いっぱん）項（こう） \(a_{n}\) を求（もと）め、\(a_{4}\) の値（あたい）を計算（けいさん）しなさい。

  1. Nhận thấy hệ thức \(a_{n + 1} = 2\) \(a_{n}\) có dạng \(a_{n + 1} = r\) \(a_{n}\) với công tỷ r = 2. Do đó \((a_{n})\) là cấp số nhân.漸化（ぜんか）式（しき） \(a_{n + 1} = 2\) \(a_{n}\) は公比（こうひ） r = 2 の等比（とうひ）数列（すうれつ）の型（かた） \(a_{n + 1} = r\) \(a_{n}\) です。したがって \((a_{n})\) は等比（とうひ）数列（すうれつ）です。
  2. Áp dụng công thức số hạng tổng quát a_n = a r^{n-1} với a = 5 và r = 2, ta được a_n = 5 \(\cdot\) 2^{n-1}.初項（しょこう） a = 5、公比（こうひ） r = 2 として一般（いっぱん）項（こう）の公式（こうしき） a_n = a r^{n-1} に代入（だいにゅう）すると、a_n = 5 \(\cdot\) 2^{n-1} が得（え）られます。
  3. Thay n = 4 vào công thức số hạng tổng quát, ta có a_4 = 5 \(\cdot\) 2^{4-1} = 5 \(\cdot\) 2^3 = 5 \(\cdot\) 8 = 40.一般（いっぱん）項（こう）に n = 4 を代入（だいにゅう）すると、a_4 = 5 \(\cdot\) 2^{4-1} = 5 \(\cdot\) 2^3 = 5 \(\cdot\) 8 = 40 となります。
Vậy số hạng tổng quát là a_n = 5 \(\cdot\) 2^{n-1} và a_4 = 40.したがって、一般（いっぱん）項（こう）は a_n = 5 \(\cdot\) 2^{n-1} であり、a_4 = 40 です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Cho dãy số \((a_{n})\) có \(a_{1} = 3\) và hệ thức truy hồi \(a_{n + 1} = a_{n} + 4\). Công thức số hạng tổng quát \(a_{n}\) là gì?\(a_{1} = 3\) および漸化（ぜんか）式（しき） \(a_{n + 1} = a_{n} + 4\) を満（み）たす数列（すうれつ） \((a_{n})\) の一般（いっぱん）項（こう） \(a_{n}\) はどれですか。

2. Cho dãy số \((a_{n})\) có \(a_{1} = 2\) và hệ thức truy hồi \(a_{n + 1} = 3\) \(a_{n}\). Giá trị của số hạng \(a_{5}\) là bao nhiêu?\(a_{1} = 2\) および漸化（ぜんか）式（しき） \(a_{n + 1} = 3\) \(a_{n}\) を満（み）たす数列（すうれつ） \((a_{n})\) について、第（だい）5項（こう） \(a_{5}\) の値（あたい）はいくらですか。

3. Cho dãy số \((a_{n})\) có \(a_{1} = 10\) và hệ thức truy hồi \(a_{n + 1} = a_{n} - 3\). Số hạng tổng quát \(a_{n}\) được biểu diễn là gì?\(a_{1} = 10\) および漸化（ぜんか）式（しき） \(a_{n + 1} = a_{n} - 3\) を満（み）たす数列（すうれつ） \((a_{n})\) の一般（いっぱん）項（こう） \(a_{n}\) はどれですか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.12.2. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.12.2。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Nhận biết hệ thức truy hồi đại diện cho cấp số cộng và cấp số nhân giữa hai số hạng kề nhau.隣接（りんせつ）2項（こう）間（かん）の漸化（ぜんか）式（しき）から等差（とうさ）数列（すうれつ）および等比（とうひ）数列（すうれつ）を識別（しきべつ）する。
  2. Vận dụng hệ thức truy hồi \(a_{n + 1} = a_{n} + d\) để tìm số hạng tổng quát \(a_{n} = a + (n - 1) d\).漸化（ぜんか）式（しき） \(a_{n + 1} = a_{n} + d\) から一般（いっぱん）項（こう） \(a_{n} = a + (n - 1) d\) を求（もと）める。
  3. Vận dụng hệ thức truy hồi \(a_{n + 1} = r\) \(a_{n}\) để tìm số hạng tổng quát \(a_{n} = a\) \(r^{n - 1}\).漸化（ぜんか）式（しき） \(a_{n + 1} = r\) \(a_{n}\) から一般（いっぱん）項（こう） \(a_{n} = a\) \(r^{n - 1}\) を求（もと）める。
Trực giác · イメージ

Chuyển đổi hệ thức liên tiếp sang biểu thức tổng quát逐次（ちくじ）関係（かんけい）から一般（いっぱん）形（けい）への変換（へんかん）

Hệ thức truy hồi cho biết quy tắc chuyển từ \(a_{n}\) sang \(a_{n + 1}\). Bằng cách áp dụng quy tắc này liên tiếp từ số hạng đầu a, ta nhận ra mô hình tăng trưởng của dãy và viết được số hạng tổng quát \(a_{n}\) theo n.

漸化（ぜんか）式（しき）は \(a_{n}\) から \(a_{n + 1}\) への変化（へんか）ルールを示（しめ）します。初項（しょこう） a からこのルールを繰り返（くりかえ）し適用（てきよう）することで、数列（すうれつ）の増減（ぞうげん）パターンを特定（とくてい）し、n を用（もち）いた一般（いっぱん）項（こう） \(a_{n}\) を導出（どうしゅつ）できます。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 漸化（ぜんか）式（しき）hệ thức truy hồi

    Hệ thức truy hồi là phương trình liên hệ giữa các số hạng kề nhau \(a_{n}\) và \(a_{n + 1}\) trong dãy số. Nó định hình quy tắc sinh ra các số hạng tiếp theo.

    漸化（ぜんか）式（しき）とは、数列（すうれつ）の隣接（りんせつ）する項（こう） \(a_{n}\) と \(a_{n + 1}\) の間（あいだ）の関係（かんけい）を表（あらわ）す方程（ほうてい）式（しき）です。後続（こうぞく）の項（こう）を生成（せいせい）する規則（きそく）を規定（きてい）します。

  • 等差（とうさ）数列（すうれつ）cấp số cộng

    Cấp số cộng là dãy số có hiệu giữa hai số hạng kề nhau luôn không đổi, thỏa mãn \(a_{n + 1} - a_{n} = d\). Hằng số d được gọi là công sai.

    等差（とうさ）数列（すうれつ）とは、隣接（りんせつ）する2項（こう）の差（さ）が常（つね）に一定（いってい）である数列（すうれつ）であり、\(a_{n + 1} - a_{n} = d\) を満（み）たします。一定（いってい）の値（あたい） d を公差（こうさ）と呼（よ）びます。

  • 等比（とうひ）数列（すうれつ）cấp số nhân

    Cấp số nhân là dãy số có tỉ số giữa hai số hạng kề nhau luôn không đổi, thỏa mãn \(a_{n + 1} / a_{n} = r\). Hằng số r được gọi là công tỷ.

    等比（とうひ）数列（すうれつ）とは、隣接（りんせつ）する2項（こう）の比（ひ）が常（つね）に一定（いってい）である数列（すうれつ）であり、\(a_{n + 1} / a_{n} = r\) を満（み）たします。一定（いってい）の値（あたい） r を公比（こうひ）と呼（よ）びます。

  • 階差（かいさ）数列（すうれつ）dãy số hiệu

    Dãy số hiệu là dãy số tạo bởi hiệu của hai số hạng kề nhau \(b_{n} = a_{n + 1} - a_{n}\). Dãy này phản ánh sự biến thiên của dãy số ban đầu.

    階差（かいさ）数列（すうれつ）とは、隣接（りんせつ）する2項（こう）の差（さ） \(b_{n} = a_{n + 1} - a_{n}\) によって作（つく）られる数列（すうれつ）です。元（もと）の数列（すうれつ）の変化（へんか）量（りょう）を表（あらわ）します。

  • 一般（いっぱん）項（こう）số hạng tổng quát

    Số hạng tổng quát \(a_{n}\) là biểu thức đại số theo biến n cho phép tính trực tiếp số hạng ở vị trí thứ n mà không cần tính qua các số hạng trước.

    一般（いっぱん）項（こう） \(a_{n}\) とは、前（まえ）の項（こう）を経由（けいゆ）せずに第（だい） n 項（こう）の値（あたい）を直接（ちょくせつ）計算（けいさん）できる n の式（しき）です。

  • 逆数（ぎゃくすう）nghịch đảo

    Nghịch đảo của số x khác 0 là 1/x. Phép lấy nghịch đảo đôi khi giúp đưa hệ thức truy hồi phức tạp về dạng cơ bản.

    0 でない数（かず） x の逆数（ぎゃくすう）は 1/x です。逆数（ぎゃくすう）をとる操作（そうさ）により、複雑（ふくざつ）な漸化（ぜんか）式（しき）を基本（きほん）形（けい）に変換（へんかん）できる場合（ばあい）があります。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：漸化（ぜんか）式（しき）の型（かた）を識別（しきべつ）する

    Bước 1: Nhận diện dạng của hệ thức truy hồi

    Quan sát mối liên hệ giữa \(a_{n + 1}\) và \(a_{n}\) để xác định dạng \(a_{n + 1} = a_{n} + d\) (cấp số cộng) hoặc \(a_{n + 1} = r\) \(a_{n}\) (cấp số nhân).

    \(a_{n + 1}\) と \(a_{n}\) の関係（かんけい）を観察（かんさつ）し、\(a_{n + 1} = a_{n} + d\)（等差（とうさ）型（がた））か \(a_{n + 1} = r\) \(a_{n}\)（等比（とうひ）型（がた））かを判別（はんべつ）します。

  2. 02
    ステップ2：初期（しょき）パラメータを特定（とくてい）する

    Bước 2: Xác định các thông số ban đầu

    Xác định số hạng đầu \(a_{1} = a\) và hằng số công sai d hoặc công tỷ r từ đề bài.

    問題（もんだい）文（ぶん）から初項（しょこう） \(a_{1} = a\) および公差（こうさ） d または公比（こうひ） r の値（あたい）を特定（とくてい）します。

  3. 03
    ステップ3：一般（いっぱん）項（こう）の公式（こうしき）を適用（てきよう）する

    Bước 3: Áp dụng công thức số hạng tổng quát

    Với cấp số cộng, dùng công thức \(a_{n} = a + (n - 1) d\). Với cấp số nhân, dùng công thức \(a_{n} = a\) \(r^{n - 1}\).

    等差（とうさ）数列（すうれつ）の場合（ばあい）は公式（こうしき） \(a_{n} = a + (n - 1) d\) を、等比（とうひ）数列（すうれつ）の場合（ばあい）は公式（こうしき） \(a_{n} = a\) \(r^{n - 1}\) を適用（てきよう）します。

  4. 04
    ステップ4：n=1, 2 で結果（けっか）を検証（けんしょう）する

    Bước 4: Kiểm tra lại với n=1 và n=2

    Thay n=1 vào công thức vừa tìm xem có bằng \(a_{1}\) hay không, sau đó kiểm tra tiếp với n=2.

    得（え）られた一般（いっぱん）項（こう）に n=1 を代入（だいにゅう）して初項（しょこう）に一致（いっち）するか確認（かくにん）し、同様（どうよう）に n=2 で検証（けんしょう）します。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Nhầm số mũ trong công thức cấp số nhân \(a_{n} = a\) \(r^{n - 1}\) thành \(a_{n} = a\) \(r^{n}\).等比（とうひ）数列（すうれつ）の一般（いっぱん）項（こう）の公式（こうしき） \(a_{n} = a\) \(r^{n - 1}\) の指数（しすう）を \(a_{n} = a\) \(r^{n}\) と誤（あやま）ること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Do số hạng đầu là \(a_{1} = a\) \(r^{0} = a\), nên số mũ của r tại số hạng thứ n phải là n-1.初項（しょこう）は \(a_{1} = a\) \(r^{0} = a\) であるため、第（だい） n 項（こう）における r の指数（しすう）は n-1 でなければなりません。

Dùng sai công thức cấp số cộng cho cấp số nhân hoặc ngược lại khi thấy hệ thức truy hồi.漸化（ぜんか）式（しき）を見（み）て、等差（とうさ）数列（すうれつ）の公式（こうしき）と等比（とうひ）数列（すうれつ）の公式（こうしき）を誤（あやま）って適用（てきよう）すること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Cần kiểm tra kỹ phép tính trong hệ thức: phép cộng hằng số d dùng công thức a+(n-1)d, phép nhân hằng số r dùng a \(r^{n - 1}\).漸化（ぜんか）式（しき）の演算（えんざん）を注意（ちゅうい）深（ふか）く確認（かくにん）し、定数（ていすう） d の加算（かさん）には a+(n-1)d を、定数（ていすう） r の乗算（じょうざん）には a \(r^{n - 1}\) を適用（てきよう）します。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Hệ thức \(a_{n + 1} = a_{n} + d\) xác định cấp số cộng với số hạng tổng quát \(a_{n} = a + (n - 1) d\).漸化（ぜんか）式（しき） \(a_{n + 1} = a_{n} + d\) は一般（いっぱん）項（こう） \(a_{n} = a + (n - 1) d\) の等差（とうさ）数列（すうれつ）を定（さだ）めます。
  • Hệ thức \(a_{n + 1} = r\) \(a_{n}\) xác định cấp số nhân với số hạng tổng quát \(a_{n} = a\) \(r^{n - 1}\).漸化（ぜんか）式（しき） \(a_{n + 1} = r\) \(a_{n}\) は一般（いっぱん）項（こう） \(a_{n} = a\) \(r^{n - 1}\) の等比（とうひ）数列（すうれつ）を定（さだ）めます。
  • Luôn kiểm tra lại số hạng tổng quát bằng cách thay n=1 để khớp với số hạng đầu \(a_{1}\).一般（いっぱん）項（こう）に n=1 を代入（だいにゅう）して初項（しょこう） \(a_{1}\) と一致（いっち）することを必（かなら）ず再（さい）確認（かくにん）します。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

a_{n+1}=a_n+d

Hệ thức truy hồi của cấp số cộng với công sai d. Mỗi số hạng sau bằng số hạng trước cộng với d.

公差（こうさ） d の等差（とうさ）数列（すうれつ）を表（あらわ）す漸化（ぜんか）式（しき）です。各項（かくこう）は前（まえ）の項（こう）に d を加（くわ）えたものになります。

a_n=a+(n-1)d

Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng có số hạng đầu a và công sai d. Cho phép tính \(a_{n}\) trực tiếp từ n.

初項（しょこう） a、公差（こうさ） d の等差（とうさ）数列（すうれつ）の一般（いっぱん）項（こう）の公式（こうしき）です。n から直接（ちょくせつ） \(a_{n}\) を求（もと）められます。

a_{n+1}=r a_n

Hệ thức truy hồi của cấp số nhân với công tỷ r. Mỗi số hạng sau bằng số hạng trước nhân với r.

公比（こうひ） r の等比（とうひ）数列（すうれつ）を表（あらわ）す漸化（ぜんか）式（しき）です。各項（かくこう）は前（まえ）の項（こう）に r を掛（か）けたものになります。

a_n=a r^{n-1}

Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân có số hạng đầu a và công tỷ r. Cho phép tính \(a_{n}\) trực tiếp theo lũy thừa của r.

初項（しょこう） a、公比（こうひ） r の等比（とうひ）数列（すうれつ）の一般（いっぱん）項（こう）の公式（こうしき）です。r の累乗（るいじょう）を用（もち）いて \(a_{n}\) を直接（ちょくせつ）計算（けいさん）します。

EJU 2026 · MATH.12.2

Hệ thức truy hồi giữa hai số hạng kề nhau cho phép xác định dạng của dãy số như cấp số cộng hoặc cấp số nhân. Từ hệ thức này, ta có thể suy ra công thức số hạng tổng quát của dãy số.

隣接（りんせつ）2項（こう）間（かん）の漸化（ぜんか）式（しき）は、数列（すうれつ）が等差（とうさ）数列（すうれつ）や等比（とうひ）数列（すうれつ）などの基本（きほん）型（がた）であるかを識別（しきべつ）させます。この関係（かんけい）式（しき）から数列（すうれつ）の一般（いっぱん）項（こう）を導（みちび）くことができます。

漸化（ぜんか）式（しき）（隣接（りんせつ）2項（こう）間（かん））
漸化式等差数列等比数列階差数列