Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学II・B · Toán II · B

Tổng các tích của một số cố định các số tự nhiên liên tiếp一定（いってい）個数（こすう）の連続（れんぞく）した自然（しぜん）数（すう）の積（せき）の和（わ）

Công thức公式

\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}
\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
\sum_{k=1}^n k^3 = \left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}^2
\sum_{k=1}^n k(k+1)(k+2) = \frac{1}{4} n(n+1)(n+2)(n+3)

Ví dụ例題

Tính giá trị của tổng S = 1 \(\cdot\) 2 \(\cdot\) 3 + 2 \(\cdot\) 3 \(\cdot\) 4 + 3 \(\cdot\) 4 \(\cdot\) 5 + 4 \(\cdot\) 5 \(\cdot\) 6 (tức là tổng với n = 4 của k(k+1)(k+2)).

和（わ） S = 1 * 2 * 3 + 2 * 3 * 4 + 3 * 4 * 5 + 4 * 5 * 6 （すなわち k(k+1)(k+2) の n = 4 までの和（わ））の値（あたい）を求（もと）めなさい。

  1. Nhận thấy tổng S có dạng \(\sum_{k=1}^n\) k(k+1)(k+2) với n = 4.和（わ） S は n = 4 における \(\sum_{k=1}^n\) k(k+1)(k+2) の形（かたち）であることを確認（かくにん）します。
  2. Áp dụng công thức \(\sum_{k=1}^n\) k(k+1)(k+2) = 1/4*n*(n+1)*(n+2)*(n+3) với n = 4: S = 1/4 * 4 * 5 * 6 * 7.公式（こうしき） \(\sum_{k=1}^n\) k(k+1)(k+2) = 1/4*n*(n+1)*(n+2)*(n+3) に n = 4 を代入（だいにゅう）します：S = 1/4 * 4 * 5 * 6 * 7。
  3. Thực hiện phép tính: S = 1 * 5 * 6 * 7 = 210.計算（けいさん）を実行（じっこう）します：S = 1 * 5 * 6 * 7 = 210。
Nhờ công thức \(\sum_{k=1}^n\) k(k+1)(k+2) = 1/4*n*(n+1)*(n+2)*(n+3), ta tính được ngay kết quả S = 210 một cách chính xác và nhanh chóng.公式（こうしき） \(\sum_{k=1}^n\) k(k+1)(k+2) = 1/4*n*(n+1)*(n+2)*(n+3) を使用（しよう）することで、結果（けっか） S = 210 を迅速（じんそく）かつ正確（せいかく）に求（もと）めることができました。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Tính giá trị của tổng S = \(\sum_{k=1}^3\) k(k+1)(k+2).和（わ） S = \(\sum_{k=1}^3\) k(k+1)(k+2) の値（あたい）を求（もと）めなさい。

2. Tính giá trị của tổng S = \(\sum_{k=1}^3\) k^2.和（わ） S = \(\sum_{k=1}^3\) k^2 の値（あたい）を求（もと）めなさい。

3. Tính giá trị của tổng S = \(\sum_{k=1}^3\) k^3.和（わ） S = \(\sum_{k=1}^3\) k^3 の値（あたい）を求（もと）めなさい。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.12.1. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.12.1。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Thành thạo các công thức tính tổng lũy thừa của số tự nhiên từ bậc 1 đến bậc 3.1乗（のり）から3乗（のり）までの自然（しぜん）数（すう）の累乗（るいじょう）の和（わ）の公式（こうしき）を正確（せいかく）に適用（てきよう）できる。
  2. Áp dụng công thức đặc biệt tính tổng tích 3 số tự nhiên liên tiếp \(\sum_{k=1}^n\) k(k+1)(k+2).3つの連続（れんぞく）する自然（しぜん）数（すう）の積（せき）の和（わ） \(\sum_{k=1}^n\) k(k+1)(k+2) の公式（こうしき）を活用（かつよう）できる。
  3. Hiểu mối liên hệ giữa việc triệt tiêu số hạng qua dãy số hiệu để đơn giản hóa tổng các tích.階差（かいさ）数列（すうれつ）の性質（せいしつ）を利用（りよう）した項（こう）の相殺（そうさい）により、積（せき）の和（わ）を簡略（かんりゃく）化（か）する構造（こうぞう）を理解（りかい）する。
Trực giác · イメージ

Biến đổi tích số liên tiếp thành hiệu hai số hạng kế tiếp連続（れんぞく）する積（せき）を階差（かいさ）の形（かたち）に変形（へんけい）して和（わ）を求（もと）める

Khi tính tổng tích của các số tự nhiên liên tiếp, việc khai triển trực tiếp thường dẫn đến biểu thức lũy thừa phức tạp. Tuy nhiên, nếu nhận diện được dạng biến đổi dãy số hiệu, các số hạng trung gian sẽ triệt tiêu lẫn nhau, giúp thu được công thức tổng gọn gàng.

連続（れんぞく）する自然（しぜん）数（すう）の積（せき）の和（わ）を求（もと）める際（さい）、展開（てんかい）して累乗（るいじょう）の和（わ）に分解（ぶんかい）する方法（ほうほう）のほかに、階差（かいさ）の形式（けいしき）に変形（へんけい）することで中間（ちゅうかん）項（こう）を相殺（そうさい）させる手法（しゅほう）が有効（ゆうこう）です。これにより非常（ひじょう）にシンプルな和（わ）の公式（こうしき）が得（え）られます。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 自然（しぜん）数（すう）の累乗（るいじょう）の和（わ）Tổng các lũy thừa của số tự nhiên

    Tổng của các số hạng k, \(k^{2}\), \(k^{3}\) từ k=1 đến n. Các công thức này là nền tảng để tính toán tổng của nhiều dạng biểu thức đa thức.

    k=1からnまでの k, \(k^{2}\), \(k^{3}\) の和（わ）のことです。これらの公式（こうしき）は多項（たこう）式（しき）の和（わ）を計算（けいさん）するための基礎（きそ）となります。

  • 階差（かいさ）数列（すうれつ）Dãy số hiệu

    Dãy số tạo bởi hiệu của hai số hạng liên tiếp trong một dãy cho trước. Phân tích thành dạng dãy số hiệu giúp triệt tiêu các số hạng khi lấy tổng.

    与（あた）えられた数列（すうれつ）の隣り合（となりあ）う項（こう）の差（さ）によって作（つく）られる数列（すうれつ）のことです。階差（かいさ）の形（かたち）に変形（へんけい）することで和（わ）の計算（けいさん）で中間（ちゅうかん）の項（こう）を相殺（そうさい）できます。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    連続（れんぞく）する自然（しぜん）数（すう）の積（せき）の和（わ）の型（かた）を確認（かくにん）する

    Nhận diện dạng tổng tích các số tự nhiên liên tiếp

    Xác định số lượng các factor liên tiếp trong tổng, ví dụ k(k+1)(k+2). Điều này giúp chọn phương pháp phân tích thành dãy số hiệu hoặc áp dụng công thức trực tiếp.

    和（わ）に含（ふく）まれる連続（れんぞく）する因数（いんすう）の個数（こすう）（例（たと）えば k(k+1)(k+2) ）を確認（かくにん）します。これにより直接（ちょくせつ）公式（こうしき）を用（もち）いるか階差（かいさ）に変形（へんけい）するかを判断（はんだん）します。

  2. 02
    連続（れんぞく）する3数（すう）の積（せき）の和（わ）の公式（こうしき）を適用（てきよう）する

    Áp dụng công thức tổng tích 3 số liên tiếp

    Sử dụng công thức \(\sum_{k=1}^n\) k(k+1)(k+2) = 1/4*n*(n+1)*(n+2)*(n+3) để tính nhanh tổng mà không cần khai triển từng bậc.

    公式（こうしき） \(\sum_{k=1}^n\) k(k+1)(k+2) = 1/4*n*(n+1)*(n+2)*(n+3) を用（もち）いて展開（てんかい）せずに和（わ）を求（もと）めて因数（いんすう）分解（ぶんかい）形（けい）を得（え）ます。

  3. 03
    基本（きほん）的（てき）な累乗（るいじょう）の和（わ）の公式（こうしき）へ分解（ぶんかい）する

    Biến đổi qua các tổng lũy thừa cơ bản

    Khi gặp biểu thức đa thức tổng quát, khai triển thành các tổng \(\sum\) k, \(\sum\) k^2, \(\sum\) k^3. Sau đó áp dụng các công thức chuẩn tương ứng để tính toán.

    一般（いっぱん）の多項（たこう）式（しき）の和（わ）では、\(\sum\) k, \(\sum\) k^2, \(\sum\) k^3 の各（かく）和（わ）に展開（てんかい）します。その後（あと）、対応（たいおう）する標準（ひょうじゅん）公式（こうしき）を適用（てきよう）して計算（けいさん）します。

  4. 04
    共通（きょうつう）因数（いんすう）でくくって整理（せいり）する

    Rút gọn và đặt nhân tử chung

    Đặt các nhân tử chung như (n(n+1))/2 hoặc (n(n+1))/6 ra ngoài để thu gọn biểu thức kết quả. Phép rút gọn này giúp tránh sai sót số học.

    (n(n+1))/2 や (n(n+1))/6 などの共通（きょうつう）因数（いんすう）を括（くく）り出（だ）して結果（けっか）の式（しき）を整理（せいり）します。この整理（せいり）により計算（けいさん）ミスを防（ふせ）ぎます。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Khai triển tích k(k+1)(k+2) thành \(k^{3} + 3 k^{2} + 2 k\) nhưng tính sai các hệ số khi áp dụng tổng lũy thừa.積（せき） k(k+1)(k+2) を \(k^{3} + 3 k^{2} + 2 k\) に展開（てんかい）した際（さい）、累乗（るいじょう）の和（わ）を適用（てきよう）する段階（だんかい）で係数（けいすう）の掛け算（かけざん）を間違（まちが）えること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Nên ưu tiên sử dụng trực tiếp công thức 1/4*n*(n+1)*(n+2)*(n+3) để tính tổng tích liên tiếp thay vì khai triển từng số hạng.展開（てんかい）して個別（こべつ）計算（けいさん）するのではなく、連続（れんぞく）積（せき）の和（わ）の公式（こうしき） 1/4*n*(n+1)*(n+2)*(n+3) を直接（ちょくせつ）利用（りよう）することを優先（ゆうせん）すべきです。

Phối hợp sai giữa mẫu số của các công thức, ví dụ dùng mẫu số 4 cho \(\sum\) k^2 thay vì 6.公式（こうしき）の分母（ぶんぼ）を混同（こんどう）し、\(\sum\) k^2 の計算（けいさん）で6ではなく4を使（つか）ってしまう誤（あやま）り。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Nhớ kỹ mẫu số của \(\sum\) k là 2, của \(\sum\) k^2 là 6, và hệ số của \(\sum\) k(k+1)(k+2) là 1/4.\(\sum\) k の分母（ぶんぼ）は2、\(\sum\) k^2 の分母（ぶんぼ）は6、\(\sum\) k(k+1)(k+2) の係数（けいすう）は 1/4 であることを正確（せいかく）に記憶（きおく）してください。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Công thức tổng lũy thừa cơ bản: \(\sum_{k=1}^n\) k = (n(n+1))/2, \(\sum_{k=1}^n\) k^2 = (n(n+1)(2n+1))/6, \(\sum_{k=1}^n\) k^3 = {(n(n+1))/2}^2.基本（きほん）的（てき）な累乗（るいじょう）の和（わ）の公式（こうしき）：\(\sum_{k=1}^n\) k = (n(n+1))/2, \(\sum_{k=1}^n\) k^2 = (n(n+1)(2n+1))/6, \(\sum_{k=1}^n\) k^3 = {(n(n+1))/2}^2 です。
  • Công thức tổng tích 3 số liên tiếp: \(\sum_{k=1}^n\) k(k+1)(k+2) = 1/4*n*(n+1)*(n+2)*(n+3).連続（れんぞく）する3つの自然（しぜん）数（すう）の積（せき）の和（わ）の公式（こうしき）：\(\sum_{k=1}^n\) k(k+1)(k+2) = 1/4*n*(n+1)*(n+2)*(n+3) です。
  • Sử dụng tính chất dãy số hiệu giúp triệt tiêu các số hạng trung gian khi tính tổng các tích liên tiếp.階差（かいさ）数列（すうれつ）の性質（せいしつ）を利用（りよう）することで、連続（れんぞく）積（せき）の和（わ）の計算（けいさん）において中間（ちゅうかん）項（こう）を相殺（そうさい）させて効率（こうりつ）的（てき）に計算（けいさん）できます。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}

Công thức tính tổng của n số tự nhiên đầu tiên. Tổng này bằng một nửa tích của n và (n+1).

最初（さいしょ）のn個（こ）の自然（しぜん）数（すう）の和（わ）を求（もと）める公式（こうしき）です。この和（わ）はnと(n+1)の積（せき）の半分（はんぶん）に等（ひと）しくなります。

\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

Công thức tính tổng bình phương của n số tự nhiên đầu tiên. Biểu thức có mẫu số là 6 và tử số là n(n+1)(2n+1).

最初（さいしょ）のn個（こ）の自然（しぜん）数（すう）の2乗（のり）の和（わ）を求（もと）める公式（こうしき）です。分母（ぶんぼ）が6で分子（ぶんし）が n(n+1)(2n+1) となります。

\sum_{k=1}^n k^3 = \left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}^2

Công thức tính tổng lập phương của n số tự nhiên đầu tiên. Giá trị tổng này bằng bình phương của tổng n số tự nhiên đầu tiên.

最初（さいしょ）のn個（こ）の自然（しぜん）数（すう）の3乗（のり）の和（わ）を求（もと）める公式（こうしき）です。この値（あたい）は最初（さいしょ）のn個（こ）の自然（しぜん）数（すう）の和（わ）の2乗（のり）に等（ひと）しくなります。

\sum_{k=1}^n k(k+1)(k+2) = \frac{1}{4} n(n+1)(n+2)(n+3)

Công thức tính tổng tích 3 số tự nhiên liên tiếp từ k=1 đến n. Kết quả là 1/4 tích của 4 số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ n.

k=1からnまでの連続（れんぞく）する3つの自然（しぜん）数（すう）の積（せき）の和（わ）を求（もと）める公式（こうしき）です。結果（けっか）はnから始（はじ）まる連続（れんぞく）する4つの自然（しぜん）数（すう）の積（せき）の 1/4 となります。

EJU 2026 · MATH.12.1

Bài học này hướng dẫn phương pháp tính tổng các tích của các số tự nhiên liên tiếp bằng cách sử dụng công thức tổng lũy thừa và phân tích dãy số hiệu. Qua đó, bạn có thể biến đổi và tính nhanh các biểu thức tổng phức tạp trong kỳ thi EJU.

本課（ほんか）では、自然（しぜん）数（すう）の累乗（るいじょう）の和（わ）の公式（こうしき）や階差（かいさ）数列（すうれつ）の考（かんが）え方（かた）を用（もち）いて、連続（れんぞく）する自然（しぜん）数（すう）の積（せき）の和（わ）を計算（けいさん）する方法（ほうほう）を学（まな）びます。これにより、EJU試験（しけん）における複雑（ふくざつ）な和（わ）の計算（けいさん）問題（もんだい）を迅速（じんそく）かつ正確（せいかく）に解（と）く能力（のうりょく）を身（み）につけます。

一定（いってい）個数（こすう）の連続（れんぞく）した自然（しぜん）数（すう）の積（せき）の和（わ）
自然数の累乗の和階差数列