Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学II・B · Toán II · B

Đồ thị của hàm số bậc ba 23次（じ）関数（かんすう）のグラフ②

Công thức公式

f'(x) = 3x^2 + 6ax + 3b = 3(x^2 + 2ax + b)
\frac{D}{4} = a^2 - b > 0
p = -3a - 2\beta = -a - 2\sqrt{a^2 - b}
q = -3a - 2\alpha = -a + 2\sqrt{a^2 - b}

Ví dụ例題

Cho hàm số \(f(x) = x^{3} - 3 x^{2}\). Hãy tính đạo hàm f'(x), lập bảng biến thiên để xác định cực trị và tìm các giao điểm của đồ thị với trục hoành.

関数（かんすう） \(f(x) = x^{3} - 3 x^{2}\) について、導（どう）関数（かんすう） f'(x) を計算（けいさん）して増減（ぞうげん）表（ひょう）を作成（さくせい）し、極値（きょくち）を特定（とくてい）するとともにx軸（じく）との交点（こうてん）を求（もと）めなさい。

  1. Đạo hàm là f'\((x) = 3 x^{2} - 6 x = 3 x (x - 2)\). Cho f'(x) = 0 ta được hai nghiệm x = 0 và x = 2.導（どう）関数（かんすう）は f'\((x) = 3 x^{2} - 6 x = 3 x (x - 2)\) です。f'(x) = 0 とおくと x = 0 および x = 2 の2解（かい）を得（え）ます。
  2. Lập bảng biến thiên: f'(x) > 0 khi x < 0 hoặc x > 2; f'(x) < 0 khi 0 < x < 2. Hàm số đạt cực đại f(0) = 0 và cực tiểu f(2) = -4.増減（ぞうげん）表（ひょう）を作成（さくせい）します：x < 0 または x > 2 で f'(x) > 0、0 < x < 2 で f'(x) < 0 となります。極大（きょくだい）値（ち） f(0) = 0 および極小（きょくしょう）値（ち） f(2) = -4 を得（え）ます。
  3. Giải phương trình \(f(x) = x^{3} - 3 x^{2} = x^{2} (x - 3) = 0\) thu được nghiệm kép x = 0 và nghiệm đơn x = 3. Do đó giao điểm với trục hoành là (0, 0) và (3, 0).方程（ほうてい）式（しき） \(f(x) = x^{3} - 3 x^{2} = x^{2} (x - 3) = 0\) を解（と）くと、重解（じゅうかい） x = 0 と単（たん）解（かい） x = 3 を得（え）ます。したがってx軸（じく）との交点（こうてん）は (0, 0) および (3, 0) です。
Đồ thị đạt cực đại tại (0, 0), cực tiểu tại (2, -4) và cắt trục hoành tại điểm tiếp xúc (0, 0) cùng giao điểm (3, 0).グラフは (0, 0) で極大（きょくだい）、(2, -4) で極小（きょくしょう）となり、x軸（じく）とは接点（せってん） (0, 0) および交点（こうてん） (3, 0) で交（まじ）わります。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Với hàm số \(f(x) = x^{3} + 3 ax^{2} + 3 bx + c\) có đạo hàm f'\((x) = 3 (x^{2} + 2 ax + b)\), điều kiện nào sau đây đảm bảo hàm số có 2 cực trị?関数（かんすう） \(f(x) = x^{3} + 3 ax^{2} + 3 bx + c\) （導（どう）関数（かんすう） f'\((x) = 3 (x^{2} + 2 ax + b)\)）が2つの極値（きょくち）を持（も）つための条件（じょうけん）はどれか。

2. Cho phương trình \(x^{3} - 3 x^{2} = 0\). Nghiệm kép của phương trình này tương ứng với hoành độ điểm tiếp xúc của đồ thị với trục hoành là giá trị nào?方程（ほうてい）式（しき） \(x^{3} - 3 x^{2} = 0\) について、グラフがx軸（じく）と接（せっ）する接点（せってん）のx座標（ざひょう）に対応（たいおう）する重解（じゅうかい）はどれか。

3. Trong biểu thức \(p = -a - 2 \sqrt{a^{2} - b}\) với a = -1 và b = 0, giá trị của p là bao nhiêu?式（しき） \(p = -a - 2 \sqrt{a^{2} - b}\) において、a = -1 かつ b = 0 のとき、p の値（あたい）はいくらか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.19.2. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.19.2。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Lập bảng biến thiên và xác định cực trị của hàm số bậc ba.増減（ぞうげん）表（ひょう）を作成（さくせい）し、3次（じ）関数（かんすう）の極値（きょくち）を特定（とくてい）する。
  2. Phân tích số giao điểm và tính chất nghiệm kép của đồ thị hàm số bậc ba với đường thẳng.3次（じ）関数（かんすう）グラフと直線（ちょくせん）の交点（こうてん）の個数（こすう）および重解（じゅうかい）の性質（せいしつ）を解析（かいせき）する。
Trực giác · イメージ

Trực giác về bảng biến thiên và giao điểm hàm bậc ba増減（ぞうげん）表（ひょう）と3次（じ）関数（かんすう）の交点（こうてん）に関（かん）する直感（ちょっかん）

Đạo hàm f'(x) đổi dấu xác định các điểm cực trị trên bảng biến thiên. Số giao điểm của đồ thị với đường thẳng phụ thuộc vào vị trí của cực trị và sự tồn tại của nghiệm kép tại điểm tiếp xúc.

導（どう）関数（かんすう） f'(x) の符号（ふごう）変化（へんか）によって増減（ぞうげん）表（ひょう）上（じょう）の極値（きょくち）が決定（けってい）されます。グラフと直線（ちょくせん）の交点（こうてん）の個数（こすう）は、極値（きょくち）の位置（いち）や接点（せってん）での重解（じゅうかい）の有無（うむ）に依存（いぞん）します。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 交点（こうてん）giao điểm

    Điểm chung của đồ thị hàm số với trục tọa độ hoặc đường thẳng khác.

    グラフが座標（ざひょう）軸（じく）や他（ほか）の直線（ちょくせん）と共有（きょうゆう）する点（てん）。

  • 増減（ぞうげん）表（ひょう）bảng biến thiên

    Bảng tóm tắt dấu của đạo hàm và sự đồng biến, nghịch biến của hàm số.

    導（どう）関数（かんすう）の符号（ふごう）と関数（かんすう）の増加（ぞうか）・減少（げんしょう）の状態（じょうたい）をまとめた表（ひょう）。

  • 重解（じゅうかい）nghiệm kép

    Nghiệm xuất hiện ít nhất hai lần của phương trình hoành độ giao điểm, tương ứng với điểm tiếp xúc của đồ thị.

    交点（こうてん）のx座標（ざひょう）の方程（ほうてい）式（しき）において重複（ちょうふく）して現（あらわ）れる解（かい）で、グラフの接点（せってん）に対応（たいおう）する。

  • 点（てん）対称（たいしょう）đối xứng qua điểm

    Tính chất của đồ thị bậc ba quay 180 độ quanh tâm đối xứng mà hình dạng không thay đổi.

    3次（じ）関数（かんすう）グラフが対称（たいしょう）の中心（ちゅうしん）のまわりに180度（ど）回転（かいてん）しても重（かさ）なる性質（せいしつ）。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：導（どう）関数（かんすう） f'(x) の計算（けいさん）と D/4 の判定（はんてい）

    Bước 1: Tính đạo hàm f'(x) và xét D/4

    Sử dụng f'\((x) = 3 (x^{2} + 2 ax + b)\) và tính biệt thức thu gọn \(D / 4 = a^{2} - b\). Khi D/4 > 0, phương trình f'(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt \(\alpha\) và \(\beta\).

    f'\((x) = 3 (x^{2} + 2 ax + b)\) を計算（けいさん）し、判別（はんべつ）式（しき） \(D / 4 = a^{2} - b\) を判定（はんてい）します。D/4 > 0 のとき、f'(x) = 0 は2つの相異（そうい）なる解（かい） \(\alpha\) と \(\beta\) を持（も）ちます。

  2. 02
    ステップ2：増減（ぞうげん）表（ひょう）の作成（さくせい）

    Bước 2: Lập bảng biến thiên

    Đánh dấu các nghiệm \(\alpha\), \(\beta\) lên bảng biến thiên và xét dấu của f'(x). Xác định các khoảng đồng biến, nghịch biến và các giá trị cực đại, cực tiểu.

    解（かい） \(\alpha\), \(\beta\) を増減（ぞうげん）表（ひょう）に記入（きにゅう）し、f'(x) の符号（ふごう）を判定（はんてい）します。増加（ぞうか）・減少（げんしょう）の区間（くかん）および極大（きょくだい）値（ち）・極小（きょくしょう）値（ち）を特定（とくてい）します。

  3. 03
    ステップ3：交点（こうてん）と重解（じゅうかい）の特定（とくてい）

    Bước 3: Tìm giao điểm và nghiệm kép

    Cho phương trình hoành độ giao điểm f(x) = k. Nếu đồ thị tiếp xúc với đường thẳng, phương trình sẽ có nghiệm kép tại điểm tiếp xúc.

    x座標（ざひょう）の方程（ほうてい）式（しき） f(x) = k を設定（せってい）します。グラフが直線（ちょくせん）と接（せっ）する場合（ばあい）、その接点（せってん）において方程（ほうてい）式（しき）は重解（じゅうかい）を持（も）ちます。

  4. 04
    ステップ4：対称（たいしょう）の中心（ちゅうしん）の決定（けってい）

    Bước 4: Xác định tâm đối xứng

    Đồ thị hàm số bậc ba luôn có tính chất đối xứng qua điểm. Sử dụng các điểm \(p = -a - 2 \sqrt{a^{2} - b}\) và \(q = -a + 2 \sqrt{a^{2} - b}\) để phân tích vị trí các hoành độ đặc biệt.

    3次（じ）関数（かんすう）グラフは常（つね）に点（てん）対称（たいしょう）の性質（せいしつ）を持（も）ちます。\(p = -a - 2 \sqrt{a^{2} - b}\) および \(q = -a + 2 \sqrt{a^{2} - b}\) を用（もち）いて特別（とくべつ）なx座標（ざひょう）の位置（いち）を解析（かいせき）します。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Coi nghiệm kép của phương trình hoành độ giao điểm là giao điểm cắt qua đồ thị thay vì điểm tiếp xúc.交点（こうてん）のx座標（ざひょう）の方程（ほうてい）式（しき）の重解（じゅうかい）を、接点（せってん）ではなく単（たん）なる交差（こうさ）する交点（こうてん）と誤解（ごかい）すること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Tại vị trí nghiệm kép, đồ thị tiếp xúc với đường thẳng chứ không cắt xuyên qua.重解（じゅうかい）の位置（いち）では、グラフは直線（ちょくせん）と交差（こうさ）するのではなく接（せっ）します。

Bỏ qua điều kiện \(D / 4 = a^{2} - b > 0\) khi kết luận hàm số bậc ba có hai cực trị.3次（じ）関数（かんすう）が2つの極値（きょくち）を持（も）つと結論（けつろん）付（つ）ける際（さい）、条件（じょうけん） \(D / 4 = a^{2} - b > 0\) を確認（かくにん）し忘（わす）れること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Hàm số bậc ba chỉ có 2 cực trị khi phương trình đạo hàm f'(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt, tức D/4 > 0.3次（じ）関数（かんすう）が2つの極値（きょくち）を持（も）つのは、導（どう）関数（かんすう）方程（ほうてい）式（しき） f'(x) = 0 が2つの相異（そうい）なる実数（じっすう）解（かい）を持（も）つ、すなわち D/4 > 0 のときのみです。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Đạo hàm f'\((x) = 3 (x^{2} + 2 ax + b)\) có \(D / 4 = a^{2} - b > 0\) là điều kiện để hàm số bậc ba có hai cực trị.導（どう）関数（かんすう） f'\((x) = 3 (x^{2} + 2 ax + b)\) において \(D / 4 = a^{2} - b > 0\) が3次（じ）関数（かんすう）が2つの極値（きょくち）を持（も）つ条件（じょうけん）である。
  • Bảng biến thiên thể hiện các khoảng đồng biến, nghịch biến và các giá trị cực trị của hàm số.増減（ぞうげん）表（ひょう）は関数（かんすう）の増加（ぞうか）・減少（げんしょう）区間（くかん）および極値（きょくち）を明確（めいかく）に示（しめ）す。
  • Nghiệm kép của phương trình hoành độ giao điểm đại diện cho điểm tiếp xúc của đồ thị với đường thẳng.交点（こうてん）のx座標（ざひょう）の方程（ほうてい）式（しき）の重解（じゅうかい）は、グラフと直線（ちょくせん）の接点（せってん）を表（あらわ）す。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

f'(x) = 3x^2 + 6ax + 3b = 3(x^2 + 2ax + b)

Công thức đạo hàm của hàm số bậc ba dạng \(f(x) = x^{3} + 3 ax^{2} + 3 bx + c\).

関数（かんすう） \(f(x) = x^{3} + 3 ax^{2} + 3 bx + c\) の導（どう）関数（かんすう）公式（こうしき）。

\frac{D}{4} = a^2 - b > 0

Điều kiện biệt thức thu gọn dương để đạo hàm có hai nghiệm phân biệt, đảm bảo hàm số có hai cực trị.

導（どう）関数（かんすう）が2つの相異（そうい）なる実数（じっすう）解（かい）を持（も）ち、関数（かんすう）が2つの極値（きょくち）を持（も）つための条件（じょうけん）。

p = -3a - 2\beta = -a - 2\sqrt{a^2 - b}

Công thức biểu diễn hoành độ p theo a và b khi \(\alpha\), \(\beta\) là các nghiệm của f'(x) = 0.

f'(x) = 0 の解（かい） \(\alpha\), \(\beta\) に対（たい）して、a と b を用（もち）いてx座標（ざひょう） p を表（あらわ）す公式（こうしき）。

q = -3a - 2\alpha = -a + 2\sqrt{a^2 - b}

Công thức biểu diễn hoành độ q theo a và b liên quan đến các điểm đặc biệt của đồ thị.

グラフの特別（とくべつ）な点（てん）に関連（かんれん）するx座標（ざひょう） q を a と b を用（もち）いて表（あらわ）す公式（こうしき）。

EJU 2026 · MATH.19.2

Bài học này giúp bạn phân tích sự biến thiên của hàm số bậc ba bằng bảng biến thiên và công thức đạo hàm. Bạn sẽ nắm vững cách tìm giao điểm, nghiệm kép và điểm đối xứng của đồ thị.

本課（ほんか）では増減（ぞうげん）表（ひょう）と導（どう）関数（かんすう）公式（こうしき）を用（もち）いて3次（じ）関数（かんすう）の増減（ぞうげん）を解析（かいせき）します。交点（こうてん）、重解（じゅうかい）、およびグラフの点（てん）対称（たいしょう）性（せい）の決定（けってい）方法（ほうほう）を習得（しゅうとく）します。

3次（じ）関数（かんすう）のグラフ②
交点増減表重解点対称